【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练

第6讲 双曲线
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1．[2018·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2
－y 24＝1
B.x 24－y 2
＝1 C ．y 2－x 2
4＝1
D.y 2
4
－x 2
＝1 答案 D
解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 2
4－x 2
＝0，
即y ＝±2x .
2．[2018·湖北模拟]若双曲线x 2a －y 2
b
＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的
离心率为( )
A.
73 B.54 C.43 D.53
答案 D
解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43
，
又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2
＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53
.故选D.
3．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与
x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )
A.13
B.12
C.23
D.32 答案 D
解析 因为F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3＝1的右焦点，所以F (2,0)．
因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P
3＝1，解得y P ＝±3，
所以P (2，±3)，|PF |＝3.
又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝3
2
.故选D.
4．[2018·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4
，且其右焦点为F 2(5,0)，
则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 23＝1
B.x 29－y 2
16＝1 C.x 2
16－y 29＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 答案 C
解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝5
4
，所以a ＝4.
又a 2
＋b 2
＝c 2
，所以b 2
＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 2
9
＝1.
5．P 为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率
的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
答案 B
解析 如图，由题意可知⎩⎪⎨
⎪
⎧
4a ＋2a >2c ，a <c ，
∴1<e <3.
当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的
直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π
6
，则双曲线的渐近线方程为________．
答案 y ＝±2x
解析 根据已知可得，|PF 1|＝2b
2
a 且|PF 2|＝
b 2a ，故2b 2a －b 2
a ＝2a ，所以
b 2a 2＝2，b
a
＝2，双
曲线的渐近线方程为y ＝±2x .
7．[2018·海口调研]已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P
为双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．
答案 2
解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴c a
＝2.
8．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC
所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.
答案 2
解析 由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2
－y 2
＝a 2
.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2
＝2a 2
可得a ＝2.
9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，
焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝3
3
x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →
＝tOD →
，求t 的值及点D 的坐标．
解 (1)由题意知a ＝23，
又∵一条渐近线为y ＝b a
x ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |
b 2＋a 2
＝ 3.
∴b 2
＝3，∴双曲线的方程为
x 2
12
－y 2
3
＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.
将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 2
12－y 2
3＝1得x 2
－163x ＋84＝0，
则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝
3
3
(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0y 0＝433，x 2
12－y 20
3＝1，
∴⎩⎨
⎧
x 0＝43，y 0＝3，
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．
10．[2018·广西模拟]已知双曲线方程2x 2
－y 2
＝2. (1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
(2)求过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2
的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
解 (1)由2·22
－12
＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A (2,1)为中点的弦两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由对称性知x 1≠x 2.
∵P 1、P 2在双曲线上，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 2
1－y 2
1＝2，2x 22－y 2
2＝2，两式相减得
2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.∴
y 1－y 2
x 1－x 2
＝4. 所求中点弦所在直线方程为
y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.
(2)由2·12
－12
＝1<2知B (1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)．
可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.
联立方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x 2
－y 2
＝2，
2x －y －1＝0，消y ，得2x 2
－4x ＋3＝0.
∵Δ＝(－4)2
－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．
[B 级 知能提升]
1．[2017·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐
近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
12＝1 B.
x 212－y 2
4
＝1 C.x 2
3－y 2
＝1 D ．x 2
－y 2
3
＝1
答案 D
解析 根据题意画出草图如图所示⎝
⎛⎭
⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b
a
x 上.
由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a
x 上，
∴b a
＝tan60°＝ 3. 又a 2
＋b 2
＝4， ∴a ＝1，b ＝3，
∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.故选D.
2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.x 3－y 2
6＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 2
3＝1 D.x 25－y 2
4
＝1 答案 B
解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)，A (x 1，
y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
x 21a 2－y 21
b
2＝1，x 2
2a 2
－y
22b 2
＝1，
两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得
y 1－y 2
x 1－x 2
＝4b 2
5a 2，从而4b 2
5a
2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2
＝5，故选B. 3．[2018·武汉模拟]过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的直线与双曲线相交
于A ，B 两点，当AB ⊥x 轴，称|AB |为双曲线的通径．若过焦点F 的所有焦点弦AB 中，其长度的最小值为2b
2
a
，则此双曲线的离心率的范围为( )
A ．(1，2)
B ．(1，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
答案 B
解析 当经过焦点F 的直线与双曲线的交点在同一支上， 可得双曲线的通径最小，令x ＝c ，可得y ＝±b
c 2a 2－1＝±b 2a ，即有最小值为2b 2
a
； 当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时， 即为实轴，最小为2a . 由题意可得2a ≥2b
2
a
，
即为a 2≥b 2＝c 2－a 2
， 即有c ≤2a ，
则离心率e ＝c a
∈(1，2]．
4．[2018·承德模拟]已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .
(1)求W 的方程；
(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →
·OB →
的最小值．
解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.
又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2
－a 2
＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 2
2
＝1(x ≥2)．
(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，
从而OA →
·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2
1－y 2
1＝2.
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去
y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，
则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2
＋2
k 2
－1
， 所以OA →
·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2
)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝
＋k
2
m 2＋
k 2－1
＋2k 2m 2
1－k
2＋m 2
＝2k 2
＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2
－1>0.
所以OA →
·OB →
>2.
综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →
取得最小值2.
5．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线
的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线
AB 距离的最大值．
解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1
b
2＝1.
不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |
a 2＋b
2
＝b ，∴b ＝1，a
2
＝2，
∴所求双曲线的方程为x 2
2
－y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2
－2y 2
＝2中，
整理得(2k 2
－1)x 2
＋4kmx ＋2m 2
＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km
2k 2－1，①
x 1x 2＝2m 2
＋22k 2－1.②
∵PA →·PB →＝0，
∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，∴(k 2
＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2
－2m ＋5＝0.③
将①②代入③，得m 2
＋8km ＋12k 2
＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，
从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3. 将y ＝kx －6k －3代入x 2
－2y 2
－2＝0中， 判别式Δ＝8(34k 2
＋36k ＋10)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．
∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|
k 2
＋1
. ∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫d 42＝k 2
＋1＋2k k 2
＋1＝1＋2k k 2＋1≤2.
∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.。