2020年高考理科数学全国卷2-答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷
理科数学答案解析
一、选择题 1．【答案】A
【解析】由题意可得：{}1012A
B =-，，，，则
{2()3U
A B =-}，．故选：A ．
【考点】并集、补集的定义与应用 2．【答案】D
【解析】当π6α=-时，πcos2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，选项B 错误；当π3α=-时，2πcos 2cos 03α⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
＜，选项
A 错误；由α在第四象限可得：sin 0cos 0αα，＞＜，则sin22sin cos 0ααα=＜，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．
【考点】三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值 3．【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者900
1850
=名．故选：B ． 【考点】函数模型的简单应用 4．【答案】C
【解析】设第n 环天心石块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，
9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为
232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多
729
块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即
3(927)2(918)2(918)(99)
7292222
n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)
34022
n S S +⨯==
=．故选：C ．
【考点】等差数列前n 项和有关的计算
5．【答案】B
【解析】由于圆上的点()21，
在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必
第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为
()()
22
2x a y a a -+-=．由题意可得()()2
2
221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以
圆心的坐标为()11
，或()55，，圆心到直线230x y --=
距离均为d =
=
；所以，圆心到直线230x y --=
．故选：B ．
【考点】圆心到直线距离的计算 6．【答案】C
【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，1
2n n
a a +∴=． 所以，数列
{}
n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n
n a -=⨯=，
()()()()10110111051012101221222122112
12
k k k k k k a a a a +
+++++--∴+++=
=
=-=---，
1
522k +∴=，
则15k +=，解得4k =．故选：C ．
【考点】利用等比数列求和求参数的值 7．【答案】A
【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E ，故选：A ．
的
【考点】根据三视图判断点的位置 8．【答案】B 【解析】
22
221(00)x y C a b a b
-=：＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是b
y x a
=±
直线x a =与双曲线22221(00)x y
C a b a b
-=：＞，＞的两条渐近线分别交于D ，E 两点
不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限
联立x a
b y x a =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得x a y b =⎧⎨
=⎩ 故()D a b ，
联立x a
b y x a =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，解得x a y b =⎧⎨
=-⎩ 故()E a b -， ∴||2ED b =
∴ODE △面积为：1
282
ODE S a b ab =⨯==△
双曲线22
221(00)x y C a b a b
-=：＞，＞
∴
其焦距为2228c
ab ==
当且仅当a b ==
∴C 的焦距的最小值：8．故选：B ．
【考点】双曲线焦距的最值问题 9．【答案】D
【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧
⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又
()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当
1122x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1122⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，上单调递增，()ln 12y x =-在
1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，()f x ∴在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，排除B ；当12x ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，()()()212ln 21ln 12ln
ln 12121x f x x x x x +⎛
⎫=----==+ ⎪--⎝⎭
，2121x μ=+
-在12⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭，上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在12⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭，上单调递减，D 正确．故
选：D ．
【考点】函数奇偶性和单调性的判断 10．【答案】C
【解析】设球O 的半径为R ，则24π16πR =，解得：2R =．设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，
ABC
212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴=∴
球心O 到平面ABC 的距离1d ===．故选：C ． 【考点】球的相关问题的求解 11．【答案】A
【解析】由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t t
f t -=-，
2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，
11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误；
x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定．故
选：A ．
【考点】数式的大小的判断问题 12．【答案】C
【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，5
1
1()12345i i k i C k a a k +===∑，，
，， 对于选项A ，
511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑≤
52132435465711112
(2)()(01010)5555
i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；
对于选项B ，
51122334455611113
(1)()(10011)5555
i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；
对于选项D ，
51122334455611112
(1)()(10001)5555
i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；
故选：C
【考点】数列的新定义问题 二、填空题 13．
【答案】
2
【解析】由题意可得：2
11cos45a b →→
⋅=⨯⨯=0k a b a →→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
即：2
202k a a
b k →→→
⨯-=-
=，解得：2k =
．故答案为：2
． 【考点】平面向量的数量积定义与运算法则 14．【答案】36
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同
学，∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：3
36A =．
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种．故答案为：36．
【考点】计数原理的实际应用
15．【答案】【解析】
122z z ==，可设12cos 2sin i z θθ=+，22cos 2sin i z αα=+，
()()122cos cos 2sin sin i 3i z z θαθα∴+=+++=+，
()
(
)2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，
化简得：1
cos cos sin sin 2
θαθα+=-
()()122cos cos 2sin sin i
z z θαθα∴-=-+-
==
故答案为： 【考点】复数模长的求解 16．【答案】①③④
【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，
所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题
4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故
答案为：①③④．
【考点】复合命题的真假，空间中线面关系有关命题真假的判断 三、解答题 17．【答案】（1）23
π
； （2
）3+【解析】（1）由正弦定理可得：2
2
2
BC AC AB AC AB --=⋅，
2221
cos 22
AC AB BC A AC AB +-∴==-，()0πA ∈，，2π
3
A ∴=
． （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-=++=，即
()
2
9AC AB AC AB +-=．
2
2AC AB AC AB +⎛⎫
⎪⎝⎭
≤（当且仅当AC AB =时取等号）
，()()
()2
2
2
23
924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-+-=+
⎪
⎝⎭
，解得：AC AB +≤仅当AC AB
=时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =++
+≤，ABC ∴△周长的最大值为
3+
【考点】解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题
18．【答案】（1）12000； （2）0.94； （3）详见解析
【解析】（1）样区野生动物平均数为20111
1200602020
i i y ==
⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=
（2）样本(),i i x y
的相关系数为20
()()
0.94i
i x
x y y r --=
=
=
≈∑ （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可． 【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取 19．【答案】（1）1
2
；
（2）22113627
x y C +=：，2
212C y x =：．
【解析】（1）
()0F c ，，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，
联立2
2222
22
1x c
x y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩
，解得2
x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =
，
抛物线2C 的方程为2
4y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x c y c =⎧⎨=±⎩
，4CD c ∴=，
4
3
CD AB =
，即2
843b c a
=
，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e ＜＜，解得12e =，因此，椭圆1
C 的离心率为1
2
；
（2）由（1）知2a c =
，b =，椭圆1C 的方程为2
2
22143x y
c c +=，联立222
2241
43y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得2
3x c =或6x c =-（舍去）
，由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627
x y +=，曲线2C 的标准方程为2
12y x =．
【考点】椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程 20．【答案】（1）证明见解析； （2
． 【解析】（1）
M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB 1//MN AA ∴．在ABC △中，M 为
BC 中点，则BC AM ⊥．又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M =，
,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ．又
11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
11//B C ∴平面ABC ．又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F
平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴
又
BC ⊥平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN ．
（2）连接NP
//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP =，∴//AO NP ．根据三棱柱上下底面平行，其面
1A NMA
平面ABC AM =，面1A NMA
平面1111A B C A N =，∴//ON AP ．故：四边形ONPA
是平行四边
形．设ABC △边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6NP AO AB m ===．O 为111A B C △的中心，且
111A B C △边长为6m ，∴16sin 603
ON =⨯⨯︒，故：ON AP ==．
//EF BC ，∴
AP EP
AM BM
=，
∴3
EP
=
．解得：EP m =．在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，1B Q EP =且1//B Q EP ，∴四
边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ．由（1）11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所
成角．在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ，
sin
QN QPN PQ ∴∠=
==∴直线1B E 与平面1A AMN ． 【考点】证明线线平行和面面垂直，线面角
21．【答案】（1）当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递
减，当2ππ3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，()()0f x f x '＞，单调递增．
（2）证明见解析； （3）证明见解析．
【解析】（1）由函数的解析式可得：()3
2sin cos f x x x =，则：()()
22423sin cos sin f x x x x
'=-()2222sin 3cos sin x x x =-()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()0f x '=在()0πx ∈，上
的根为：12π
2π33x x ==
，，当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，()()0f x f x '＞，单调递增．
（2）注意到()()()()22
πsin πsin 2πsin sin2f x x x x x f x +=+⎡+⎤==⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，
结合（1）的结论，计算可得：()()0π0f f ==，2
π3228f ⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，2
23
f π
⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()max 8f x ⎡⎤=⎣⎦，()min 8f x ⎡⎤=-⎣⎦，即
(
)f x ≤． （3）结合（2）的结论有：
2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x
x ⎡⎤=⎣⎦ ()()()2222123
sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦
23233sin sin 2n
x x ⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣
⎦≤ 23n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦
≤34n ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【考点】导数的应用
22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；
（2）17cos 5
ρθ=． 【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=． （2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞，则22
253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标
方程为cos 5
ρθ=． 【考点】极坐标与参数方程的综合应用
23．【答案】（1）32x x ⎧⎨⎩
≤或112x ⎫⎬⎭； （2）(][)13-∞-+∞，，
． 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-，解得：32x ≤；当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=，无解；当4x 时，()43274f x x x x =-+-=-，解得：112
x ；综上所述：()4f x 的解集为32x x ⎧⎨⎩
≤或112x ⎫⎬⎭． （2）()()()()2
2222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-，解得：1a -≤或3a ，a ∴的取值范围为(][)13-∞-+∞，，
． 【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值。