人教A版数学必修四第二学期期中考试五校联考

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
广东省东莞五校2009—2010学年度第二学期期中考试五校联考
高一级数学科试卷
注意事项：
1. 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
第I 卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.） 1.已知(2,4)a =-,(1,2)b =, 则a ·b 等于（ ）
A. 0
B. 10
C. 6
D. 10- 2.函数|sin |y x =的最小正周期是（ ）
A.
4π B. π C.2
π
D.2π 3.120-的弧度数是（ ）
A.56π-
B. 43π
C.23π-
D. 34
π- 4.已知向量),4(x a = ，(4,4)b =-，若a
、b 平行，则x 的值为（ ） A ．0 B ．－4 C ． 4 D ． 4x =±
5. 若向量a 、b 的夹角为60，1||||==b a ，则=-⋅)(b a a
( )
A.3
12
+ B. 312- C.32 D.12
6.已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x ，则圆C 的方程为（ ）
A.2
2
(1)(1)2x y ++-= B.2
2
(1)(1)2x y -++= C.2
2
(1)(1)2x y -+-= D.2
2
(1)(1)2x y +++= 7.函数2sin(2)3
y x π
=-的单调增区间为（ ）
A.5[,]()66k k k Z π
πππ-
+
∈ B. 5[2,2]()66k k k Z ππ
ππ-+∈
C.5[,]()
1212k k k Z ππππ-+∈ D. 5[2,2]()612
k k k Z ππ
ππ-+∈
8. 设集合},1sin |{R x x x P ∈==，},1cos |{R x x x Q ∈-==，则（ ）
A. P Q φ=
B. Q P ⊆
C. },2
|{Z k k x x Q P ∈==π
D. Q P =
9.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当
]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)3
5(π
f 的值为（ ）
A. 21
B. 2
1
- C. 23 D. 23-
10.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足
OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 （ ）
A.32110x y +-=
B.2
2
(1)(2)5x y -+-= C.20x y -
=
D.250x y +-= 第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.已知21212,2e e b e e a
-=+=，则b a 32-＝____________.
12.函数)4
tan(π
+=x y 的定义域为___________________.
13.对于函数)62sin()(π
+=x x f ,下列命题:
①函数图象关于直线12π-=x 对称; ②函数图象关于点)0,12
5(
π
对称;
③函数图象可看作是把x
y2
sin
=的图象向左平移个
6
π
单位而得到;
④函数图象可看作是把)
6
sin(
π
+
=x
y的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
1
倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题是 .
14.对于任意的两个实数对)
,
(
),
,
(d
c
b
a，规定：)
,(
)
,(d
c
b
a=，当且仅当d
b
c
a=
=,；
定义运算“⊗”为：)
,
(
)
,(
)
,
(ad
bc
bd
ac
d
c
b
a+
-
=
⊗，
运算“⊕”为：)
,
(
)
,(
)
,(d
b
c
a
d
c
b
a+
+
=
⊕.设R
q
p∈
,，若)0,5(
)
,
(
)2,1(=
⊗q
p，则)
,
(
)2,1(q
p
⊕＝___________.
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15. （本小题满分12分）
（1）化简
sin(2s n()cos()
sin(3cos()
i
παπαπα
παπα
-⋅+⋅-+
-⋅+
）
）．
（2）求函数2
2sin cos
y x x
=-+的最大值及相应的x的值.
16．（本小题满分12分）在棱长为1的正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E是
1
A B的中点。

（1）求证：
1
AE A C
⊥；
（2）求证:
11
||
B C平面AC；
（3）求三棱锥
1
A A BC
-的体积.
A B
C
D
E
A1B1
D1
C1
17. （本小题满分14分）已知点
(1,2),(2,8)A B -及13
AC AB =，1
3
DA BA =-，
求点,C D 和向量CD 的坐标.
18.（本小题满分14分）已知)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a
，R ∈θ .
(1)若)0,2(=+b a ，求θθθcos sin 2sin 2
+的值；
（2）若
)5
1,0(=-b a
，(,2)θππ∈，求θθcos sin +的值.
19.（本小题满分14分）设函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的最高点D 的
坐标为（2,8
π
），由最高点D 运动到相邻最低点时，函数图形与x 轴的交点的坐标为
（
0,8
3π
）. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）当⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈4,4ππx 时，求函数)(x f 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x 的值；
（3）将函数)(x f y =的图象向右平移
4
π
个单位，得到函数)(x g y =的图象，求函数
)(x g y =的单调减区间.
20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆22
1
:(3)(1)4
C x y
++-=和圆
22
2
:(4)(5)4
C x y
-+-=.
（1）若直线l过点(4,0)
A，且被圆
1
C 截得的弦长为23，求直
线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂
直的直线
1
l和
2
l，它们分别与圆
1
C和圆
2
C相交，且直线
1
l被圆
1
C截得的弦长与直线
2
l被圆
2
C截得的弦长相等，试求所有满足
条件的点P的坐标.
2009—2010学年度第二学期期中考试五校联考
高一级数学期试卷参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 C B C B D B C A C D 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.
12
10
e e
-+ 12.,
4
x x k k Z
π
π
⎧⎫
≠+∈
⎨⎬
⎩⎭
13. ②④14.(2,0)
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15. （本小题满分12分）
（1）.化简
sin(2s n()cos()
sin(3cos()
i
παπαπα
παπα
-⋅+⋅-+
-⋅+
）
）．
（2）.求函数2
2sin cos
y x x
=-+的最大值及相应的x的值.
解：（1）原式
(sin)(sin)(cos)
sin(cos)
ααα
αα
-⋅-⋅-
=
⋅-
…………………5分s i nα
=…………………6分（2）222
2sin cos2(1cos)cos cos cos1
y x x x x x x
=-+=--+=++………………8分令[]
cos1,1
t x
=∈-,[]
2
2
13
1(),1,1
24
y t t t t
∴=++=++∈-…………………10分
当
max
1,cos1,2,, 3.
t x x k k Z y
π
===∈=
即即时 (12)
分
16．（本小题满分12分）在棱长为1的正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E是
1
A B的中点。

C
D
E
A B
D C
（1）求证：
1
AE A C
⊥；
（2）求证:
11
||
B C平面AC；
（3）求三棱锥
1
A A BC
-的体积.
（1）证明：正方体
1111
ABCD A B C D
-中，
11
11
,,
BC ABB A
BC AE
AE ABB A
⊥
⎧
∴⊥
⎨
⊂
⎩
平面
平面
…………2分
正方形
11
ABB A中，E是
1
A B的中点，
1
AE A B
∴⊥…………………3分1111
,,,
A B BC B A B BC A BC AE A BC
=⊂∴⊥
平面平面…………………4分
111
,
AC A BC AE AC
⊂∴⊥
平面…………………5分
（2）证明：正方体
1111
ABCD A B C D
-中，
111111
//,,,//
B C BC BC AC B C AC B C AC
⊂⊄∴
平面平面平面.…………………8分
（3）法一、解：
111
1
3
A A BC A ABC ABC
V V S AA
--∆
==⋅…………………10分
111
11
326
=⨯⨯⨯=…………………12分
法二、由（1）得
1
AE A BC
⊥平面，…………………9分11
1
3
A A BC A BC
V S AE
-∆
∴==⋅…………………10分
1121
2
3226
=⨯⨯⨯=…………………12分17．（本小题满分14分）已知点A（－1，2），B（2，8）及
1
3
AC AB
=，
1
3
DA BA
=-，求点C、D和CD的坐标.
解：设C
11
(,)
x y，D
22
(,)
x y，…………………1分
由题意可得
11
(1,2)
AC x y
=+-，(3,6)
AB =，
22
(1,2)
DA x y
=---(3,6)
BA=--
…………………5分
∵
1
3
AC AB
=，
1
3
DA BA
=-，∴
11
1
(1,2)(3,6)(1,2)
3
x y
+-==…………………6分22
1
(1,2)(3,6)(1,2)
3
x y
---=---=…………………7分
所以1
1
11
22
x
y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
和2
2
11
22
x
y
--=
⎧
⎨
-=
⎩
，…………………9分
解得1
1
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
和2
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
、…………………11分∴C、D的坐标分别为(0,4),(2,0)
-. …………………12分
因此
2121
(,)(2,4)
CD x x y y
=--=--…………………14分
18.（本小题满分14分）已知)
cos
,1(
),
sin
,1(θ
θ=
=b
a
，R
∈
θ;
(1) 若)0,2(=+b a ，求θθθcos sin 2sin 2
+的值；
（2）若)5
1,0(=-b a
，(,2)θππ∈，求θθcos sin +的值.
解：（1）)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a
，
)0,2()c o s s i n
,2(=+=+∴θθb a
， …………………1分 1t a n ,0c o s s i n
-==+∴θθθ； …………………3分
222
222
sin 2sin cos tan 2tan sin 2sin cos sin cos tan 1θθθθθ
θθθθθθ++∴+==++ …………………5分 1
2
=- …………………7分 （2）)5
1,0()cos sin ,0(=-=-θθb a
， …………………8分
5
1c o s s i n =-∴θθ，12
sin cos 25θθ∴=， …………………10分
(,2)θππ∈，且123
s i n c o s 0,(,),s i n c o s 0,
25
2
πθθθπθθ=>∴∈∴+<…………………12分 7
s i n c o s 12s i n c o s 5
θθθθ∴+=-
+=-. …………………14分 19.（本小题满分14分）设函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的最高点D 的
坐标为（
2,8
π
）
，由最高点D 运动到相邻最低点时，函数图形与x 的交点的坐标为（0,8
3π
）； （1）求函数)(x f 的解析式. （2）当⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈4,4ππx 时，求函数)(x f 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x 的值.
（3）将函数)(x f y =的图象向右平移4π
个单位，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =的单调减区间. .解：（1）∵由最高点D （
2,8
π
）
运动到相邻最低点时，函数图形与x 的交点的坐标为（0,8
3π
）， ∴348828
2T A ππππωϕ⎧=-⎪⎪
=⎨⎪⎪⋅+=
⎩， …………………2分 从而π=T ，22T
π
ω=
=，4
π
ϕ=
…………………4分
∴ 函数解析式为
)4
2sin(2)(π
+
=x x f …………………5分 （2）由（1）得函数)4
2sin(2π
+
=x y ，
当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈4,4ππx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,442πππx . …………………6分
∴当4
4
2π
π
-
=+x ，即4
π
-
=x 时，函数y 取得最小值2-. …………………8分
当2
4
2π
π
=
+
x ，即8
π=
x 时，函数y 取得最大值2. …………………10分
（3）由题意得，]4)4(2sin[2)(ππ
+
-
=x x g ，)4
2sin(2)(π
-=∴x x g ，……………12分
由)](232,22[42Z k k k x ∈++∈-πππππ得，)](8
7,83[Z k k k x ∈++∈ππππ
…………………13分
即)(x g y =的单调减区间为)](8
7,83[Z k k k ∈++
π
πππ. …………………14分 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22
1:(3)(1)4C x y ++-=和圆
222:(4)(5)4C x y -+-=.
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆
1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足
条件的点P 的坐标。

解：由题意1122(3,1),2,(4,5),2C r C r -== …………………1分 (1)由题意，直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=
…………………2分
由垂径定理可得：圆心1C 到直线l 的距离2
2
232(
)12
d =-=， …………………3分 结合点到直线距离公式，得：
2
|314|
1,1
k k k ---=+ ……4分
化简得：2
72470,0.24k k k k +===-或
…………………6分
求直线l 的方程为：0y
=或7
(4)24
y x =-
-，即0y =或724280x y +-= …………………7分
(2) 设点P 坐标为(,)m n ，由题意直线1l 、2l 的方程分别为：
1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11
0,0
kx y n km x y n m k k -+-=--++=
…………………8分
因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，且两圆半径相等。

由垂
径定理可得：圆心1C 到直线1l 与圆心2C 直线2l 的距离相等。

故有：2
2
41|5|
|31|111n m k n km k k k k --++--+-=++， …………………9分
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 …………………11分 关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=⎧⎧⎨
⎨
--=⎩⎩m-n+8=0
或m+n-5=0
………12分 解之得：点P 坐标为51(,)22
-.或 313(,)22-. …………………14分。