精选题库高一数学 课堂训练7-5

∴又πr2＝4πR2， ∴r2＝R2， ∴d2＝R2－r2＝R2， ∴d＝R. ∴较小圆锥的高h1＝R－d＝R. 较大圆锥高h2＝R＋R＝R， ＝.
8.[2010·江西]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两 两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平 分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关 系为________．
∴EB1·B1F≤＝， 当且仅当EB1＝B1F＝a时等号成立． 从而V1≤. 故p＝1－≥1－＝， 当且仅当EB1＝B1F＝a时等号成立． ∴p的最小值等于. 法二：设BC＝b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝AB·AD·AA1 ＝2a2b， 几何体EB1F－HC1G的体积 V1＝(EB1·B1F)·B1C1＝EB1·B1F. 设∠B1EF＝θ(0°≤θ<90°)， 则EB1＝acosθ，B1F＝asinθ. 故EB1·B1F＝a2sinθcosθ＝sin2θ≤， 当且仅当sin2θ＝1即θ＝45°时等号成立． 从而V1≤. ∴p＝1－≥1－＝，当且仅当sin2θ＝1即θ＝45°时等号成立． ∴p的最小值等于. 11. 如图所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝ 4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
答案：S3<S2<S1 解析：取BC中点D，AB中点E，AC中点F，
易知面AOD，面BOF，面COE平分三棱锥的体积． S1＝S△AOD，S2＝S△BOF，S3＝S△COE. 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则S1＝a·OD＝a·BC＝a·＝ . 同理S2＝ ，S3＝ . ∵a>b>c，∴S1>S2>S3. 9. [2011·课标全国]已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面 上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为__________． 答案：8 解析：如图所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O ′，连接O′B，OB，则在Rt△OO′B中，由OB＝4，O′B＝2，可得 OO′＝2，故VO－ABCD＝S矩形ABCD·OO′＝×6×2×2＝8.

二、填空题(每小题7分，共21分) 7. [2011·全国新课标]已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和 底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则 这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 答案： 解析：设球半径为R，圆锥底面半径为r， 球心O到圆锥底面的距离d， 则R2＝r2＋d2.
设正方形ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′ ＝x(0≤x≤1)，则AB′＝1－x， |AD|2＝x2＋(1－x)2＝2(x－)2＋， 故S正方形ABCD＝|AD|2∈[，1]， V＝·S正方形ABCD·h·2＝·S正方形ABCD··2＝S正方形ABCD∈[，]．
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2 答案：C 解析：由题意可知VB－GAC＝VP－GAC， ∵三棱锥VB－GAC＝VG－BAC，VD－GAC＝VG－ADC， 又∵三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝ 1∶2， 综上可知VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1，故选C. 6. [2011·全国]已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面 角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则 圆N的面积为( ) A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π 答案：D 解析：由圆M的面积知圆M的半径为2，|OM|＝＝2.|ON|＝|OM| ·sin30°＝.从而圆N的半径r＝＝，所以圆N的面积S＝πr2＝13π.故选D.
(1)求证：AB⊥DE； (2)求三棱锥E－ABD的侧面积． 解：(1)在△ABD中， ∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°， ∴BD＝＝2， ∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD. 又∵平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB平面ABD， ∴AB⊥平面EBD. ∵DE平面EBD，∴AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD. 在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2， ∴S△DBE＝DB·DE＝2. 又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE. ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝AB·BE＝4.
∴＝＝＝. 2．如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚 线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ( )
A. 1 B. C. D. 答案：B 解析：折叠起来后，B、C、D三点重合为S点，则围成的三棱锥为S —AEF.这时，SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，所以 此三棱锥的体积为V＝××1×1×2＝. 3. [2011·广东]如图1～3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边 形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 答案：B 解析：由几何体的三视图知直观图如右图所示．
原几何体为底面ABCD为矩形的四棱柱，且AB＝3，侧面A1ABB1⊥ 底面ABCD，A1A＝2.过A1作A1G⊥AB于G，由三视图知AG＝1，A1D1＝ 3，A1G＝＝. 底面ABCD的面积S＝3×3＝9， VABCD－A1B1C1D1＝S·h＝9×＝9. 4. [2012·石家庄一模]两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相 切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和 的最小值为( ) A. (6－3)π B. (8－4)π C. (6＋3)π D. (8＋4)π 答案：A 解析：设球O1、球O2的半径分别为r1、r2，则r1＋r1＋r2＋r2＝，r1 ＋r2＝，从而4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.故选A. 5．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与 三棱锥P－GAC体积之比为( )
解：(1)依题意，“正子体”任一棱都是正方体相邻两个面中心的连 线， 因为，“正子体”的所有棱的长均相等，且E、C、F、A在同一个 平面上，即四边形ECFA为菱形． ∴EA∥CF，故相交直线DE与EA所成的角就是异面直线DE与CF所 成的角． 由△ADE为正三角形，得DE与EA所成的角为60°.
因此 ，异面直线DE与CF所成的角为60°. (2)正子体的体积不是定值．
三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. [2010·福建]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、H分别是 棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱 BB1，CC1相交，交点分别为F，G.
(1)证明：AD∥平面EFGH； (2)设AB＝2AA1＝2a.在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点， 记该点取自于几何体A1ABFE－D1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在 棱A1B1、B1B上运动且满足EF＝a时，求p的最小值． 解：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1. 又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH. ∵AD⃘平面EFGH，EH平面EFGH. ∴AD∥平面EFGH. (2)解：法一：设BC＝b，则 长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝AB·AD·AA1＝2a2b， 几何体EB1F－HC1G的体积V1＝(EB1·B1F)·B1C1 ＝EB1·B1F. ∵EB＋B1F2＝a2，
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD， 而AD平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝AD·DE＝4. 综上，三棱锥E－ABD的侧面积S＝8＋2. 12．两个相同的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是正 方形的中心)底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重 合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满 足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”． (1)若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE 与CF所成的角； (2)问此正子体的体积V是否为定值？若是，求出该定值；若不是， 求出体积大小的取值范围．
第7章 第5节
时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则此 正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：如图所示的正方体AC1中，连接面对角线 A1C1、A1B、BC1、A1D、BD、DC1，由于四面体C1－A1BD中的各条棱 长都相等，可知该四面体为正四面体．设正方体的边长为a， 则正四面体的棱长为a，且S△A1BD＝(a)2＝a2.