广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定培优讲义 新人教版 精

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共 构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠ARC 的对顶角是 .
邻补角是 .
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数；
⑵写出∠BOE 的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2
1
∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2
1
∠AOC ＝
()AOC BOC ∠+∠21
又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .
【变式题组】
01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数
是（ ）
A ．20°
B ． 40°
C ．50°
D ．80° A B
C D E F A C D
E
F P
Q R
C
E
F E D
1 4
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下
列作图：
⑴经过点A 画直线l 2的垂线.
⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA
＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）
A ．4cm
B ． 5cm
C ．不大于4cm
D ．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.
⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依
据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝
90°，OF ⊥AB ．
【解】∵OE ⊥CD ，OF ⊥AB ∴∠FOB ＝∠EOD ＝90°（垂
直定义） ∴∠BOE ＝∠FOD ＝90°－∠DOB ＝65°∴∠DOB ＝25°∴∠AOC ＝∠DOB ＝25°（对顶角相等）
【变式题组】
01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，
2
F B A O
C
D E
求∠AOC 、∠AOE 的度数.
02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；
⑵试说明OD 与AB 的位置关系.
03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶
角，并求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：是AB 、EF 被直线CD 所截而得到的，一组同位角
∠1和∠3：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对内错角
∠1和∠6：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角
∠2和∠6：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对同位角 ∠2和∠4：是EF 、AB 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角
∠3和∠5：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对内错角 ∠3和∠4：是AB 、CD 被直线EF 所截而得到的，一对同旁内角
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内
角共有（ ）
A ．4对
B ． 8对
C ．12对
D ．16对
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. B A
C
D
O A B A E D
C
F E
B A D 1 4 2 3 6 5 A B
D
C H
Ｇ
E F 5 1
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠3和∠4是内错角
C ．∠5和∠6是同旁内角
D ．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•
⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“
”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）
02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF 平分∠DEC （已知）
∴ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ）
∴AB ∥DE （ ）
03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．
1 A B
C 2 3 4 5
6 7 A B
C
D
O
A B
D E F
C A B
C D E A B C E
1 2
04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥
EF .
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…，a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3，a 3⊥a 4，a 4∥a 5……那
么a 1与a 2010的位置关系是 .
03．已知n （n ＞2）个点P 1，P 2，P 3…Pn .在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n
表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S 2＝1，S 3＝3，S 4＝6，∴S 5＝10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ）
A ．α的余角只有∠
B B ．α的邻补角是∠DA
C C ．∠ACF 是α的余角
D ．α与∠ACF 互补
A B
C D E l 1
l 2 l 3 l 4 l 5 l 6
图⑴
l 1 l 2 l 3
l 4 l 5 l 6 图⑵ A E
A B
E
M
α
A
02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）
A ．∠AMF
B ．∠BMF
C ．∠ENC
D ．∠END 03．下列语句中正确的是（ ）
A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B ．过直线上一点的直线只有一条
C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D ．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）
①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．6
05．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，
则点P 到直线l 的距离是（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．小于4cm
D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .
07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .
08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合） 09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，
③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 . 10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？
12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，
那么直线AB 与CD 的位置关系如何？
13．如图，推理填空：
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
G H a
b
c
第6题图
第7题图
第9题图
1
2 3 4 5 6 7 8
1
A C D
E
B A B
C D
E
F 1 2
A
E
F
⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）
⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．
14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．
培优升级·奥赛检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）
A ．1，3
B ．0，1，3
C ．0，2，3
D ．0，1，2，3
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成
（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个
点之外，这些直线最多还有（ ）个交点.
A ．35
B ． 40
C ．45
D ．55
04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有
__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，
现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平
A
B C D E F
第14题图
行线，并证明你的正确性.
06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）
A ．3
B ．1或3
C ．1或2或3
D ．不一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直
线相交，并简单说明画法？
08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办
到？
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）
A ．60°
B ． 75°
C ．90°
D ．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点. a b A
B
C。