2017_2018学年高考物理二轮复习专题检测二十三电磁感应中的动力学和能量问题2018010412

专题检测（二十三） 电磁感应中的动力学和能量问题
1．如图甲是半径为a 的圆形导线框，电阻为R ，虚线是圆的一条弦，虚线左右两侧导线框内磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，设垂直线框向里的磁场方向为正，求：
(1)线框中0～t 0时间内的感应电流大小和方向； (2)线框中0～t 0时间内产生的热量。

解析：(1)设虚线左侧的面积为S 1，右侧的面积为S 2，则根据法拉第电磁感应定律得，向里的变化磁场产生的感应电动势为E 1＝S 1ΔB 1
Δt
感应电流方向为逆时针方向。

向外的变化磁场产生的感应电动势为E 2＝S 2ΔB 2
Δt
感应电流方向为逆时针方向。

从题图乙中可以得到ΔB 1Δt ＝B 0t 0，ΔB 2Δt ＝B 0
t 0
感应电流为I ＝E 1＋E 2R ＝S 1＋S 2B 0Rt 0＝πa 2B 0
Rt 0
方向为逆时针方向。

(2)根据焦耳定律可得Q ＝I 2
Rt 0＝π2a 4
B 0
2
Rt 0。

答案：(1)πa 2B 0Rt 0 逆时针方向 (2)π2a 4B 02
Rt 0
2.如图所示，足够长的金属导轨MN 、PQ 平行放置，间距为L ，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R 1和R 2相连，且R 1＝R 2＝R ，R 1支路串联开关S ，原来S 闭合。

匀强磁场垂直导轨平面向上，有一
质量为m 、有效电阻也为R 的导体棒ab 与导轨垂直放置，它与导轨粗糙接触且始终接触良好。

现将导体棒ab 从静止释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v ，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的3
4。

已知重力加速度为g ，导轨电阻不计，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小和达到稳定状态后导体棒ab 中的电流强度I ； (2)如果导体棒ab 从静止释放沿导轨下滑x 距离后达到稳定状态，这一过程回路中产生的电热是多少？
解析：(1)回路中的总电阻为：R 总＝3
2
R
当导体棒ab 以速度v 匀速下滑时棒中的感应电动势为：
E ＝BLv
此时棒中的感应电流为：I ＝
E R 总
此时回路的总电功率为：P 电＝I 2
R 总 此时重力的功率为：P 重＝mgv sin θ 根据题给条件有：P 电＝3
4
P 重，解得：I ＝
mgv sin θ
2R
B ＝3
2L
mgR sin θ
2v。

(2)设导体棒ab 与导轨间的滑动摩擦力大小为F f ，根据能量守恒定律可知：1
4
mgv sin θ＝
F f v
解得：F f ＝1
4
mg sin θ
导体棒ab 减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和
mg sin θ·x ＝12
mv 2＋Q ＋F f ·x
解得：Q ＝34mg sin θ·x －12mv 2。

答案：(1)3
2L
mgR sin θ
2v mgv sin θ
2R
(2)34mg sin θ·x －12
mv 2 3.如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN 、M ′N ′位于
同一水平面上，两轨道之间的距离l ＝0.50 m 。

轨道的MM ′端接一阻值为R ＝0.50 Ω的定值电阻。

直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度为B ＝0.60 T 的匀强磁场中，磁场区域的右
边界为NN ′，宽度为d ＝0.80 m 。

NN ′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP 、N ′P ′平滑连接，两半圆形轨道的半径均为R 0＝0.50 m 。

现有一导体杆ab 静止在距磁场的左边界s ＝2.0 m 处，其质量m ＝0.20 kg 、电阻r ＝0.10 Ω。

ab 杆在与杆垂直的水平恒力F ＝2.0 N 的作用下开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F ，杆穿过磁场区域后，沿半圆形轨道运动，结果恰好能通过半圆形轨道的最高位置PP ′。

已知杆始终与轨道垂直，杆与直轨道之间的动摩擦因数μ＝0.10，轨道电阻忽略不计，取g ＝10 m/s 2。

求：
(1)导体杆通过PP ′后落到直轨道上的位置离NN ′的距离； (2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R 的电荷量； (3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热。

解析：(1)设导体杆运动到半圆形轨道最高位置的速度为v ，因导体杆恰好能通过轨道最高位置，
由牛顿第二定律得mg ＝m v 2
R 0
导体杆通过PP ′后做平抛运动x ＝vt 2R 0＝12gt 2
解得：x ＝1 m 。

(2)q ＝I ·Δt
I ＝
E
R ＋r
，E ＝
ΔΦ
Δt
，ΔΦ＝B ·ld 联立解得：q ＝0.4 C 。

(3)设导体杆在F 的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v 1， 由动能定理有(F －μmg )s ＝12mv 12
解得：v 1＝6.0 m/s
在导体杆从刚进磁场到滑至最高位置的过程中，由能量守恒定律有 12mv 12＝Q ＋mg ×2R 0＋1
2mv 2＋μmgd 解得：Q ＝0.94 J 。

答案：(1)1 m (2)0.4 C (3)0.94 J
4．如图甲所示，电阻不计、间距为l 的平行长金属导轨置于水平面内，阻值为R 的导体棒ab 固定连接在导轨左端，另一阻值也为R 的导体棒ef 垂直放置在导轨上，ef 与导轨接触良好，并可在导轨上无摩擦移动。

现有一根轻杆一端固定在ef 中点，另一端固定于墙上，轻杆与导轨保持平行，ef 、ab 两棒间距为d 。

若整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，且从某一时刻开始，磁感应强度B 随时间t 按图乙所示的方式变化。

(1)求在0～t 0时间内流过导体棒ef 的电流的大小与方向； (2)求在t 0～2t 0时间内导体棒ef 产生的热量；
(3)1.5t 0时刻杆对导体棒ef 的作用力的大小和方向。

解析：(1)在0～t 0时间内，磁感应强度的变化率ΔB Δt ＝B 0
t 0
产生感应电动势的大小E 1＝
ΔΦΔt ＝ΔB Δt S ＝ΔB Δt ld ＝B 0ld
t 0
流过导体棒ef 的电流大小I 1＝E 12R ＝B 0ld
2Rt 0 由楞次定律可判断电流方向为e →f 。

(2)在t 0～2t 0时间内，磁感应强度的变化率ΔB Δt ＝2B 0
t 0
产生感应电动势的大小E 2＝
ΔΦΔt ＝ΔB Δt S ＝ΔB Δt ld ＝2B 0ld
t 0
流过导体棒ef 的电流大小I 2＝E 22R ＝B 0ld
Rt 0
该时间内导体棒ef 产生的热量Q ＝I 22
Rt 0＝B 02l 2d 2
Rt 0。

(3)1.5t 0时刻，磁感应强度B ＝B 0
导体棒ef 受安培力：F ＝B 0I 2l ＝B 02l 2d
Rt 0
方向水平向左
根据导体棒ef 受力平衡可知杆对导体棒的作用力为
F ′＝－F ＝－B 02l 2d
Rt 0，负号表示方向水平向右。

答案：(1)B 0ld 2Rt 0，方向为e →f (2)B 02l 2d 2
Rt 0
(3)B 02l 2d
Rt 0
，方向水平向右
5.(2018届高三·常州调研)如图所示，水平面内有两根足够长
的平行导轨L 1、L 2，其间距d ＝0.5 m ，左端接有容量C ＝2 000 μF 的电容。

质量m ＝20 g 的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和
导
轨的电阻不计。

整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B ＝2 T 。

现用一沿导轨方向向右的恒力F 1＝0.44 N 作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t 时间后到达B 处，速度v ＝5 m/s 。

此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为F 2，又经2t 时间后导体棒返回到初始位置A 处，整个过程电容器未被击穿。

求
(1)导体棒运动到B 处时，电容C 上的电量； (2)t 的大小； (3)F 2的大小。

解析：(1)当导体棒运动到B 处时，电容器两端电压为
U ＝Bdv ＝2×0.5×5 V＝5 V
此时电容器的带电量
q ＝CU ＝2 000×10－6×5 C ＝1×10－2 C 。

(2)导体棒在F 1作用下有F 1－BId ＝ma 1， 又I ＝Δq Δt ＝CBd Δv Δt ，a 1＝Δv Δt
联立解得：a 1＝
F 1m ＋CB 2d
2＝20 m/s 2
则t ＝v a 1
＝0.25 s 。

(3)由(2)可知导体棒在F 2作用下，运动的加速度
a 2＝F 2
m ＋CB 2d 2
，方向向左，
又12a 1t 2＝－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤a 1
t ·2t －12a 2t
2
将相关数据代入解得F 2＝0.55 N 。

答案：(1)1×10－2
C (2)0.25 s (3)0.55 N
6．(2014·江苏高考)如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L ，长为3d ，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d 的薄绝缘涂层。

匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直。

质量为m 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。

导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R ，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g 。

求：
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ； (2)导体棒匀速运动的速度大小v ； (3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q 。

解析：(1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡有mg sin θ＝μmg cos θ 解得μ＝tan θ。

(2)在光滑导轨上 感应电动势E ＝BLv 感应电流I ＝E
R
安培力F 安＝BIL
导体棒受力平衡有F 安＝mg sin θ 解得v ＝
mgR sin θ
B 2L 2。

(3)摩擦生热Q T ＝μmgd cos θ
由能量守恒定律有3 mgd sin θ＝Q ＋Q T ＋12
mv 2
解得Q ＝2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ
2B 4L
4。

答案：(1)tan θ (2)
mgR sin θ
B 2L 2
(3)2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ
2B 4L
4
[教师备选题]
1.如图所示，光滑平行的水平金属导轨MNPQ 相距l ，在M 点和
P 点间接一个阻值为R 的电阻，在两导轨间OO 1O 1′O ′矩形区域内有
垂直导轨平面竖直向下、宽为d 的匀强磁场，磁感应强度为B 。

一
质量为m ，电阻为r 的导体棒ab ，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d 0。

现用一大小为F 、水平向右的恒力拉ab 棒，使它由静止开始运动，棒ab 在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒
ab 与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计)。

求：
(1)棒ab 在离开磁场右边界时的速度。

(2)棒ab 通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能。

解析：(1)棒在磁场中匀速运动时，有F ＝F A ＝BIl ， 再据I ＝
E
R ＋r ＝
Blv R ＋r ，联立解得v ＝F R ＋r
B 2l 2。

(2)安培力做的功转化成两个电阻消耗的电能Q ，据能量守恒定律可得
F (d 0＋d )＝Q ＋12
mv 2， 解得Q ＝F (d 0＋d )－mF 2R ＋r
2
2B 4l
4。

答案：(1)F R ＋r B 2l 2 (2)F (d 0＋d )－mF 2R ＋r
2
2B 4l
4
2.如图所示，MN 、PQ 为足够长的平行金属导轨，间距L ＝0.50 m ，
导轨平面与水平面间夹角θ＝37°，N 、Q 间连接一个电阻R ＝5.0 Ω，匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度B ＝1.0 T 。

将一
根
质量为m ＝0.050 kg 的金属棒放在导轨的ab 位置，金属棒及导轨的电阻不计。

现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好。

已知金属棒与导
轨间的动摩擦因数μ＝0.50，当金属棒滑行至cd 处时，其速度大小开始保持不变，位置cd 与ab 之间的距离s ＝2.0 m 。

已知g ＝10 m/s 2
，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80。

求：
(1)金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小； (2)金属棒到达cd 处的速度大小；
(3)金属棒由位置ab 运动到cd 的过程中，电阻R 产生的热量。

解析：(1)设金属棒开始下滑时的加速度大小为a ，则
mg sin θ－μmg cos θ＝ma
解得a ＝2.0 m/s 2。

(2)设金属棒到达cd 位置时速度大小为v 、通过金属棒的电流为I ，金属棒受力平衡，有
mg sin θ＝BIL ＋μmg cos θ I ＝BLv R
解得v ＝2.0 m/s 。

(3)设金属棒从ab 运动到cd 的过程中，电阻R 上产生的热量为Q ，由能量守恒，有
mgs sin θ＝12
mv 2＋μmgs cos θ＋Q
解得Q ＝0.10 J 。

答案：(1)2.0 m/s 2
(2)2.0 m/s (3)0.10 J
3．(2018届高三·福州五校联考)如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻。

导体棒a 和b 放在导轨上，与导轨垂直并良好接触。

斜面上水平虚线PQ 以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场。

现对a 棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b 棒恰好静止。

当a 棒运动到磁场的上边界PQ 处时，撤去拉力，a 棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b 棒已滑离导轨。

当a 棒再次滑回到磁场上边界PQ 处时，又恰能沿导轨匀速向下运动。

已知a 棒、b 棒和定值电阻的阻值均为R ，b 棒的质量为m ，重力加速度为g ，导轨电阻不计。

求：
(1)a 棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a 棒中的电流I a 与定值电阻R 中的电流I R 之比；
(2)a 棒的质量m a ；
(3)a 棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F 。

解析：(1)a 棒在磁场中沿导轨向上运动时，设b 棒中的电流为I b ，有
I R R ＝I b R ① I a ＝I R ＋I b
② 由①②解得I a I R ＝2
1。

③
(2)a 棒在PQ 上方滑动过程中机械能守恒，设a 棒在PQ 处向上滑动的速度大小为v 1，其与在PQ 处向下滑动的速度大小v 2相等，即
v 1＝v 2＝v ④
设磁场的磁感应强度为B ，导轨间距为L ，a 棒在磁场中运动时产生的感应电动势为
E ＝BLv
⑤
当a 棒沿斜面向上运动时，
I b ＝
E
2×32
R ＝
E 3R
⑥
I b LB ＝mg sin θ ⑦
a 棒向下匀速运动时，设a 棒中的电流为I a ′，则 I a ′＝E 2R
⑧ I a ′LB ＝m a g sin θ
⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨解得m a ＝3
2
m 。

(3)由题知，导体棒a 沿导轨向上运动时，所受拉力为
F ＝I a LB ＋m a g sin θ
联立以上各式解得F ＝7
2mg sin θ。

答案：(1)2∶1 (2)32m (3)7
2
mg sin θ
4．如图所示，质量为M 的导体棒ab ，垂直放在相距为l 的平行光滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，左侧是水平放置、间距为d 的平行金属板，R 和R x 分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻。

(1)调节R x ＝R ，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I 及棒的速率v ； (2)改变R x ，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m 、带电量为＋q 的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x 。

解析：(1)导体棒匀速下滑时，有
Mg sin θ＝Bil
① 可得I ＝
Mg sin θ
Bl
② 导体棒产生的感应电动势E 0＝Blv ③ 由闭合电路欧姆定律得I ＝
E 0
R ＋R x
④ 联立②③④解得v ＝2MgR sin θ
B 2l
2。

⑤
(2)改变R x ，由②式可知电流不变。

设带电微粒在金属板间匀速通过时，板间电压为U ，电场强度大小为E ，则
U ＝IR x ⑥ E ＝U d ⑦ mg ＝qE
⑧
联立②⑥⑦⑧解得R x ＝mBld
qM sin θ。

答案：(1)
Mg sin θBl 2MgR sin θB 2l 2
(2)mBld
qM sin θ
5．(2014·福建高考)如图，某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L 、宽为d 、高为h ，上下两面是绝缘板，前后两侧面M 、N 是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S 和定值电阻R 相连。

整个管道置于磁感应强度大小为B ，方向沿z 轴正方向的匀强磁场中。

管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体(有大量的正、负离子)，且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v 0沿x 轴正向流动，液体所受的摩擦阻力不变。

(1)求开关闭合前，M 、N 两板间的电势差大小U 0； (2)求开关闭合前后，管道两端压强差的变化Δp ；
(3)调整矩形管道的宽和高，但保持其他量和矩形管道的横截面积S ＝dh 不变，求电阻R 可获得的最大功率P m 及相应的宽高比d
h
的值。

解析：(1)设带电离子所带的电荷量为q ，当其所受的洛伦兹力与电场力平衡时，U 0保持
恒定，有
qv 0B ＝q U 0
d
① 得U 0＝Bdv 0。

②
(2)设开关闭合前后，管道两端压强差分别为p 1、p 2，液体所受的摩擦阻力均为f ，开关闭合后管道内液体受到安培力为F 安，有p 1hd ＝f ③
p 2hd ＝f ＋F 安 ④ F 安＝Bid
⑤
根据欧姆定律，有I ＝
U 0
R ＋r
⑥
两导体板间液体的电阻r ＝ρ
d Lh
⑦
由②③④⑤⑥⑦式得Δp ＝Ldv 0B 2
LhR ＋d ρ。

⑧
(3)电阻R 获得的功率为P ＝I 2
R
⑨ P ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫Lv 0B LR d ＋ρh 2R ⑩
当d h ＝LR
ρ
时 ⑪
电阻R 获得的最大功率P m ＝
LSv 02B 2
4ρ。

⑫
答案：(1)Bdv 0 (2)Ldv 0B 2LhR ＋d ρ (3)LSv 02B 24ρ LR
ρ。