2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程课件新人教B版

∴直线 EF 的方程为3x0＋2y0＝1(0≤x≤30)． 易知当矩形草坪的一个顶点在线段 EF 上时，可取最大值， 在线段 EF 上取点 P(m，n)，作 PQ⊥BC 于点 Q， PR⊥CD 于点 R，设矩形 PQCR 的面积为 S， 则 S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
解
又3m0＋2n0＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－23m. ∴S＝(100－m)80－20＋23m ＝－23(m－5)2＋183050(0≤m≤30)． ∴当 m＝5 时，S 有最大值，这时|EP|∶|PF|＝5∶1. 所以当矩形草坪的两边在 BC，CD 上，一个顶点在线段 EF 上，且这个 顶点分有向线段 EF 成 5∶1 时，草坪面积最大．
4．(2019·四川绵阳联考)过点(5,2)且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距 的 2 倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0 或 2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0 或 2x－5y＝0
答案
解析 设所求直线在 x 轴上的截距为 a，则在 y 轴上的截距为 2a，①当 a＝0 时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为 y＝25x，即 2x－5y ＝0；②当 a≠0 时，设所求直线方程为ax＋2ya＝1，又直线过点(5,2)，所以5a＋ 22a＝1，解得 a＝6，所以所求直线方程为6x＋1y2＝1，即 2x＋y－12＝0.综上， 所求直线方程为 2x－5y＝0 或 2x＋y－12＝0.故选 B．
C．0，π4∪π2，π
D．π4，π2∪34π，π
解析 依题意，直线的斜率 k＝－a2＋1 1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值
范围是34π，π.
解析 答案
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点， 则直线 l 斜率的取值范围为_(_－__∞__，__－____3_]∪__[_1_，__＋__∞__)__．
[即时训练] 1.(2019·南昌模拟)直线 2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜 角的变化范围是( )
A．π6，π3 C．π4，π2
B．π4，π3 D．π4，23π
答案
解析 直线 2xcosα－y－3＝0 的斜率 k＝2cosα.由于 α∈π6，π3，所以12 ≤cosα≤ 23，因此 k＝2cosα∈[1， 3]．设直线的倾斜角为 θ，则有 tanθ∈[1，
A．23
B．32
C．－23
D．－23
答案
解析 设 P(a,1)，Q(b，b－7)，由线段 PQ 的中点坐标为(1，－1)可得
a＋2 b＝1， 1＋b2－7＝－1，
解得ab＝＝－4，2， 所以 P(－2，1)，Q(4，－3)，所以直线
l 的斜率 k＝1－－2－ －34＝－23，故选 C．
解析
休息时间到啦
解
角度 2 直线方程与函数的结合 例 4 为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图)， 另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量 AB＝100 m，BC＝80 m， AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解 如图所示，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 E(30,0)， F(0,20)，
B．－3
C．5
D．－1
m－4 解析 ∵直线过 A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为 1－2 ＝4－m.
又直线的倾斜角为 45°，∴直线的斜率为 1，即 4－m＝1，∴m＝3.故选 A．
解析 答案
2．直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角是( )
A．π6
B．π3
C．23π
D．56π
解析 由直线的方程得直线的斜率 k＝－ 33，设倾斜角为 α，则 tanα＝
斜率 8 __y_＝__kx_＋__b__
不含垂直于 x 轴 的直线
名称
条件
方程
适用范围
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
09 __yy_2－－__yy_11_＝__xx_2－－__xx_11__
不含直线 x＝x1(x1＝x2) 和直线 y＝y1(y1＝y2)
复习课件
2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程课件新人教B版
2021/4/17
2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与
1
斜率直线的方程课件新人教B版
第九章 平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角 与斜率、直线的方程
1
PART ONE
基础知识整合
解析
5．(2020·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线 l1：ax＋y＋b ＝0 和直线 l2：bx＋y＋a＝0 的图象有可能是( )
解析 当 a>0，b>0 时，－a<0，－b<0，B 项符合．
解析 答案
6．直线 l 与直线 y＝1，直线 x－y－7＝0 分别交于 P，Q 两点，线段
PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线 l 的斜率是( )
(2)直线的斜率 条件
直线的倾斜角为 θ，且 θ≠90°
直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1≠x2
公式
k＝ 05 __t_an_θ___ y2－y1
k＝ 06 __x_2_－__x_1 __
2．直线方程的几种形式
名称
条件
方程
适用范围
点斜式 斜率 k 与点(x1，y1) 07 __y_－__y1_＝__k_(_x_－__x1_)_ 不含直线 x＝x1
牢记口诀： “斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是 零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
1．已知直线过 A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为 45°，则 m＝( )
A．3
[即时训练] 3.已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相
等，则 a 的值是( )
A．1
B．－1
C．－2 或－1
D．－2 或 1
解析 当 a＝0 时，直线方程为 y－2＝0，不满足题意，所以 a≠0，直
2＋a
2＋a
线在 x 轴上的截距为 a ，在 y 轴上的截距为 2＋a，则由 2＋a＝ a ，得
3]．由于 θ∈[0，π)，所以 θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.
解析
2．(2019·安徽五校联考)已知点 A(2,3)，B(－3，－2)，若直线 kx－y＋1
－k＝0 与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是( )
A．34，2
B．－∞，34∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]
直线在 x 轴，y 轴上 截距式
的截距分别为 a，b
10 __ax_＋__by_＝__1__
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线
一般式
—
11 _A_x_＋__B_y_＋__C__＝__0__ 平面直角坐标系内的 _(A__，__B_不__同__时__为__0_) 直线都适用
1．直线的斜率 k 与倾斜角 θ 之间的关系． θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 k>0 不存在 k<0
故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0. (3)直线 3x－4y－5＝0 与 y 轴的交点为 A0，－54，所求直线过 A0，－54， 且斜率 k＝－34，所求直线方程为 y＝－34x－54，即 3x＋4y＋5＝0.
解
1．直线方程的求法 (1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直 线方程的形式，直接写出直线方程． (2)待定系数法：其具体步骤为，①设出直线方程的恰当形式(点斜式、 斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的 方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验 证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加． 2．应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线 的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．
解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为 α， 则 sinα＝ 1100(0<α<π)，
从而 cosα＝±31010，则 k＝tanα＝±31， 故所求直线方程为 y＝±31(x＋4)， 即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
解
(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为ax＋12－y a＝1，又直线过点(－ 3,4)，从而－a3＋124－a＝1，解得 a＝－4 或 a＝9.
－ 33，所以 α＝56π.
解析 答案
3．(2019·青海模拟)倾斜角为 135°，在 y 轴上的截距为－1 的直线方程
是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
解析 直线的斜率为 k＝tan135°＝－1，所以直线方程为 y＝－x－1，即
x＋y＋1＝0.
解析 答案
(1)因为4a＋1b＝1≥2 4a·1b＝ 4ab， 所以 ab≥16，S△AOB＝21ab≥8，当且仅当 a＝8，b＝2 时等号成立． 所以当 a＝8，b＝2 时，△AOB 的面积最小， 此时直线 l 的方程为8x＋2y＝1， 即 x＋4y－8＝0.
解
(2)因为4a＋1b＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·4a＋1b＝5＋ab＋4ab≥9，当且仅当 a＝6，b ＝3 时等号成立． 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为 x＋2y－6＝0.
1－0 解析 如图，∵kAP＝2－1＝1，
3－0 kBP＝ 0－1 ＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
解析
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因 此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切 函数图象可以看出，当 α∈0，π2时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝π2时，斜率 不存在；当 α∈π2，π时，斜率 k∈(－∞，0)．
解析 直线 kx－y＋1－k＝0 恒过 P(1,1)，kPA＝2，kPB＝34，故 k 的取值
范围是－∞，34∪[2，＋∞)．故选 B．
解析 答案
考向二 求直线的方程
例 2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)与直线 3x－4y－5＝0 关于 y 轴对称．
解析
精准设计考向，多角度探究突破
考向三 直线方程的应用
角度 1 直线方程与不等式的结合
例 3 过点 P(4,1)作直线 l，分别交 x 轴，y 轴的正半轴于点 A，B．
(1)当△AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程．
解 设直线 l：ax＋by＝1(a>0，b>0)，因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以a4＋ 1b＝1.
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一 动，久坐对身体不好哦~
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的
取值范围是( )
A．0，π4
B．34π，π
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：x 轴 01 __正__向____与直线 02 __向__上____的方向所成的角叫做这条 直线的倾斜角．当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 03 __0_°__. ②倾斜角的范围为 04 __0_°_≤__α_<_1_8_0_°____.
在直线的斜率 k＝1，又高线经过点 A(－1，1)，所以其所在的直线方程的 x
－y＋2＝0.
解析 答案
5．过点 P(6，－2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线 方程为___2_x＋__3_y_－__6_＝__0__或__x_＋__2_y_－__2_＝__0_____．
解析 设直线方程的截距式为a＋x 1＋ay＝1，则a＋6 1＋－a2＝1，解得 a ＝2 或 a＝1，则直线的方程是2＋x 1＋2y＝1 或1＋x 1＋1y＝1，即 2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0.
a＝－2 或 a＝1.
解析 答案
4．已知 A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC 的边 BC 上的高所在的直
线方程为( )
A．x＋y＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0
D．x－y＝0
3－1 解析 因为 B(3,1)，C(1,3)，所以 kBC＝1－3＝－1，故 BC 边上的高所