金融工程第五章无套利定价原理

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确定状态下无套利定价原理的应用
• 案例1：
假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的 同一天支付100元的面值。如果A的当前价格为 98元。另外，假设不考虑交易成本。
问题：（1）B的价格应该为多少呢？ （2）如果B的市场价格只有97.5元，问如何 套利呢？
• 这个自融资交易策略的成本为：
98×0.98＝96.04
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如果市价为99元，如何套利
• 构造的套利策略如下：
（1）卖空1份Z0×2债券，获得99元，所承担的义务是在2 年后支付100元；
（2）在获得的99元中取出96.04元，购买0.98份Z0×1； （3）购买的1年期零息票债券到期，在第一年末获得98
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证券未来损益图
105 100
95
风险证券A
120 PB
110
风险证券B
1 1
1
资金借贷
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• 静态组合策略：
– 要求 x 份的证券A和 y 份的资金借贷构成B
x
105
95
y
1 1
120 110
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现金流
当前
第1年末
(1)购买0.98份Z0×1
(2) 在 第 1 年 末 购 买 1 份 Z1×2 合计：
-98×0.98=96.04
-96.04
0.98×100= 98
-98
0
第2年末
100 100
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• 这个自融资交易策略的损益：
– 就是在第2年末获得本金100元，这等同于一个 现在开始2年后到期的零息票债券的损益。
第三讲 无套利定价原理
什么是套利 什么是无套利定价原理 无套利定价原理的基本理论
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第一部分
什么是套利 什么是无套利定价原理
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商业贸易中的套利行为
卖方甲
15,000元/吨 铜
翰阳公司
17,000元/吨 买方乙
铜
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1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。
状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。
有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1时 120元，状态2时110元。
另外，假设不考虑交易成本，资金借贷也不需要成 本。
问题：
（1）B的合理价格为多少呢？
（2）如果B的价格为110元，如何套利？
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第二部分
什么是套利 什么是无套利定价原理 无套利定价原理的基本理论
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无套利定价”原理
• 无套利定价”原理
– 金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市 场不存在套利机会
那什么是套利机会呢？
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套利机会的等价条件
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• 案例4：
假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元 1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。 状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。 有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1时
105元，状态2时95元。 另外，假设不考虑交易成本。
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• 案例3：
假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格 为98元，从1年后开始，在2年后到期的零息票 债券的价格也为98元（1年后的价格）。另外， 假设不考虑交易成本。
问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券 的价格为多少呢？
（2）如果现在开始2年后到期的零息票债券 价格为99元，如何套利呢？
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• 在商品贸易中套利时需考虑的成本：
（1）信息成本： （2）空间成本 （3）时间成本
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金融市场中的套利行为
• 专业化交易市场的存在
– 信息成本只剩下交易费用
– 产品标准化
• 金融产品的无形化－－没有空间成本 • 金融市场存在的卖空机制大大增加了套利
元； （4）再在第1年末用获得的98元购买1份第2年末到期的1
年期零息票债券； （5）在第2年末，零息票债券到期获得100元，用于支
付步骤（1）卖空的100元；
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交易策略
(1)卖空1份Z0×2 (2)购买0.98份Z0×1 (3) 在 第 1 年 末 购 买 1 份 Z1×2 合计：
状 态 1 、 2 和 3 时 ， A 的 未 来 损 益 分 别 为 110.25 ， 99.75 ， 90.25元。
有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1、2和3时， 分别为125，112.5和109元。
另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为5.06 ％，半年利率为2.5％。
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当前 99 -0.98×98 =96.04
99-96.04 = 2.96
现金流 第1年末
0.98×100 = 98 -98 0
第2年 末 -100
100 0
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不确定状态下的无套利定价原 理的应用
• 不确定状态：
– 资产的未来损益不确定 – 假设市场在未来某一时刻存在有限种状态 – 在每一种状态下资产的未来损益已知 – 但未来时刻到底发生哪一种状态不知道
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(1) 从现在开始1年后到期的债券Z0×1 支付:100
价格:98
第1年末
(2) 1年后开始2年后到期的债券Z1×2 支付:100
价格:98
第2年末
(3) 从现在开始2年后到期的债券Z0×2 支付:100
价格:？
ห้องสมุดไป่ตู้
第2年末
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• 构造如下的组合：
– （1）1份的证券A；（2）持有现金13.56。
110.25
1.0506 124.5
1
99.75
13.56 1.0506
114
90.25
1.0506 104.5
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在半年后进行组合调整
110 3年末
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• 静态组合复制策略
（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其 损益刚好为100×0.1＝10元；
（2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其 损益刚好为100×0.1＝10元；
（3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其 损益刚好为100×1.1＝110元；
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问题：
（1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为110元，如何套利？
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证券未来损益图
110.25 100
99.75
90.25
风险证券A
125
PB
112.5
109 风险证券B
1.0506 1
1.0506
1.0506
资金借贷
（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来 损益（payoff）相同，但它们的成本却不 同；
– 损益：现金流 – 不确定状态下：每一种状态对应的现金流
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（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组 合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组 合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个 组合的损益要大于第二个组合的支付。
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• 动态组合复制策略：
（1）先在当前购买0.98份的债券Z0×1； （ 2 ） 在 第 1 年 末 0.98 份 债 券 Z0×1 到 期 ， 获 得
0.98×100＝98元；
（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券 Z1×2；
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交易策略
自融资策略的现金流表
– 如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那 么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个 资产组合称为证券的“复制组合” （replicating portfolio）。
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（3）动态组合复制定价：
– 如果一个自融资（self-financing）交易策略 最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证 券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为 动态套期保值策略（dynamic hedging strategy）。
– 假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别 为105元和95元
– 证券B的半年后的损益不知道
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105 100
95 风险证券A
1
110.25 99.75 PB 90.25
125
B1 112.5
B2 109
风险证券B
1.025 1.025
1.0506 1.0506 1.0506
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• 根据无套利定价原理的推论
0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7
• 问题2的答案：
市场价格为120元，低估B，则买进B，卖出静态组合 （1）买进1张息票率为10％，1年支付1次利息的三年 后到期的债券； （2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券； （3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券； （4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券；
机会
• 金融产品在时间和空间上的多样性也使得
套利更为便捷
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套利的定义
• 套利
– 指一个能产生无风险盈利的交易策略。 – 这种套利是指纯粹的无风险套利。
• 但在实际市场中，套利一般指的是一个预
期能产生无风险盈利的策略，可能会承担 一定的低风险。
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• 应用同损益同价格原理：
– B的价格也为98元 – 如果B的市场价格只有97.5元，卖空A，买进B
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• 案例2：
假设当前市场的零息票债券的价格为： ① 1年后到期的零息票债券的价格为98元； ② 2年后到期的零息票债券的价格为96元； ③ 3年后到期的零息票债券的价格为93元； 另外，假设不考虑交易成本。
问题：
（1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为99元，如何套利？
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• 答案：
（1）B的合理价格也为100元；
（2）如果B为99元，价值被低估，则买进B， 卖空A
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• 案例5：
假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元
（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状 态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存 在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于 零。
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无套利定价原理
（1）同损益同价格
– 如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券 具有相同的价格。
（2）静态组合复制定价：
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• 构造静态组合：
– x 份A和 y 份资金借贷构成B
110.25 1.0506 125
x
99.75
y1.0506
112.5
90.25 1.0506 109
方程无解！
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动态组合复制
• 动态：
– 我们把1年的持有期拆成两个半年，这样在半 年后就可调整组合
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• 解得：
X = 1, y = 15
• 所以：
B的价格为： 1*100+15*1 = 115
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• 第二个问题：
– 当B为110元时，如何构造套利组合呢？
• 套利组合：
买进B，卖空A，借入资金15元。
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(1)证券A的损益为105时：
– 再买进0.19份的证券A，需要现金19.95元 （0.19×105＝19.95）
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(1)买进B
期初时刻的 现金流
-110
期末时刻的现金流
第一种 状态
120
第二种状 态
110
(2)卖空A
100
-105
-95
(3)借入资金15 15 元
合计
5
-15 0
-15 0
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• 案例6：
假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元
1年后的市场出现三种可能的状态：状态1、2和3。
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• 问题：
（1）息票率为10％，1年支付1次利息的三年后 到期的债券的价格为多少呢？
（2）如果息票率为10％，1年支付1次利息的三 年后到期的债券价格为120元，如何套利呢？
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• 看未来损益图：
10 1年末
10 2年末