第2课时 二次函数与商品利润
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第2课时
二次函数与商品利润
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能根据商品利润问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题 能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．
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1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y(元)与售价x的函数关系式为( B )
1400 =35时，y最大=4500. 2 ( 20)
∴售价x为35元时，总利润y最大，最大值是4500元．
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（《名校课堂》22.3第2课时习题）一件工艺品进价为100元，标价135元售
出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天
可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( A.5元 B.10元 C.0元 D.6元 A )
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例1（教材P50探究2）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映： 如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知 商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设每星期售出商品的利润为y元，则由分析可知， ①涨价时y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x）， 即y=-10x2+100x+6000=-10（x-5）2+6250（0≤x≤30）. ∴当x=5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大， 最大利润是6250元. ②降价时y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x）， 即y=-20x2+100x+6000=-20（x-2.5）2+6125（x≥0）. ∴当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，涨价2.5元，即定价57.5元时，利润 最大，最大利润是6125元. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大. 点拨：在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在利用公 式求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．
3.北国超市的小王对该超市苹果的销售进行了统计，某进价为4元/千克的品种的苹果每天的销 售量y（千克）和当天的售价x（元/千克）之间满足y=-20x+200（5≤x≤8），若销售这种苹 果所获得的利润为W，售价为x元，则销售每千克苹果所获得的利润为 （x-4） 元，W与 x之间的函数关系式为 W=（x-4）（-20x+200）=-20（x-7）2+180 ，要使该品种苹果当天 的利润达到最高，则其售价应为 7 元，最大利润为 180 元.
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例2（教材P50探究2的变式）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售， 那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价 每提高1元，销售量相应减少20件．如果售价为x元，总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当售价x为多少元时，总利润为y最大，最大值是多少元？ 分析：（1）根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式 解：（1）∵销售单价为x元，销售利润为y元， 根据题意，得y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]=（x﹣20）（1000﹣20x） =﹣20x2+1400x﹣20000（20≤x≤50）， ∴y与x的函数关系式为：y=﹣20x2+1400x﹣20000（20≤x师 打 造
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想一想：进价， 售价，利润，利 润率几者之间有 什么关系？
例1 （教材P50探究2）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元， 如何定价才能使利润最大？
y 10 x 2 560 x 7350 y 10 x 2 350 x
y 10 x 2 560 x 7350 y 10 x 2 350 x 7350
1 2.某商店经营一种商品，已知获得的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式 y (x 45) 2 1200 2 则当销售单价为 45 元时，获利最多，为 1200 元．
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，做题时应分类讨论. ①涨价时，若设每件涨价x元，则每星期少卖 10x 件，实际卖出 （300-10x） 件， 销售额为 [（60+x）（300-10x）] 元，买进商品需付 [40（300-10x）] 元， 根据利润=销售额-买进商品的钱数列函数解析式，并根据函数的性质求出函数的最大值即 可； ②降价时，若设每件降价x元，则每星期多卖 20x 件，实际卖出 （300+20x） 件，销 售额为 [（60-x）（300+20x）] 元，买进商品需付 [40（300+20x）] 元，再同涨 价，求出函数的最大值，最后再结合①②两种情况，即可得出最后使利润最大的定价.
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例2（教材P50探究2的变式）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售， 那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价 每提高1元，销售量相应减少20件．如果售价为x元，总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当售价x为多少元时，总利润为y最大，最大值是多少元？ 分析：(2)利用公式法可得二次函数的最值． （2）∵y=﹣20x2+1400x﹣20000，∴当x=﹣
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1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y(元)与售价x的函数关系式为( B )
1400 =35时，y最大=4500. 2 ( 20)
∴售价x为35元时，总利润y最大，最大值是4500元．
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（《名校课堂》22.3第2课时习题）一件工艺品进价为100元，标价135元售
出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天
可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( A.5元 B.10元 C.0元 D.6元 A )
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例1（教材P50探究2）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映： 如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知 商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设每星期售出商品的利润为y元，则由分析可知， ①涨价时y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x）， 即y=-10x2+100x+6000=-10（x-5）2+6250（0≤x≤30）. ∴当x=5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大， 最大利润是6250元. ②降价时y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x）， 即y=-20x2+100x+6000=-20（x-2.5）2+6125（x≥0）. ∴当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，涨价2.5元，即定价57.5元时，利润 最大，最大利润是6125元. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大. 点拨：在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在利用公 式求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．
3.北国超市的小王对该超市苹果的销售进行了统计，某进价为4元/千克的品种的苹果每天的销 售量y（千克）和当天的售价x（元/千克）之间满足y=-20x+200（5≤x≤8），若销售这种苹 果所获得的利润为W，售价为x元，则销售每千克苹果所获得的利润为 （x-4） 元，W与 x之间的函数关系式为 W=（x-4）（-20x+200）=-20（x-7）2+180 ，要使该品种苹果当天 的利润达到最高，则其售价应为 7 元，最大利润为 180 元.
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例2（教材P50探究2的变式）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售， 那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价 每提高1元，销售量相应减少20件．如果售价为x元，总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当售价x为多少元时，总利润为y最大，最大值是多少元？ 分析：（1）根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式 解：（1）∵销售单价为x元，销售利润为y元， 根据题意，得y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]=（x﹣20）（1000﹣20x） =﹣20x2+1400x﹣20000（20≤x≤50）， ∴y与x的函数关系式为：y=﹣20x2+1400x﹣20000（20≤x师 打 造
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想一想：进价， 售价，利润，利 润率几者之间有 什么关系？
例1 （教材P50探究2）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元， 如何定价才能使利润最大？
y 10 x 2 560 x 7350 y 10 x 2 350 x
y 10 x 2 560 x 7350 y 10 x 2 350 x 7350
1 2.某商店经营一种商品，已知获得的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式 y (x 45) 2 1200 2 则当销售单价为 45 元时，获利最多，为 1200 元．
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，做题时应分类讨论. ①涨价时，若设每件涨价x元，则每星期少卖 10x 件，实际卖出 （300-10x） 件， 销售额为 [（60+x）（300-10x）] 元，买进商品需付 [40（300-10x）] 元， 根据利润=销售额-买进商品的钱数列函数解析式，并根据函数的性质求出函数的最大值即 可； ②降价时，若设每件降价x元，则每星期多卖 20x 件，实际卖出 （300+20x） 件，销 售额为 [（60-x）（300+20x）] 元，买进商品需付 [40（300+20x）] 元，再同涨 价，求出函数的最大值，最后再结合①②两种情况，即可得出最后使利润最大的定价.
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例2（教材P50探究2的变式）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售， 那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价 每提高1元，销售量相应减少20件．如果售价为x元，总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当售价x为多少元时，总利润为y最大，最大值是多少元？ 分析：(2)利用公式法可得二次函数的最值． （2）∵y=﹣20x2+1400x﹣20000，∴当x=﹣