天津市蓟县第二中学高考数学模拟预测试题文

2015届蓟县二中高三数学（文）6月冲刺模拟试卷
参考公式：
数据x 1,x 2,…,x n 的平均值x ，方差为：s 2
=
222
12()()()n x x x x x x n
-+-+
+-
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(ðU N )＝( )
A.{1,2}
B.｛4,5｝
C.｛3｝
D.｛1,2,3,4,5｝
2. 复数z=i 2
(1+i)的虚部为( )
A.1
B. i
C. -1
D. - i 3.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积 为( ) A.π3 B.π37 C.
π3
20
D.π 4．在等比数列}{n a 中，32-=a ，64-=a ，则8a 的值为( ) A ．–24
B ．24
C ．±24
D ．–12
5．在四边形ABCD 中，“DC AB 2=”是“四边形ABCD 是梯形”的（ ） A ．充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 6. 方程062=-+x e x
的解一定位于区间（ ）
A ．（1，2）
B ．（2，3）
C ．（3，4）
D ．（5，6）
7．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为
2
a
的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A ．41π-
B ．
4
π C ．8
1π-
D ．与a 的取值有关
8. 在三角形ABC 中，C
B
BC AB A sin sin ,7,5,120则===
的值为（ ）
A ．
5
8 B ．
8
5 C ．
35 D ．
5
3
错错错 6
错错错错误！未找到引用源。

错5
9.设⎩⎨
⎧<+-≥--=0
,
620
,
12)(2x x x x x x f ，若2)(>t f ，则实数t 的取值范围是( ) A ．),4(1
,(+∞⋃--∞） B.),3(2,(+∞⋃-∞） C ．),1(4,(+∞⋃--∞）
D.),3(0,(+∞⋃-∞） 10．设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：
①αα⊥⇒⊥b b a a ,// ②αα⊥⇒⊥b a b a ,// ③αα//,b b a a ⇒⊥⊥ ④b a b a //,⇒⊥⊥αα 其中正确命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 11．右图是某次歌唱比赛中，七位评委为某选手打出分数的茎叶 统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和 方差分别为（ ）
A.84，4.84
B.84，1.6
C.85，1.6
D.85，4
12．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题 中的横线上）
13．已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则y x z +=2的最小值为 .
14. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为20时，则其输出的结果是 .
15.若一个圆的圆心在抛物线2
4x y -=的焦点处，且此圆与直线0143=-+y x
相
切，则圆的方程是 .
16. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +c xy ，其中a 、b 、c 为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知2*1=3，2*3=4，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x *m =2x ，则m = .
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知(sin ,cos )a x x =，)cos ,(cos x x =，f (x )=∙ ⑴ 求f (x )的最小正周期和单调增区间； ⑵ 如果三角形ABC 中，满足f (A )=
1
2
，求角A 的值．
18．（本小题满分12分）如图在棱长都相等的正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面）
ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别为AA 1，B 1C 的中点.
⑴ 求证：DE ∥平面ABC ；
⑵ 求证：B 1C ⊥平面BDE.
19．（本小题满分12分）下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布，共有队员40人，成绩分
为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x 分，跳远成绩为y 分. ⑴求m +n 的值；
20.（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n .且点（n S n ,）在函数x
x x f 23)(2
-=的图
D B A
B 11
象上.
⑴求数列{a n } 的通项公式； ⑵设1
3+=n n n a a b ，n T 是数列{n b }的前n 项和，求使得n T 60m <对所有的*
N n ∈都成立的最
小值m ．
21．（本小题满分12分）已知函数b ax x x f ++=23)(),(R b a ∈
⑴ 若函数)(x f 在2,0==x x 处取得极值，且极小值为2-,求b a ,的值．
⑵ 若]1,0[∈x ，函数)(x f 在图象上任意一点的切线的斜率为k ，求k ≤1恒成立时a 的取值范围．
22．（本小题满分14分）设21,F F 分别为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右两个焦点，
若椭圆C 上的点21,)2
3,1(F F A 到两点的距离之和等于4. ⑴ 求出椭圆C 的方程和焦点坐标； ⑵ 过点P （0，3
2
）的直线与椭圆交于两点M 、N ，若OM ⊥O N ，求直线MN 的方程.
A1
B
C
A
D
高三数学（文）模拟测试答案
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B A B A A D D B C C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
13．
2
5
- 14. 0
15．
16
1
)
16
1
(2
2=
+
+y
x 16. 3
三、解答题：
17．本题考查向量、二倍角和辅助角公式、三角函数性质和三角形的有关性质，要求学生能运用
所写的知识解决实际问题.满分12分
解：⑴f(x)= sin x cos x+x
2
cos………1分
=
2
1
x2
sin+x2
cos
2
1
2
1
+………2分
=
2
2
sin(2x+
4
π
)+
2
1
………3分
最小正周期为π，…………………4分
单调增区间（k∈Z）……………………6分
⑵由
2
1
)
(=
A
f得sin(2A+
4
π
)=0, …………7分
4
π
<2A+
4
π
<
4
9π
,……………9分
∴2A+
4
π
=π或2π∴A=
8
3π
或
8
7π
…………………… 12分
18．本题主要考察空间线线、线面、面面的位置关系，考查空间想象和推
理、论证能力，同时也可考察学生灵活利用所学的知识解决问题的能力.
解：（1）取BC中点G，连结AG，EG，
∵G，E分别为CB，CB1的中点，∴EG∥BB1,且BB1=2EG，
又∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴EG∥AD，EG=AD
∴四边形ADEG为平行四边形.∴AG∥DE
∵AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC (6)
所以DE∥平面ABC
（2）取BC中点G
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴BB1⊥平面ABC.
∵AG⊂平面ABC，∴AG⊥BB1，
∵G为BC的中点，AB=AC，∴AG⊥BC
∴AG⊥平面BB1C1C，∵B1C⊂平面BB1C1C，∴AG⊥B1C
∵AG∥DE，∴DE⊥B1C, ∵BC=BB1，B1E=EC，∴B1C⊥BE
∵BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BE ∩DE=E ，∴B 1C ⊥平面BDE …………12分
19．本题主要考察学生的对统计图表的认识，古典概率，同时也考察学生信息收集与数据处理的能力.
解：(1) m +n =40-37=3 答：…6分 （2）．当x =4时的概率为19
40
P =
,……………9分 当x ≥3且y =5时的概率为21
10
P =．答：……………12分
20．本题主要考查学生对数列的知识的处理，同时考查学生对式的运算能力和应变能力.
解：（1）因为点(,)()n
n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2
－2n. ………1分
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2
－2n ）－[
]
)1(2)132
---n n （＝6n －5. ……4分 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2＝6×1－5， …5分 所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈） ……（6分） （2）由（Ⅰ）得知13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3
-+-n n ＝)
1
61561(21+--n n ，（7分） 故T n ＝
∑
=n
i i b 1
＝
21⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝
21（1－1
61
+n ）.（10分） 因此，要使21（1－161+n ）<60m （n N *
∈）成立的m,必须且仅须满足2
1≤60m ，
即m ≥30，所以满足要求的最小值m 为30. （12分）
21．本题主要考查函数、导数的基本知识以及不等式的恒成立问题，同时考查学生的逻辑推理能
力和灵活应用知识的能力.
解：（1）由ax x x f 23)(2
+=' 得0=x 或3
2a x -
= ∴23
2=-
a
得a =-3. ……………………………………3分 当20<<x 时， 0)(<'x f ，当2>x 时0)(>'x f 故当2=x 时)(x f 取得极小值，248)2(-=++=b a f 所以2=b …………6分
（2）当]1,0[∈x ，123)(2
≤+='=ax x x f k 恒成立，
即令0123)(2≤-+=ax x x g 对一切[0,1]x ∈恒成立，………9分 只需⎩⎨
⎧≤+=≤-=0
22)1(0
1)0(a g g 即1-≤a
所以a 的取值范围为]1,(--∞. ………………………………12分
22．本题考查解析几何的基本思想方法，要求学生能正确分析问题，寻找较好的解题方向，同时兼顾考查算理和逻辑的能力，数形结合能力. 解：（Ⅰ）椭圆C 的焦点在x 轴上，
由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；
又点.1,31)23(21,)23,1(222
2
2===+c b b A 于是得因此在椭圆上；
所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,13
4212
2F F y x -=+焦点，………6分
（Ⅱ）直线MN 不与x 轴垂直，∴设直线MN 方程为y =kx +
3
2，代入椭圆C 的方程得 （3+4k 2)x 2
+12kx -3=0, 设Ｍ(x 1,y 1),Ｎ(x 2,y 2),则x 1+x 2=-21234k k +, x 1x 2=-2
334k
+,且△>0成立. 又ON OM ⋅= x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+( kx 1+32)(kx 2+32)= -22
3(1)34k k
++-2
21834k k ++94=0，
∴16k 2
=5,k =∴MN 方程为y =+3
2……………14分。