2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国二卷文理同卷)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（Ⅱ）
一、选择题
1．（理）设集合{}
065|2>+-=x x x A ，{}01|<-=x x B ，则=⋂B A （ ） A.)1,(-∞ B.)1,2(-
C.)1,3(--
D.),3(+∞
答案：A
解答：{2|<=x x A 或}3>x ，{}1|<=x x B ，∴）（1,∞-=⋂B A . （文）设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=⋂B A （ ） A.),1(+∞- B.)2,(-∞
C.)2,1(-
D.φ
答案：C
解答：{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=⋂B A . 2．（理）设i z 23+-=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：C
解答：i 23z --=，对应的点坐标为），（2-3-，故选C. （文）设(2)z i i =+，则z =（ ） A.12i + B.12i -+
C.12i -
D.12i --
答案：D
解答：因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--.
3．（理）已知(2,3)AB =，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB BC ⋅=（ ） A.3- B.2-
C.2
D.3
答案：C
解答：∵(1,3)BC AC AB t =-=-，∴2||11BC ==，解得3t =，(1,0)BC =，∴2AB BC ⋅=. （文）已知向量(2,3)=a ， (3,2)=b ，则-=a b （ ）
B.2
C. D.50
答案：A
解答：由题意知(1,1)-=-a b ，所以2-=
a b .
4．（理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日2L 点的轨道运行，2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球的质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万
有引力定律，r 满足方程
121223
()()M M M R r R r r R +=++.设=r
R
α.由于α的值很小，因此在近似计算中3453
2
3+331ααααα+≈+（）
，则r 的近似值为（ ） A
B
C
D
答案：D 解答：
121121
2232222
()(1)()(1)M M M M M M R r R r r R R r R αα+=+⇒+=+++，
所以有23211222
22
1
33[(1)](1)(1)M M M r R R αααααα++=+-=⨯++， 化简可得22333
122122
1333(1)3M r M M M R M αααααα++=⨯=⨯⇒=+
，可得r =. （文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量
过该指标的概率为（ ） A.
23
B.
35
C.
25
D.
15
答案：B
解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B ，则3只兔子的种类有(1,2,3)，(1,2,)A ，
(1,2,)B ，(1,3,)A ，(1,3,)B ，(1,,)A B ，()2,3,A ，()2,3,B ，()2,,A B ，()3,,A B ，共10种，则恰好有两
只测量过的有6种，所以其概率为
3
5
. 5．（理）演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分. 7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 答案：A
解答：由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为a ，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是a ，所以不变的是数字特征是中位数. 其它的数字特征都会改变.
（文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高. 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 答案：A
解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6．（理）若a b >，则（ ） A.ln()0a b -> B.33a b < C.330a b ->
D.||||a b >
答案：C
解答：由函数3
y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->.
（文）设()f x 为奇函数，且当0≥x 时，()1=-x
f x e ，则当0<x 时，()=f x （ ）
A. 1--x e
B. 1-+x e
C. 1---x e
D. 1--+x e
答案：D
解答：当0<x 时，0->x ，()1--=-x
f x e
，又()f x 为奇函数，有()()1-=--=-+x f x f x e .
7．设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是（ ） A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线
D. ,αβ垂直于同一平面
答案：B
解答：根据面面平行的判定定理易得答案.选B.
8．（理）若抛物线)0(22
>=p px y 的焦点是椭圆
132
2=+p
y p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.8
答案：D
解答：抛物线)0(22
>=p px y 的焦点是)0,2(p ，椭圆
1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p 22
=，∴8=p . （文）若123,4
4
x x π
π
==
是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．2 B. 32 C. 1 D.12
答案：A
解答：由题意可知
32442
T πππ
=-=，即T π=，所以=2ω. 9．（理）下列函数中，以2π为周期且在区间(,)42
ππ
单调递增的是（ ） A.|2cos |)(x x f = B.|2sin |)(x x f =
C.||cos )(x x f =
D.||sin )(x x f =
答案：A
解答：对于A ，函数|2cos |)(x x f =的周期2
T π
=，在区间(
,)42
ππ
单调递增，符合题意；
对于B ，函数|2sin |)(x x f =的周期2
T π
=
，在区间(
,)42
ππ
单调递减，不符合题意； 对于C ，函数x x x f cos ||cos )(==，周期2T π=，不符合题意； 对于D ，函数||sin )(x x f =不存在周期，不符合题意. （文）同理科第8题 10．（理）已知(0,
)2
π
α∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）
A.
15
B.
5
C.
3
D.
5
答案：B 解答：(0,
)2
π
α∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，
则12sin cos tan 2ααα=⇒=
，所以cos α==，所以sin 5
α==. （文）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为（ ） A. 10x y π---= B. 2210x y π---=
C. 2210x y π+-+=
D. 10x y π+-+=
答案：C
解答：因为2cos sin y x x '=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-， 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=.
11．（理）设F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆
222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ）
C.2
答案:A
解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=，又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=，解得
c
a
=e =
（文）同理科第10题
12．（理）已知函数的定义域为x R ∈，(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的
(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）
A ．9(,]4-∞
B ．7(,]3-∞
C ．5
(,]2
-∞
D ．2
(,]3
-∞
答案：B
解答：由当x R ∈，(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-
可知当(1,2]x ∈时，231
()2()22
f x x =--，当(2,3x ∈时，2
5
()
4()12
f x x =--，……当(,1],x n n n Z ∈+∈时，
221()2()22n n f x x n -=---，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-有
25854()1()292m m --≥-<解得的取值范围是73
m ≤.
（文）同理科第11题
二、填空题 13．（理）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_______. 答案：0.98
解答：经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为
100.97200.98100.99
0.9840
P ⨯+⨯+⨯=
=.
（文）若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≤⎩
，则3z x y =-的最大值是_______.
答案：9
解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9.
14．（理）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax
f x e =- .若(ln 2)8f =，则a =_______.
答案：3-
解答：∵ln 2
ln 2(ln 2)(ln 2)()()28a a a f f e
e ---=--=--===，∴3a =-. （文）同理科第13题
15．（理）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,3
,2,6π
===B c a b 则ABC ∆的面积为_______.
答案：36
解答：21
436423cos cos 2
22222=-+=-+==c
c c ac b c a B π
， 362
3
323421sin 21,34,32=⨯⨯⨯==
∴==∴B ac S a c . （文）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B +=，则B =_______. 答案：
34
π
解答：根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=，即()sin sin cos 0A B B +=，显然sin 0A ≠，所以
sin cos 0B B +=，故34
B π=
. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝
时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）
.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_______个面，其棱长为_______.（本题第一空2分，第二空3分.）
答案：26
1
解答：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；该半正多面体的正视
图如下，设该半正多面体的棱长为a ，则MN a =，2
EM NF a ==
，由正方
体的棱长为1，有1a a a =，∴1a =，即该半正多面体的棱长为
1.
三、解答题
17．如图，长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1EC BE ⊥.
（1）证明：⊥BE 平面11C EB ；
（2）（理）若E A AE 1=，求二面角1C EC B --的正弦值. （2）（文）若1AE A E =，3AB =，求四棱锥11E BB C C -的体积.
解答：（1）证明：∵⊥11C B 平面1ABB ，⊂BE 平面1ABB ，∴BE C B ⊥11， 又1EC BE ⊥，1111C C B EC = ，∴⊥BE 平面11C EB .
（2）（理）设底面边长为1，高为x 2，∴122+=x BE ，12
21+=x E B ，
∵⊥BE 平面11C EB ，∴︒=∠901BEB 即2
1212BB E B BE =+，∴22422x x =+解得1=x .
∵⊥BC 平面11ABB A ，∴E B BC 1⊥，又BE E B ⊥1，∴⊥E B 1平面BCE ，故E B 1为平面BCE 的一个法向量. ∵平面CE C 1与平面11ACC A 为同一平面，故11D B 为平面CE C 1的一个法向量， 在E D B 11∆中，∵21111=
==E B E D D B ，故B 1与11D B 成︒60角，
∴二面角1C EC B --的正弦值为2
3
60sin =
︒.
（文）设12AA a =，则229BE a =+，22118C E a =+，22
194C B a =+，
∵222
11=C B BE C E +，∴3a =，∴111113E BB C C BB C C V S h -=
1
363=183
=⨯⨯⨯. 18．（理）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束. 甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立. 在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.
（1）求(2)P X =；
（2）求事件“4X =且甲获胜”的概率.
解答：（1）2X =时，有两种可能：①甲连赢两局结束比赛，此时10.50.40.2P =⨯=；②乙连赢两局结束比赛，此时20.50.60.3P =⨯=，∴12(2)0.5P X P P ==+=；
（2）4X =且甲获胜，即10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5(10.4)(10.5)0.4]0.50.40.1⨯-+-⨯⨯⨯=. （文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . （1）求{}n a 的通项公式：
（2）设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和.
解答：（1）已知162,2231+==a a a ，故162121+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ， 又0>q ，故4=q ，则1211
1242---=⋅==n n n n q
a a . （2）把n a 代入n
b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为
22
)]12(1[n n
n =-+.
19．（理）已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式.
解答：（1）将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411， 整理可得)(2111n n n n b a b a +=
+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2
1
的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ， 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由{}n n b a +是首项为1，公比为
21的等比数列可得1
)2
1(-=+n n n b a ①； 由{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列可得12-=-n b a n n ②；
①②相加化简得21)21(-
+=n a n n ，①②相减化简得2
1)21(+-=n b n n . （文）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对
于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）. 8.602≈.
解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721
100
100
+=，
这类企业中产值负增长的企业比例是
2100
. （2）这类企业产值增长率的平均数是()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=⎡⎤⎣⎦， 这类企业产值增长率的方差是
222[(0.100.30)2(0.100.30)24(0.300.30)53--⨯+-⨯+-⨯22(0.500.30)14(0.700.30)7]1000.0296+-⨯+-⨯÷=， 2
8.6020.172040.17100
==⨯=≈. 20．（理）已知函数1
()ln 1
x f x x x +=-
- （1）讨论函数()f x 的单调性，并证明函数()f x 有且只有两个零点；
（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线x
y e =的切线.
解答：（1）函数的定义域为(0,1)(1,)+∞，
又22
11(1)12
()0(1)(1)x x f x x x x x --+'=
-=+>--，所以函数在(0,1)，(1,)+∞上单调递增， 又22
23()01
e f e e --=<-，1
2()01f e e -=>-，所以在区间(0,1)存在一个零点， 且(2)ln 230f =-<，22
23
()01
e f e e -=>-，所以在区间(1,)+∞上也存在一个零点，
所以函数有且只有2个零点；
（2）因为0x 是函数的一个零点，所以有000012
ln 111
x x x x +=
=+--. 曲线ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线方程为0000112ln 11
y x x x x x x =
+-=+-，
因为0ln 0
1x e x -=，当曲线x y e =的切线斜率为01x 时，可知切点坐标为0
01(ln ,)x x -， 故此时曲线x
y e =的切线方程为000
11
(ln )y x x x x -
=+， 化简为
00000
0002
11ln 1111121
x x y x x x x x x x x x +
++-=
+=+=+-，
所以曲线ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.
（文）已知12,F F 是椭圆C ：22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.
（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ∆的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 解答:（1）若2POF ∆为等边三角形，则P
的坐标为(,)22
c
±
， 代入方程22
221x y a b
+=可得22223144c c a b +=
，解得24e =±
1e =.
（2）由题意可得12||||2PF PF a +=，∵12PF PF ⊥，∴222
12||||4PF PF c +=， ∴221212(||||)2||||4PF PF PF PF c +-⋅=，∴222122||||444PF PF a c b ⋅=-=， ∴212
||||2PF PF b ⋅=，∴122121
||||162
PF F S PF PF b ∆=⋅==，解得4b =. ∵2
1212(||||)4||||PF PF PF PF +≥⋅，
∴212(2)4||||a PF PF ≥⋅，∴212||||a PF PF ≥⋅，
∴232a ≥，
∴a ≥21．（理）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为1
2
-，记M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .
①证明：PQG ∆是直角三角形； ②求PQG ∆的面积的最大值.
解答：（1）由题意得：1222y y x x ⋅=-+-，化简得：22
1(2)42
x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.
（2）①依题意设11(,)P x y ，11(,)Q x y --，1(,0)E x ，00(,)G x y ，直线PQ 的斜率为k （0k >）， 则1010PG
y y k x x -=-，10101010GQ y y y y k x x x x --+==--+，∴22
102210
PG GQ y y k k x x -⋅=-， 由22
11142x y +=，22
00142
x y +=相减化简可得221022
1012y y x x -=--， 又1111122GQ EQ y y k k k x x x -==
==--，∴1PG k k
=-，
∴PG PQ ⊥，即PQG ∆是直角三角形.
②直线PQ 的方程为(0)y kx k =>，联立2
2142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
，得11x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， 则直线21111111111
:()k PG y x x y x x kx x x k k k k k
+=--+=-++=-+，
联立直线PG 和椭圆C ，可得22222
1122224(1)2(1)(1)40x k x k x x k k k +++-+-=，则21102
4(1)2
x k x x k ++=+， ∴2111012114(1)()222
PQG x k S y x x kx k ∆+=+=⋅+2
2
224222
1
8()
8(1)8(1)1(2)(21)2522()5k k k k k k k k k k k k +++===++++++， 令1t k k
=+，则2t ≥，∴22888
12(2)5212PQG t t S t t t t
∆===
-+++，
令12z t t =+，易知函数12z t t
=+在[2,)+∞上单调递增，
∴min 19
(2)2
t t +=
，∴max 16()9PQG S ∆=. （文）已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；
（2）()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数
.
解答：（1）1()ln (0)'=->f x x x x ，设1()ln =-g x x x ，211()0'=+>g x x x
，则()g x 在(0,)+∞上递增，(1)10=-<g
，11(2)ln 2022=-
>=g ，所以存在唯一0(1,2)∈x ，使得00()()0'==f x g x ， 当00<<x x 时，0()()0<=g x g x ，当0>x x 时，0()()0>=g x g x ，
所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)+∞x 上递增，所以()f x 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知存在唯一0(1,2)∈x ，使得0()0'=f x ，即00
1ln =x x ， 000000000
11()(1)ln 1(1)1()0=---=---=-+<f x x x x x x x x x ， 22221113()(1)(2)110=----=->f e e e e
，2222()2(1)130=---=->f e e e e ， 所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)+∞x 上分别有一个零点.
方法一：设函数()f x 在0(,)+∞x 上有()0(1)f m m =>，
1111(1)ln 1()()(1)ln()10m m m f m f m m m m m m
---=---===， 所以11x m
=<是函数()f x 在0(0,)x 上一个零点，所以()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 方法二：设12()()0==f x f x ，(1)20=-<f ，则1021<<<x x x ， 有1111111(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ，2222221(1)ln 10ln 1
+---=⇒=-x x x x x x ， 设1()ln 1+=--x h x x x ，当0,1<≠x x 时，恒有1()()0+=h x h x
，则12()()0+=h x h x 时，有121=x x . 22．在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .
（1）当03
π
θ=时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
解答：解法一：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=
时，04sin 3
ρπ== 由已知得||||cos 23
OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中cos()||23OP ρθπ-==，
经检验，点(2,)3P π在曲线cos()23ρθπ-=上．所以，l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=．
（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．
因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是[,]42ππ．
所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,[,]42ρθθππ=∈．
解法二：（1）当03π
θ=
时，00=4sin 4sin 3π
ρθ==
以O 为原点，极轴为x
轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ，(4,0)A
，OM k =，
则直线l
的斜率3k =-，由点斜式可得直线l
：4)3
y x =--，化成极坐标方程为sin()26πρθ+=； （2）∵l OM ⊥，∴2OPA π
∠=，
则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，
化成极坐标方程为=4cos ρθ，
由4sin 4cos ρθρθ
=⎧⎨=⎩可得4πθ=， 又P 在线段OM 上，则[,]42
ππθ∈， ∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ([
,])42
ππθ∈. 23．已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；
（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.
解答：（1）当1a =时，22242(2)()|1||2|(1)22(12)242(1)x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩
，
所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩
或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩， 解得不等式的解集为{}
1x x <.
（2）当1a ≥时，由(,1)x ∈-∞，可知()2()(1)0f x a x x =--<恒成立，
当1a <时，根据条件可知()0f x <不恒成立.
所以a 的取值范围是1a ≥.。