广西南宁市第三中学高二数学下学期期末考试试题 理

广西南宁市第三中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题
理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 已知集合{}{}|2,|06A x Z x B x x =∈≥=≤<，则A B =（ ）
A.{}|26x x ≤<
B. {}|06x x ≤<
C. {}0,1,2,3,4,5
D.{}
2,3,4,5
2．若复数z 满足()2
11z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]
0,1上单调递增的是（ ）
A. cos y x =
B. 2
y x =-
C. 12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
D. sin y x =
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴长为8，右顶点(,0)a 到双曲线的一条渐近
线的距离为
12
5
，则双曲线C 的方程为（ ）
A.221916x y -=
B. 221169x y -= C . 2212516x y -= D. 22
11625
x y -= 5．为了解某高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（ ） A. 0047
B. 1663
C. 1960
D. 1963
6．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内， 并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在 阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 3
C. 10
D. 15
7．若,,a b c 满足223,log 5,32a c
b ===，则（ ）
A.c a b <<
B.b c a <<
C.a b c <<
D. c b a <<
8．设a R ∈，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要
条件
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
16
3
B.8
C.6
D.
83
10．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移
6
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ 的一个可能取值为（ ）
A.
3
π
B.
6
π C. 0
D.
4
π 11．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱AA 1⊥平面ABC ，若AB=AC=3，
12,83
BAC AA π∠==，则球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．104π
12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，21,01
()22,1
x
x x f x x ⎧-+≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）
A.1-
B.1
3
-
C.1
2
-
D.
13
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13．已知实数x,y 满足02
042x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤⎩
，则2x y -的最大值为__________．
14
．在5(x -
的展开式中，2x 的系数为____________.
15．已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线2
4y ax =截得的线段长为4，则抛
物线的焦点坐标为_________. 16．如图所示，AC 与BD 交于点E ，AB∥CD，
AC=3
，AB=2CD=6，当tanA=2时，BE CD = ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和134,1,,n S S S S +成等差
数列，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若46,,n S S S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.
18．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为m
与p ，且乙投球3次均未命中的概率为1
64
，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中， AF ⊥平面ABCD ，
DE ⊥平面
A
，
0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．
（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）已知动点(),M x y =，点
M 的轨迹为曲线E. （1）求E 的标准方程；
（2）过点()1,0F 作直线交曲线E 于P,Q 两点，交y 轴于R 点，若12,RP PF RQ QF λλ==，证明：12λλ+为定值.
21.（本小题满分12分）已知函数22
()(2)ln (21)(1)f x x x x a x a x b =+-+-++ （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求b a -的最小值.
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).在以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2
2:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=.
（Ⅰ）写出曲线12,C C 的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4
π
的直线l 交曲线2C 于A,B 两点，求AB .
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数2
()3f x x x =-+.
（Ⅰ）求不等式()3f x x ≥的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2
()2
x
f x x a -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.
高二期考理科数学参考答案
1.D 【解析】∵集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，∴A∩B={2，3，4，5}，
2.B 【解析】()2
11z i i -=+ ()
()()2
21i i 1i
1i 1i 11
i 2i 2i 222
1i z +++-+∴=
=
===-+---， z ∴在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限，故选：B ．
3.D 【解析】四个函数都是偶函数，在[]0,1上递增的只有D ，而A ，B ，C 三个函数在[]
0,1上都
递减，故选D ．
4.A 【解析】由虚轴长为8可得4b =，右顶点(,0)A a 到双曲线M 的一条渐近线0
bx ay -=距离为12
5，125=，解得3a =，∴则双曲线M 的方程为221916x y -=，故选A. 5.D 【解析】
,故最后一个样本编号为
,故选D
6.C 【解析】根据题意，正方形的面积为5525⨯=，所以阴影部分的面积400
25101000
S =⨯
=，故选C.
7.A 【解析】因为23,32a c
==，所以23log 3,log 2a c ==，因为23log ,log y x y x ==单调
递增，所以222log 5log 3log 2>>=
33log 3log 2>，因此b a c >>，选A.
8.C 【解析】若直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行，则(1)60
(7)90a a a a a --=⎧⎨--≠⎩
，
即3a =，即“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行”的充分必要条件.
9.A 【解析】,所以选A
10.B 【解析】将函数2y sin x ϕ=+（）
的图象沿x 轴向右平移6
π
个单位后， 得到函数的图象对应的函数解析式为2263y sin x sin x π
πϕϕ⎡⎤
=++=++⎢⎥⎣
⎦
（）（），
再根据所得函数为偶函数，可得3
2k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，．
故ϕ的一个可能取值为： 6
π
， 故选B ．
11.C 【解答】∵AB=AC=3，∠BAC=120°，
=∴三角形ABC
的外接圆直径
，∴r=3，∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1=8，∴该三棱柱的外接球的半径
R=5，∴该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR 2=4π×52=100π．故选C ．
12.B 【解析】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所
以函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，则由(1)()f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即
22(1)()x x m -≥+，即2
()(22)10g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则
()(31)(1)0(1)2(1)(31)0g m m m g m m m =-+≤⎧⎨
+=++≤⎩
，解得113m -≤≤-，即m 的最大值为1
3-. 13. 3【解析】可行域如图所示，由122
y x
x ⎧
=⎪⎨⎪=⎩ 的(2,1)A ，
当20x y z --=过A 时，max 3z =，故填3． 14.
5
2
【解析】结合二项式定理的通项公式有：
355215
51(()2r r r
r
r r r T C x
C x --+==-，令3
522r -=，可得：2r =，则2x 的系数为：
225115
()10242
C -=⨯=. 15.(1,0)【解析】由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，
将(1,2)P 代入2
4y ax =中，解得：2
1,4a y x =∴=，
由抛物线方程可得：24,2,
12
p
p p ===，∴焦点坐标为(1,0). 16. 12【解析】由已知条件可知
，
sinA=
5，
cosA=5
，在△ABE 中，BE 2=AE 2+AB 2﹣2AE•AB×cosA=32，∴
cos∠ABE=22222
AB BE AE AB BE +-=
⋅，∴BE CD =
=12，故答案为：12 17.【解析】 (1)设数列{}n a 的公差为d
由题意可知314
2
215210
S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩
，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩，即112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-； 6
分
（2）由（1）知2
4621,,16,36n n a n S n S S =-∴=∴==，
又22
2
46
36,81,916
n S S S n n =∴=
=∴=，公比649
4S q S ==. 12分 18.【解析】设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . （Ⅰ）由题意得： ()()()
33
11164P B p -=-=
，解得34
p =， 所以乙投球的命中率为
3
4
． 5分 （Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，甲投球的命中率为1
2
，
则有()12P A =， ()12P A =， ()34P B =， ()1
4
P B =，
ξ可能的取值为0，1,2,3，故()()()2
111
02432P P A P BB ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，
()()()()()()2
1
2113117122444232P P A P BB C P B P B P A ξ⎛⎫==+=⨯+⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭， ()()()2
139
32432P P A P BB ξ⎛⎫===⨯=
⎪⎝⎭， ()()()()52101332
P P P P ξξξξ==-=-=-==
，
ξ的分布列为：
ξ的数学期望()0123232321232
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分
19.【解析】（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α.
显然，以下只需证明//BF 平面α；
∵2,//BC AD AD BC =，∴//AD BP 且AD BP =， ∴四边形ABPD 为平行四边形，∴//AB DP . 又AB ⊄平面PDE ， PD ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE .
∵AF ⊥平面ABCD ， DE ⊥平面ABCD ，∴//AF DE . 又AF ⊄平面PDE ， DE ⊂平面PDE ， ∴//AF 平面PDE ，
又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=， ∴平面//ABF 平面PDE . 又BF ⊂平面ABF ，
∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α. 6分 （2）过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ， ∵AF ⊥平面ABCD ，
∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，
以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，
∴1,BG AG ==
))
1,0,B
C
-.
∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，∴()()
0,4,0,3,3,1BC BE ==-.
设平面BCE 的法向量(),,n x y z =，由·0
{·0
n BC n BE ==
，得40{30y y z =++=，
取x =
BCE 的一个法向量(
)
3,0,3n =
.
设直线EF 和平面BCE 所成角为θ， 又∵()0,2,3EF =-，∴
3sin cos ,26
n EF θ=〈〉=
=
， 故直线
EF 和平面BCE 所成角的正弦值为
26
. 12分 20．【解析】
=，
可得点M （x ，y ）到定点A （﹣1，0），B （1，0）的距离等于之和等于
． 且AB <N 的轨迹是以C （﹣1，0），A （1，0）为焦点的椭圆，
且长轴长为2c=2，所以，c=1，b=1，曲线E 的方程为：2
212
x y +=； 5分
（Ⅱ）法1：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （0，y 0）， 由1RP PF λ=，（x 1，y 1﹣y 0）=λ1（1﹣x 1，﹣y 1），∴01
1111
,11y x y λλλ=
=++， ∵过点F （1，0）作直线l 交曲线E 于P ，∴
2
20111
1()()1211y λλλ+=++， ∴22
1104220y λλ++-=…①
同理可得：22
2204220y λλ++-=…②
由①②可得λ1、λ2是方程
x 2+4x+2﹣2y 02
=0的两个根，∴λ1+λ2为定值﹣4． 法2：依题意得的斜率一定存在，设斜率为k ， 则直线方程为
代入椭圆方程得：
设，则，
由得：得
同理得：
则为定值。

12分
21．【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．
f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=0，得x=e．
x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）； 6分
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．
令f′（x）=0，得x=e a．x∈（0，e a）时，f′（x）＜0，∈（e a ，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e a，+∞），减区间为（0，e a）
∴f（x）min=f（e a）=﹣e2a﹣e a+b，
∵f（x）≥0恒成立，∴f（e a）=﹣e2a﹣e a+b≥0，则b≥e2a+e a．∴b﹣a≥e2a+e a﹣a
令e a=t，（t＞0），∴e2a+e a﹣a=t2+t﹣lnt，设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）
=(21)(1)
t t
t
-+
．
当t∈（0，
1
2
）时，g′（t）＜0，当
1
(,)
2
t∈+∞时，g′（t）＞0．∴g（t）在（0，
1
2
）上递减，在（
1
2
，+∞）递增．
∴g（t）min=g（
1
2
）=
3
ln2
4
+．f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值为
3
ln2
4
+． 12
分
22.【解析】（Ⅰ）
即曲线的普通方程为
∵，，
曲线的方程可化为
即
. 5分 （Ⅱ）曲线左焦点为
直线的倾斜角为
，
所以直线的参数方程为（参数）
将其代入曲线整理可得，所以
.
设对应的参数分别为
则所以
，
.
所以
. 10分
23.【解析】（Ⅰ）当0x ≥时，2
()33f x x x x =-+≥,即2
430x x -+≥,
解得3x ≥或1x ≤.所以3x ≥或01x ≤≤；
当0x <时，2
()33f x x x x =++≥，此不等式2
230x x -+≥恒成立，所以0x <.
综上所述，原不等式的解集为{}
31x x x ≥≤或. 5分 （Ⅱ）2
()2x f x x a -≤
+恒成立，即33x x a -+≤+恒成立，即32
x
a x ++≥恒成立， ∵
22222222
x x x x x x x x
a x a a a a ++=+++≥+-+=+≥ 当且仅当0x =时等式成立，∴3a ≥，解得3a ≥或3a ≤-. 故实数a 的取值范围是(][),33,-∞-+∞. 10分。