广东省佛山市普通高中学校高三数学4月月考模拟试题(5)(2021年整理)

广东省佛山市普通高中学校2018届高三数学4月月考模拟试题（5）编辑整理：
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广东省佛山市普通高中学校2018届高三数学4月月考模拟试题
满分150分,时间120分钟)
一、选择题（每小题5分，共50分)
1。

已知i 为虚数单位,若复数(2)(1)z i ai =+⋅-为纯虚数，则实数a 的值是( ）
A ．12-
B ．12
C 。

2
D ．2-
2。

已知向量(,1)a x =，(3,6)b =，且a b ⊥，则实数x 的值为（ )
A ．12
B ．2-
C ．2
D ．2
1
-
3。

在数列{}n a 中，“(0n n a cq q =≠且0≠c )”是“{}n a 是等比数列”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.把函数()x x f 2sin =的图象向左平移4
π
个单位，所得图像的解析式是( ） A ．⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=42sin πx y B ．⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=42sin πx y C ．x y 2cos =
D ．x y 2cos -=
5.已知0,0a b >>，且12
(2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ )
A ．18
B ．14
C ．12
D ．34
6。

已知动点()n m P ,在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≤+0
04
y y x y x 表示的平面区域内部及其边界上运动，则53--=m n z 的
最小值是（ )
A.4 B 。

3 C 。

35
7。

已知某几何体的三视图（单位：dm ）如图所示,
则该几何体的体积（3dm ）是（ ） A ．3464π
+
B ．π+1664
C ．π+464
D ．π+432
（第7题图）
侧视图
俯视图 正视图
8。

已知流程图如图所示，该程序运行后,为使输出的b 值为16，
则的判断框内①处应填( ）
A.2 B 。

3 C.4 D.5 9。

已知集合{}
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-==<--=31lg ,0322x x y x B x x x A ，
在区 （ ） 间()3,3-上任取一实数x ，则“B A x ∈”的概率为A 。

41 B.81 C 。

3
1
D.
12
1
10。

已知关于x 的方程2cos 2(42)sin 221,
x t x t t ++=++
3[0,
)2
x π
∈恰好有三个不等实根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10t -≤≤ B ．10t -<≤ C ．01t ≤≤ D ．01t <≤
二、填空题（每小题5分，共25分)
11.已知函数()f x 为奇函数，且当(0,1)∈x 时,()2=x f x ,则=⎪⎭
⎫
⎝⎛-21f
12。

已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且18,297=-=S a ，则11S =
13.已知命题:p “[]x e a x ≥∈∀,1,0”，命题:q “04,2=++∈∃a x x R x ”，若命题“q p ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是
14.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是___________.
15。

点F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>交双曲
线于B A ,两点,且AF FB =，则双曲线的离心率为___________
三、解答题（共75分)
16。

已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，且满足03sin 2=-b B a ．
⑴求角A 的大小；
⑵当A ∠为锐角时，求函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
+=6sin sin 3πC B y 的值域．
17。

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到数据如下：
零件的个数x （个） 2 3 4 5 加工时间y (小时) 2。

5
3
4
4.5
⑴作出散点图；
⑵求出y 关于x 的线性回归方程a bx y +=； ⑶预测加工10个零件需要多少小时？
注：可能用到的公式:2
4
1
2
4
1
ˆx n x
y x n y
x b
i i
i i
i -⋅-=∑∑==，
x b y a ˆˆ-=，n i n
i +++=∑= 211
18.如图，正三棱柱111C B A ABC -中,D 是BC 的中点,a AB AA ==1 ⑵求
⑴求证:D B AD 1⊥； ⑶求三棱锥
证:D AB C A 11//平面； D AB C 1-的体积.
19。

已知0a >，函数23212
(),()133
f x a x ax
g x ax =-+=-+
⑴当1=a 时,求函数()f x 在(1,1)-上的极值;
⑵若在区间11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个实数0,x 使00()()f x g x ≥成立，求实数a 的
取值范围.
20。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =， 且12n n b b +=+.
⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式，并求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和n D ; ⑵设2
2*sin cos ()22
n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T ．
21.设椭圆:E 22
22x y a b
+1=（,0a b >）过()(
)
1,6,2,2N
M 两点，O 为坐标原点，
⑴求椭圆E 的方程;
⑵是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点B A ,且OA OB ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围,若不存在，说明理由.
答 案
一、选择题（每小题5分，共50分） 1—5：DBCCA 6—10:DCBCB 二、填空题(每小题5分，共25分) 11.2- 12.0
13. []4,e 14。

()2
1+n n 15.
1+
三、解答题（共75分)
16. ⑴03sin 2=-b B a 由正弦定理， 得:0sin ,sin 3sin sin 2≠=B B B A 得：23sin =A ， 所以，3
23ππ==A A 或 ⑵ππ
32,3=+∴=
C B A 得：π3
2
0<<B ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=B B C B y 2sin sin 36sin sin 3ππ
⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=+=6sin 2cos sin 3πB B B ⎥
⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,216sin ,65,66,32,0πππππB B B 所以，所求函数的值域为(]2,1 17。

（1)作出散点图如下：
（2)5.34
5.4435.2,5.345432=+++==+++=
y x ，
54543222224
12
=+++=∑=i i
x
5.525.4544335.224
1
=⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i
i y
x
所以7.05.34545
.35.345.522
2
4
1
24
1
=⨯-⨯⨯-=
-⋅-=
∑∑==x n x
y
x n y
x b i i
i i
i
故05.15.37.05.3=⨯-=-=x b y a 所以回归方程为05.17.0+=x y
(3)当10=x 时，05.805.1107.0=+⨯=y 所以加工10个零件大约需要05.8个小时。

18。

⑴证明：∵111C B A ABC -是正三棱柱, ∴ABC BB 平面⊥1
∴BD 是D B 1在平面ABC 上的射影 在正ABC ∆中,∵D 是BC 的中点,
∴BD AD ⊥
根据三垂线定理得，D B AD 1⊥ ⑵连接B A 1，设E AB B A =11 ，连接DE ∵AB AA =1 ∴四边形11ABB A 是正方形, ∴E 是B A 1的中点， 又D 是BC 的中点，
∴C A DE 1// ∵D AB DE 1平面⊂,D AB C A 11平面⊄, ∴D AB C A 11//平面。

⑶3124
3311
1
a BB S V V ADC ADC B D AB C =
⨯==∆-- 19. ⑴当1=a 时,()()()22,3
2
31223-=-='+-=x x x x x f x x x f
当01<<-x 时,()0>'x f ； 当10<<x 时，()0<'x f 故()()3
2
0=
=f x f 极大值，()x f 无极小值 ⑵设()()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈-+-=-=21,21,31
31
232x ax ax x a x g x f x F
则()()x a x a a ax x a x F 2122222-+=+-='
()0,0,21,21>'∴>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈x F a x
故()x F 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上为增函数 ()⎪⎭⎫
⎝⎛=∴21max F x F
依题意,需()0max ≥x F
即03
1
214181312≥-⨯+⨯-⨯a a a 0862≥-+∴a a 解得:173173--≤+-≥a a 或
0>a a ∴的范围为：[)
+∞+-,173
20。

⑴当1=n ，21=a ；
当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴ 12n n a a -=，
∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2n n a =
由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2。

又首项11=b ，∴21n b n =- ∴(21)2n n n a b n ⋅=-⨯
∴1231123252(23)2(21)2n n n D n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ① ①×2得23412123252(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ② ①—②得:
123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
114(12)
22(21)212
n n n -+-=+⨯--⨯-
12(32)6n n +=--, 1(23)26n n D n +=-+
⑵2(21)
n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数
n n
321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-．
2122223
n n n +-=--
21. （1）因为椭圆:E 22
221x y a b
+=（0,>b a )过()(
)
1,6,2,2N
M 两点，
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
114
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=
（2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点B A ,且OA OB ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即
222(12)4280k x kmx m +++-=，
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>，即22840k m -+> 122
2
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， ()()()2212122121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
()
2
222
2222222182142182k
k m m k m k k m k +-=++-+-= 要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=，即
222
22
28801212m m k k k --+=++, 所以223880m k --=,所以2
238
08m k -=≥又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎨≥⎩
, 所以28
3m ≥,
即m ≥
或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所
以圆的半径为r =222
228
381318
m m r m k ===-++
,r = 所求的圆为228
3
x y +=，此时圆的切线y kx m =+
都满足m ≥
或m ≤,
而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=
的两个交点为
或(33
-
±满足OA OB ⊥, 综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点
B A ,,且OA OB ⊥。

因为122
2
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， 所以2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++，
||AB ===
==，
①当0k ≠
时||AB =
，
广东省佛山市普通高中学校2018届高三数学4月月考模拟试题（5）
- 11 - / 11- 11 - 因为221448k k ++≥所以221101844k k
<≤++, 所以2232321[1]1213344
k k <+≤++,
||AB <≤且仅
当k =±=”。

② 当0k =时
,||3AB =.
③ 当AB 的斜率不存在时，
两个交点为(,33±
或(33-±，
所以此时||3AB =，
综上， AB
||AB ≤≤
: ||AB ∈。