文科数学2010-2019高考真题分类训练专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义

（II）设 a = b = 4 ，若函数 f ( x) 有三个不同零点，求 c 的取值范围；
（III）求证： a2 − 3b＞0 是 f ( x) 有三个不同零点的必要而不充分条件.
30．（2015 山东）设函数
f (x) = (x + a) ln x ，g(x) =
x2 ex
，已知曲线 y
=
f (x) 在点 (1,
25．（2013 江西）若曲线 y = x +1（ R ）在点 (1, 2) 处的切线经过坐标原点，则 = ．
26．（2012 新课标）曲线 y = x(3ln x +1) 在点 (1,1) 处的切线方程为________．
三、解答题
27．（2017 山东）已知函数 f ( x) = 1 x3 − 1 ax2, a R ．
4.解析 由题意，可知 y = − sin x − 1 .因为 y
= −sin 0 − 1 = − 1 ，
2
x=0
22
所以曲线 y = cos x − x 在点 (0,1) 处的切线方程 y −1 = − 1 x ，即 x + 2 y − 2 = 0 ．
2
2
5.解析
设 A(x0 , lnx0 ) ，由 y = lnx ，得 y ' =
是_______．
24．（2014 安徽）若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：
(i) 直线 l 在点 P(x0 , y0 )处与曲线 C 相切；(ii) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧，则称
直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的
C． e
D． 1 e
9．（2011 山东）曲线 y = x2 +11在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
A．-9 B．-3 C．9 D．15
10．（2011 湖南）曲线 y = sin x − 1 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为（ ）
sin x + cos x 2
4
A． − 1 2
.
2010-2018 年
一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)设函数 f (x) = x3 + (a −1)x2 + ax ．若 f (x) 为奇函数，则曲线 y = f (x) 在
点 (0, 0) 处的切线方程为
A． y = −2x
B． y = −x
C． y = 2x
D． y = x
2．（2017 山东）若函数 ex f (x) (e=2．71828 ，是自然对数的底数)在 f (x) 的定义域上单
A． y = sin x
B． y = ln x
C． y = ex
D． y = x3
− ln x, 0 x 1
4．（2016
年四川）设直线 l1 ， l2
分别是函数
f
(x)
=

ln
x,
x 1 ，图象上点 P1 ， P2 处
的切线， l1 与 l2 垂直相交于点 P ，且 l1 ， l2 分别与 y 轴相交于点 A ， B ，则△ PAB 的
B． 2x − y − 2 −1 = 0
C． 2x + y − 2 +1 = 0
D． x + y − +1 = 0
3.（2019 全国三文 7）已知曲线 y = aex + x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A．a=e，b=-1
B．a=e，b=1
C．a=e-1，b=1
所以当 x = 0 时， y ' = 3 ，所以 y = （3 x2 + x）ex 在点（0，0）处的切线斜率 k = 3 ，
又 y (0) = 0 所以切线方程为 y − 0 = 3( x − 0) ，即 y = 3x ．
2.解析 由 y=2sinx+cosx，得 y = 2 cos x − sin x ，所以 y x=π = 2 cos π − sin π=-2 ， 所以曲线 y=2sinx+cosx 在点 (π, −1) 处的切线方程为 y +1 = −2(x − π) ， 即 2x + y − 2 +1 = 0 ．
A．0
B．1
C．2
D．3
7．(2011 重庆)曲线 y = −x2 + 3x2 在点（1，2）处的切线方程为
A． y = 3x −1
B． y = −3x + 3 C． y = 3x + 5 D． y = 2x
8．（2011 江西）曲线 y = ex 在点 A(0,1) 处的切线斜率为（ ）
A．1
B．2
20．（2015 天津）已知函数 f (x) = ax ln x ， x (0, +) ，其中 a 为实数， f (x) 为 f (x) 的
导函数，若 f (1) = 3，则 a 的值为
．
21．（2015 新课标 2）已知曲线 y = x + ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y = ax2 + (a + 2)x +1
y = f (x) 在点(1,2)处的切线方程式_____________________________．
18．（2015 新课标 1）已知函数 f (x) = ax3 + x +1的图像在点 (1, f (1)) 的处的切线过点 (2, 7) ， 则a= ．
19．（2015 陕西）函数 y = xex 在其极值点处的切线方程为____________．
32
(Ⅰ)当 a = 2 时，求曲线 y = f ( x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程；
(Ⅱ)设函数 g ( x) = f ( x) + ( x − a) cos x − sin x ，讨论 g ( x) 的单调性并判断有无极值，
有极值时求出极值．
28．（2017 北京）已知函数 f (x) = ex cos x − x ．
调递增，则称函数 f (x) 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是
A． f (x) = 2−x B． f (x) = x2
C． f (x) = 3−x D． f (x) = cos x
3．（2016 年山东）若函数 y = f (x) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则称 y = f (x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是
故选 C．
3.解析 y = aex + xlnx 的导数为 y ' = aex + lnx +1， 又函数 y = aex + xlnx 在点 (1, ae) 处的切线方程为 y = 2x + b ， 可得 ae + 0 +1 = 2 ，解得 a = e−1 ， 又切点为 (1,1) ，可得1 = 2 + b ，即 b = −1. 故选 D．
编号)
①直线 l : y = 0 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C ： y = x3
②直线 l : x = −1在点 P(−1,0)处“切过”曲线 C ： y = (x +1)2
③直线 l : y = x 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C ： y = sin x
④直线 l : y = x 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C ： y = tan x ⑤直线 l : y = x −1在点 P(1,0) 处“切过”曲线 C ： y = ln x
的最大值．
31．(2014 新课标 1)设函数 f ( x) = a ln x + 1− a x2 − bx (a 1) ，曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1))
2
处的切线斜率为 0
（Ⅰ）求 b ；
（Ⅱ）若存在
x0
≥ 1 ，使得
f
(x0 )

a ，求 a a −1
的取值范围．
32．（2013 北京）已知函数 f (x) = x2 + x sin x + cos x
相切，则 a =
．
22．（2014 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y = ax2 + b (a，b 为常数)过点 P(2,−5) ， x
且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x + 2 y + 3 = 0 平行，则 a + b 的值是 ．
23．（2014 江西）若曲线 y = x ln x上点P 处的切线平行于直线 2x − y +1 = 0,则点P 的坐标
1 x
，所以 y ' |x=x0 =
1 x0
，
则该曲线在点
A
处的切线方程为
y
− lnx0
=
1 x0
(x
−
x0 ) ，因为切线经过点 (−e, −1)
，
所以 −1− lnx0
=
−
e x0
−1 ，即 lnx0
=
e x0
，则
x0
=
e．
2010-2018 年
1．D【解析】通解 因为函数 f (x) = x3 + (a −1)x2 + ax 为奇年函数，所以 f (−x) = − f (x) ，
f (1))
处的切线与直线 2x − y = 0 平行．
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）是否存在自然数 k ，使的方程 f (x) = g(x) 在 (k, k + 1) 内存在唯一的根？如果存
在，求出 k ；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 m(x) = min{ f (x), g(x)}（ min p, q表示 p , q 中的较小值），求 m(x)
为曲线在点
P
处的切线的倾斜角，则
的取值范围是
A．[0, ) 4
二、填空题
B．[ , ) 42
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C． ( , 3 ] 24
D．[3 , ) 4
13．(2018 全国卷Ⅱ)曲线 y = 2 ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为__________．
14．(2018 天津)已知函数 f (x) = ex ln x ， f (x) 为 f (x) 的导函数，则 f (1) 的值为__． 15．（2017 新课标Ⅰ）曲线 y = x2 + 1 在点 (1, 2) 处的切线方程为____________．
（1）若曲线 y = f (x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y = b 相切，求 a 与 b 的值．
（2）若曲线 y = f (x) 与直线 y = b 有两个不同的交点，求 b 的取值范围．
专题三 导数及其应用
第七讲 导数的计算与导数的几何意义
答案部分
2019 年
1.解析 因为 y = （3 x2 + x）ex ，所以 y ' = 3e（x x2 + 3x +1），
面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2)
C． (0,+∞)
D．(1,+ ∞)
5．（2013 浙江）已知函数 y = f (x) 的图像是下列四个图像之一，
且其导函数 y = f ( x) 的图像如右图所示，则该函数的图像是
6．（2014 新课标）设曲线 y = ax − ln(x +1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 y = 2x ，则 a =
B． 1 2
C． − 2 2
D． 2 2
11．（2010 新课标）曲线 y = x3 − 2x +1在点 (1, 0) 处的切线方程为
A． y = x −1 B． y = −x +1 C． y = 2x − 2 D． y = −2x + 2
12．（2010
辽宁）已知点
P
在曲线
y
=
4 ex +1
上，
x 16．（2017 天津）已知 a R ，设函数 f (x) = ax − ln x 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线为 l ，则 l
在 y 轴上的截距为
．
17．（2016 年全国 III 卷）已知 f (x) 为偶函数，当 x ≤ 0 时， f (x) = e−x−1 − x ，则曲线
专题三 导数及其应用
第七讲 导数的计算与导数的几何意义
2019 年
1.（2019 全国Ⅰ文 13）曲线 y = 3(x2 + x)ex 在点 (0, 0) 处的切线方程为___________．
2.（2019 全国Ⅱ文 10）曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A． x − y − −1 = 0
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[0, π ] 上的最大值和最小值．
2
29．（2016 年北京）设函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c.
（I）求曲线 y = f ( x).在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
D．a=e-1，b = −1
4.（2019 天津文 11）曲线 y = cos x − x 在点 (0,1) 处的切线方程为__________.
2
5.（2019 江苏 11）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的
切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是