四川省成都外国语学校2024届高三高考模拟(六)理科数学试题

四川省成都外国语学校2024届高三高考模拟（六）理科数学试
题
一、单选题
1．已知集合{}||1|2,N A x x x =-<∈，1|1B y y x ⎧
⎫==+⎨⎬⎩
⎭，则A B =I （ ）
A ．[]1,3
B ．[]0,2
C ．{}0,2
D ．{}1,2
2．若复数z
满足(1i)i |z +=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．i
B ．1-
C ．1
D ．i -
3．已知x ，y 满足约束条件0
401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．5-
D ．1
4．若曲线2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直，则实数a 的值为（ ） A ．1
B
C ．2
D ．3
5．已知角α的终边经过点(1,3)P -，则()
cos ππcos cos 2ααα+=
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
（ ） A ．12
B ．1
2- C ．14
D ．14-
6．已知向量(2,2),(,3)a b x ==-r r ，则“a r 与b r
的夹角为钝角”是“3x <”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充要条件
D ．必要不充分条件
7．如图，圆O 内接一个圆心角为60°的扇形ABC ，在圆O 内任取一点，则该点落在扇形ABC 内的概率为（ ）
A ．14
B C ．12
D 8．地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y （单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数lg y 与时间x （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：lg 0.898.64y x =+，相关指数20.97R =）
．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A ．根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y 取
常用对数的做法，我们也可采用函数模型$
10ax y b k =⨯+$来拟合
B ．根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍
C ．虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程
D ．根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球 9．在ABC V 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222024b c a +=，则()tan tan tan tan tan A B C B C
+的
值为（ ） A ．
12023
B ．
22023
C ．
11012
D ．
22025
10．若函数222e ()2e e x
x f x x x =-++，且,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则（ ） A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AC BC AA ⊥==，E 、F 、G 、H 分别为
11AB BB CC AC 、、、的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A ．E 、F 、G 、H 四点共面
B ．1EF GH AA 、、三线共点
C ．设2BC =，则平面1EFC 截该三棱柱所得截面的周长为1
D ．AC 与平面EFGH 所成角为45︒
12．“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若()1,1A 成中心对称，则称(),A B ，同时把(),A B 和(),B A 视为同一对“然诺点”．已知
()()2e ,1
2,1x x x a x ax x -⎧-<∈=⎨->⎩
Z 的图象上有两对“然诺点”，则a 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．抛物线C ：()2
20y px p =->经过点()1,2P -，则点P 到C 的焦点的距离为．
14．6
11(1)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
展开式中x 2的系数为．
15．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（()0a b >>），1F 、2F 为椭圆的左右焦点，A 为椭圆上一点，
连接1AF 并延长交椭圆于另一点B ，若212AF AF =，213BF BF =，则椭圆C 的离心率为. 16．已知直线:10l x ay --=与⊙22:2440C x y x y +-+-=交于,A B 两点，设弦AB 的中点为M ，则OM 取值范围为．
三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n S a n =+-． (1)求证：数列{}2n a -为等比数列； (2)已知()23
n n n a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和．
18．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，
SA AB ⊥，
SA SC ==
(1)证明：四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；
(2)已知点E 在线段AC 上，且AE EC λ=u u u r u u u r ，若二面角A SE D --的余弦值为λ的
值．
19．甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为2
3，若乙开球，则本局甲赢的概率为13
，每局比赛的结果相互独
立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.
(1)求第3局甲开球的概率；
(2)设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望.
20．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
的焦距为
D 在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)直线:1l x my +＝与C 的右支交于,A B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，D 点在x 轴上的投影为G .
①求m 的取值范围； ②求证：直线BE 过点G ．
21．已知函数()()()1x x
f x e ae a x a R -=--+∈（其中常数 2.71828e =⋅⋅⋅，是自然对数的底
数）.
（1）求函数()f x 极值点；
（2）若对于任意01a <<，关于x 的不等式()()2
1
a f x e a λ-<-⎡⎤⎣⎦在区间()1,a -+∞上存在实
数解，求实数λ的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为21(151t x t
t y t ⎧
=-⎪⎪+⎨
⎪=+⎪+⎩为参数)，曲线221x y +=经过
伸缩变换x x
y '='=⎧⎪⎨⎪⎩后得到曲线C .以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；
(2)设射线()0,02θαραπ=>≤<与直线l 和曲线C 分别交于点,A B ，求2
2
41OA
OB
+
的最大
值.
23．已知()|||3|()f x x a x a =--∈+R ． (1)若1a =-，解不等式()2f x x ≥；
(2)当a t =（0t >）时，()f x 的最小值为3，若正数m 、n 满足m n t +=，
证明：6≤．。