2022届毕节地区名校高二第二学期数学期末质量检测试题含解析

2022届毕节地区名校高二第二学期数学期末质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数()()f x A x b ωϕ=++（0A >，0>ω）的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()2sin()263
f x x π
π
=++ B ．1
()3sin()23
6
f x x π
=-+
C ．()2sin(
)366
f x x π
π=++ D ．()2sin(
)363
f x x π
π
=++
2．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝a(13
)i
，i ＝1，2，3，则a 的值为( ) A ．1
B ．
9
13
C ．1113
D ．2713
3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A ．34
B ．55
C ．78
D ．89
4．函数f(x)的定义域为R ，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．
A ．无极大值点，有四个极小值点
B ．有三个极大值点，两个极小值点
C ．有两个极大值点，两个极小值点
D ．有四个极大值点，无极小值点
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13515a a a ++=，416S =，则4(a = )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．2
6．函数()2
4ln x f x x
=的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知向量()2,1a =-v
，()1,0b =v ，则向量a v 在向量b v 上的投影是（ ）
A ．2
B ．1
C ．−1
D ．−2
8．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面说法正确的是( )
A ．在(2,1)-上()f x 是增函数
B ．在(1,3)上()f x 是减函数
C ．当1x =时，()f x 取极大值
D ．当2x =时，()f x 取极大值
9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）
A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．2332
31log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．2
3332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D．
23
32
3
1
22log
4
f f f
--
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>>
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
10．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）
A．B．C．D．
11．已知1
iz i
=-(i为虚数单位) ，则z=
A．1i
-+B．1i
--C．1i+D．1i-
12．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为A．B．C．D．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．如图，在三棱柱111
ABC A B C
-中，
1
CC⊥底面ABC，90
ACB
∠=o，1
CA CB CC
==，D是
1
CC的
中点，则直线
1
AC与BD所成角的余弦值为__________．
14．
22
3
1
8lg100
2
-
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
______.
15．已知实数0
a>且1
a≠，函数
2
,(1)
()13
.(1)
48
x
a x
f x
x ax x
⎧<
⎪
=⎨
-+≥
⎪⎩
在R上单调递增，则实数a的取值范围构成的集合为__________．
16．如图，在长方形ABCD-1111
A B C D中，设AD=A
1
A=1，AB=2，则
1
AC
u u u u r
·BC
uuu r
等于____________
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,
π
2
ABC BAD ∠∠＝＝
，42PA AD AB BC Q ＝＝，＝＝，是PB 中点。

(1)求异面直线PD 与CQ 所成角的大小； (2)求QC 与平面PCD 所成角的大小。

18．设函数()212f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；
（2）若0x R ∃∈，使得()2
024f x m m +<，求实数m 的取值范围．
19．（6分）已知命题2
:7100,:(1)(1)0p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a > ）.
（1）若2a = ，命题“p 或q ”为假，求实数x 的取值范围； （2）已知p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为23
x 3t 23t y 3t
⎧
=⎪-⎪
⎨
⎪=⎪-⎩
（t 为参数，且t ＞0），以坐标
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ． （1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
21．（6分）ABC ∆三个内角A,B,C 对应的三条边长分别是,,a b c ，且满足sin 3cos c A a C =．
（1）求角C 的大小； （2）若2b =，7c =
a ．
22．（8分）已知12,F F 分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点，上顶点为M ，且12F MF ∆的周
长为423+ 4. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知(0,3)P ，若直线22y x =-与椭圆C 交于,A B 两点，求•PA PB u u u v u u u v
.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】
结合函数图像可得：51
22
A -==，523b =-=， 结合周期公式有：
()244112,6
π
π
ωω
=⨯-=∴=
，
且当1x =时，()12,26
2
3
x k k k Z π
π
π
ωϕϕπϕπ+=⨯+=+
∴=+
∈，
令0k =可得：3
π
ϕ=
，
据此可得函数的解析式为：()2sin 36
3f x x π
π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.
本题选择D 选项.
点睛：已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由2T
π
ω=
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 2．D 【解析】 【分析】
根据分布列中所有概率和为1求a 的值. 【详解】 因为P(X ＝i)＝a(13
)i ，i ＝1，2，3，所以11127
()1392713a a ++=∴=，选D.
【点睛】
本题考查分布列的性质，考查基本求解能力. 3．B 【解析】
试题分析：由题意，①1,1,2x y z ===⇒②1,2,3x y y z z =====⇒③2,3,5x y z ===
⇒④3,5,8x y z ===⇒⑤5,8,13x y z ===⇒⑥8,13,21x y z ===⇒⑦13,21,34x y z ===⇒⑧21,34,5550x y z ===>，从而输出55z =，故选B.
考点：1.程序框图的应用. 4．C 【解析】
试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与x 轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与x 有四个交点，其中两个极大值，两极小值. 考点：函数的极值. 5．C 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，求得1a 和d 的值，即可求出． 【详解】
由13513615a a a a d ++=+=，125a d ∴+=，
4143
4162
S a d ⨯=+
⨯=Q ， 解得11a =，2d =，则4137a a d =+=，故选C ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用。

6．A 【解析】 【分析】
判断函数的奇偶性，排除B ，确定01x <<时函数值的正负，排除C ，再由x →+∞时函数值的变化趋势排除D ．从而得正确结论． 【详解】
因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()2
04ln x f x x
=
<，排除C ， 当x e =时()2
14
e
f e =>，排除D .
故选：A. 【点睛】
本题考查由解析式选图象，可能通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，通过特殊的函数值、特殊点如与坐标轴的交点，函数值的正负等排除一些，再可通过函数值的变化趋势又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一个选项就是正确选项． 7．D 【解析】 【分析】
本题考察的是对投影的理解，一个向量在另一个向量上的投影即一个投影在另一个投影方向上的长度． 【详解】
a v 在
b v
上的投影方向相反，长度为2，所以答案是2-.
【点睛】
本题可以通过作图来得出答案． 8．D 【解析】
分析：先由图象得出函数的单调性，再利用函数的单调性与导数的关系即可得出. 详解：由图象可知()1,2x ∈-上恒有()'
0f
x >，在()2,4x ∈上恒有()'0f x <，
()f x ∴在()1,2-上单调递增，在()2,4上单调递减
则当2x =时，()f x 取极大值 故选：D.
点睛：熟练掌握函数的单调性、极值与导数的关系是解题的关键，是一道基础题. 9．C 【解析】 【分析】
由已知函数为偶函数，把2332
31log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛
⎫∴= ⎪⎝⎭．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,122
2,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>Q ，
又()f x 在(0，+∞)单调递减，
∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 10．D
【解析】试题分析：因为双曲线
的离心率为，所以
，
双曲线的左顶点坐标为（-a,o ）,其中一条渐近线方程为，由题意可
得的 ，解得a=8,则b=4,所以双曲线的标准方程为．
考点：双曲线的性质． 11．B 【解析】 【分析】 由题得1i
z i
-=，再利用复数的除法计算得解. 【详解】 由题得21(1)111
i i i i
z i i i --+====---，故答案为：B 【点睛】
本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 12．A 【解析】 【分析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出
，
最后利用三角形的面积公式可求出的面积。

【详解】 依题意得：
、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分
利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．
【解析】
分析：记AC 中点为E ，则1//DE AC ，则直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设
12CA CB CC ===，从而即可计算.
详解：记AC 中点为E ，并连接BE ，
Q D 是1CC 的中点，
则1//DE AC ，
∴直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，
设12CA CB CC ===，
∴1,CD BD DE BE ====，
cos
θ∴=
=
.
故答案为
10
. 点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解． 14．10 【解析】 【分析】
利用指数和对数运算，化简所求表达式. 【详解】 原式()
22
323
22
lg1044210=++=++=.
故答案为：10 【点睛】
本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题.
15．11(1,
]10
. 【解析】
分析：先确定各段单调递增，再考虑结合点处也单调递增，解得实数a 的取值范围.
详解：因为()()2,(1)13
.148x
a x x x ax x ⎧<⎪
=⎨-+≥⎪⎩在R 上单调递增，所以1111121013148a a a a a ⎧⎪>⎪
⎪≤∴<≤⎨⎪⎪≤-+⎪⎩ 因此实数a 的取值范围构成的集合为111,10⎛⎤
⎥⎝⎦
.
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 16．1 【解析】 【分析】
选取1
,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为基底，把其它向量都用基底表示后计算． 【详解】
由题意111()AC BC AB AD AA AD AB AD AD AD AA AD
⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2
1AD ==u u u r ．
故答案为1． 【点睛】
本题考查空间向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示后再进行计算． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．
(1)
(2) arcsin 【解析】 【分析】
（1）推导出PA⊥AB，PA⊥AD．以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
A-xyz ，利用向量法能求出异面直线DP 与CQ 所成角的余弦值．(2) 设平面PCD 法向量(),,n u v w =v
，
QC
与平面PCD所成角ϕ,由
CD n
CD n
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
u u u v v
u u u v v得出()
1,1,1
n=
v
，代入sin
CQ n
CQ n
ϕ
⋅
=
⋅
u u u v v
u u u v v即可得解.
【详解】
（1）以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，()()()()
0,0,4,0,4,0,4,2,0,2,0,2
P D C Q，设PD与CQ所成角是θ
()()
0,4,4,1,2,2
PD CQ
=-=--
u u u v u u u v
cos
PD CQ
PD CQ
θ
⋅
===
⋅
u u u v u u u v
u u u v u u u v
所以PD与QC
所成角是arccos
3
.
（2）设平面PCD法向量()
,,
n u v w
=
v
，QC与平面PCD所成角ϕ
()()
CD2,2,0,0,4,4
PD
=-=-
u u u v u u u v
220
440
u v u v
CD n
v w w v
CD n
⎧-+==
⎧⎧
⋅=
⇒⇒
⎨⎨⎨
-==
⋅=⎩⎩
⎩
u u u v v
u u u v v
令1
v=, ()
1,1,1
n=
v
sin
CQ n
CQ n
ϕ
⋅
===
⋅
u u u v v
u u u v v所以QC与平面PCD
所成角arcsin
9
.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．（1）
1
|3
3
或
x x x
⎧⎫
<->
⎨⎬
⎩⎭
；（2）
15
22
m
-<<．
【解析】
【分析】
(1)把()
f x用分段函数来表示，令()0
f x=，求得x的值，可得不等式()0
f x>的解集;
(2)由(1)可得()
f x的最小值为
1
2
f
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，再根据2
1
42
2
f m m
⎛⎫
<-
⎪
⎝⎭
，求得m的范围．
【详解】
(1)函数()212
f x x x
=--+
3,2131,2213,2x x x x x x ⎧
⎪-+<-⎪
⎪
=---≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
，
令()0f x =，求得1
3
x =-，或3x =，
故不等式()0f x >的解集为1{|3
x x <-，或3}x >；
(2)若存在0x R ∈，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解，
由(1)可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=-
⎪⎝⎭
， 故25
422
m m -
<-， 解得1522
m -
<<． 【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 19．（1）(,1)(5,)-∞-⋃+∞ (2 ) 4a ≥ 【解析】
分析：（1）分别求出p q ，的等价命题，2513p x q x ⇔≤≤⇔-≤≤，，再求出它们的交集；
（2）2511p x q a x a ⇔≤≤⇔-≤≤+，，因为p 是q 的充分不必要条件，所以[25][11]a a ⊆-+，
，，解不等式组可得．
详解：：（1）2
710025p x x x -+≤⇔≤≤：，若211013a q x a x a x =--+-≤⇔-≤≤，：（）（） ，
命题“p 或q ”为假，则命题“p 且q ”为真，取交集，所以实数x 的范围为[23]x ∈， ； （2）27100x x -+≤，解得251
1011x q x a x a a x a --+-≤⇔-≤≤+＜＜，：（）（），
若p 是q 的充分不必要条件，则[25][11]a a ⊆-+，
， ，则 1214514a a
a a a ⎧-≤-≤⎧⇒⇒≤⎨
⎨≤+≤⎩⎩
.
点睛：本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（1）曲线M 的普通方程为3(2)y x =-（2x >或0x <）
曲线C 的直角坐标方程为22
40x x y -+=.（2）交点极坐标为(23,)6
π
.
【解析】 【详解】
（1）先求出t ，再代入消元将曲线M 的参数方程化为普通方程，根据将222
x y ρ=+，cos x ρθ=，
sin y ρθ=.曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线M 与曲线C 交点的直角坐标，再化
为极坐标.
（1）∵y t x
=，∴23
3x x
=，即)32y x =-，
又0t >，∴
23
30>，∴2x >或0x <， ∴曲线M 的普通方程为)32y x =-（2x >或0x <）.
∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=.
（2）由)22
3240
y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=， ∴11x =（舍去），23x =，
则交点的直角坐标为(3，极坐标为23,6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 21．⑴3
C π
= (2) 3a =
【解析】 【分析】
⑴由正弦定理及sin cos c A C =
，得tan C =0C π<<，所以3
C π
=；
⑵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得a 【详解】 ⑴由正弦定理
sin sin a c A C
= 得sin sin c A a C =，
由已知得sin cos a C C =
，tan C = 因为0C π<<，所以3
C π
=
⑵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
得
2
2224cos
3
a a π
=+-⨯
即2230a a --=，解得3a =或1a =-，负值舍去， 所以3a = 【点睛】
解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边角关系，如内角和为180度等
22．（1）2
214
x y +=（2）
16517 【解析】 【分析】
（1）根据已知求出a,b ，即得椭圆的标准方程；（2）由22
22
14
y x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得21732120x x -+=，得到韦达定理，再把韦达定理代入数量积化简即得解. 【详解】
解：（1）由题可知，
224a c +=+，24a =
，得2,a c ==又222a b c =+，解得1b =
故椭圆C 的方程为2214
x y +=，
（2）由22
2214
y x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得21732120x x -+=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则123217x x +=
，121217
x x =， ∵()11,3PA x y =-u u u r ，()22,3PB x y =-u u u r
，
∴()()()()()12121212121233252551025PA PB x x y y x x x x x x x x ⋅=+--=+--=-++u u u r u u u r
将123217x x +=，121217x x =代入，得1232165
51025171717
PA PB ⋅=⨯
-⨯+=u u u r u u u r . 【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.。