统计5.4_其他分布参数的假设检验

拒绝原假设。
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第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
分布拟合检验属于非参数检验范畴。
§5.5.1 总体分布只取有限个值的情况
X 频数 A1 n1 … … Ak nk
k
和为n
H 0 : P( Ai ) pi , i 1, 2, , k . pi 0, i 1 pi 1
例
山西大学数学科学学院 14 第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
§5.5.3 正态性检验
一、正态概率纸 一种特殊的坐标纸，其横坐标表示样本值，是等间隔 的；纵坐标是标准正态的分布函数值，但不等间隔。
二、夏皮洛-威尔克（Shapiro-Wilk）检验
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第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
一、正态概率纸检验正态性步骤：
（1）将数据从小到大排序：x(1) x(2) x( n) （2）对每一个i，计算修正（累积）频率，有三种方法：
ˆ (x ) F (i )
i i 0.5 i 0.375 , , or , n 1 n n 0.25
ˆ ( x )) 逐一标在正态概率纸上 （3）将点 ( x(i ) , F (i )
在假设检验问题中，我们有时会遇上这种情况：在一 个较大的显著水平（如 0.05）下得到拒绝原假设的结 论，而在一个较小的显著水平（如 0.01）下却会得出 相反的结论。 原因是当显著性水平减小，意味着拒绝域缩小而接受 域增大，因此原来落在拒绝域中的点可能落在接受域中。
一般地不给定显著水平，而是计算出一个p值。
… i … r Sum
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1 n11
… ni1 nr1 n· 1 …
… …
… … …
j n1j …
nij
… …
…
c n1c
… nic … nrc n· c
Sum n1·
ni· nr· n
第五章 假设检验
…
nrj n· j
12
… …
§5.5 分布拟合检验
§5.5.2 列联表的独立性检验
特别是第一种，即如果经对数变换后服从正态分布，
则说明原来的数据分从对数正态分布。
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第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
二、夏皮洛-威尔克（Shapiro-Wilk）检验
简称W检验，当样本容量为8至50个时可以使用。
Sort Ascending : x(1) x(2) x( n ) (ai a )( x(i ) x ) Test Statistic:W= n i 1 n 2 2 ( a a ) ( x x ) i1 i i1 (i )
n 2
where, ai an 1i , i 1, 2, ,[n 2],
2 a 0, a i 1 i i 1 i 1 n n
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第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
二、夏皮洛-威尔克（Shapiro-Wilk）检验（续）
因此可化简为：
ai ( x( n 1i ) x(i ) ) W= i 1 n 2 ( x x ) i1 (i )
c0
where x is the number of times the event occurs.
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§5.4 其它分布参数的假设检验
§5.4.3 大样本的假设检验
Distributon X : E ( X ) , Var ( X ) ( ) H 0 : 0 vs H 0 : 0
A\B 1 …
1 p11 …
… …
j p1j
… … …
c p1c …
Sum p1·
… … … …
i
…
pi1
…
pij … prj p· j
13
pic
…
pi· pr· 1
第五章 假设检验
r Sum
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pr1 p· 1
… …
prc p· c
§5.5 分布拟合检验
§5.5.2 列联表的独立性检验(续)
分两种情况考虑：
一、诸pi均已知
二、诸pi不完全已知
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§5.5 分布拟合检验
一、诸pi均已知
英国统计学家K.Pearson提出如下统计量：
2 ( n np ) i 2 i 1 i npi k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
并证明在H0成立时对充分大的n，以上统计量近似服从自由 度为k-1的卡方分布，其值越大，表示观测频数与理论频 数的偏离程度越大。因此得拒绝域为：
概率统计基础
（Ⅲ） 2009年5月
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第五章 假设检验
§5.4 其它分布参数的假设检验
§5.4.1 指数分布参数的假设检验
exponential distrubution : Exp (1 ) H 0 : 0 vs H 0 : 0
n
when 0 , nx 1 xi ~ Ga (n, also
2
1
0
)
2nx
0
~ 2 (2n)
2 2 1
rejection region W {
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(2n )}
第五章 假设检验
§5.4 其它分布参数的假设检验
§5.4.2 比例p的假设检验
two point distrubution : b(1, p ) H 0 : p p0 vs H 0 : p p0 to look for c0 , which n i n i n n i n i p (1 p ) p (1 p ) ic0 i 0 0 ic0 1 i 0 0 rejection region W {x c0 1}
2
According to Central Limit Theorem : u n ( x 0 )
2 ( 0 )
~ N (0,1)
rejection region W {x u1 }
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§5.4 其它分布参数的假设检验
§5.4.4 检验的p值
[ n 2]
2
rejection region :{W W } where, ai 和W 均查表得出。
在“总体服从正态分布”原假设成立的情况下，W 的
值应接近1。
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W {
2
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2 1
(k 1)}
例
第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
二、诸pi不完全已知
Fisher证明了如下检验统计量：
2 ˆ ( n np ) i 2 i 1 i ˆi np k
在H0成立时近似服从自由度为k-r-1的卡方分布。
ˆ i 为 pi 的最大似然估计，r<k为未知参数的个数。 p 其中，
H 0 : pij pi p j
ni n j
n n
, i 1,, r , j 1,, c.
2 ˆ ( n np ) r c ij 2 i 1 j 1 ij ˆ ij np
degree of freedom : rc ( r c 2) 1 ( r 1)(c 1) significanc level : rejection region : W { 2 12 ((r 1)(c 1))}
ij ij
个个体的属性属于等
ij
级Ai和Bj， n 称为 频数，将r×c个n
排列为一个r行
c 列的二维列联表，简称 r×c 表。若所考虑的属性多于两
个，也可按类似的方式作出列联表,称为多维列联表。
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§5.5 分布拟合检验
§5.5.2 列联表的独立性检验
A\B 1
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第五章 假设检验
§5.4 其它分布参数的假设检验
§5.4.4 检验的p值（续）
Def：在一个假设检验问题中，利用观测值能够做出 拒绝原假设的最小显著性水平称为检验的p值。 如果 p ，则在显著水平alpha下拒绝原假设； 如果 p ，则在显著水平alpha下接受原假设； 实验中，p值越小，说明原假设越不显著，越倾向于
拒绝域为： W
{ 2 12 (k r 1)}
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第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
§5.5.2 列联表的独立性检验
Def:列联表是观测数据按两个或更多属性（定性变量）分
类时所列出的频数表。 一般 , 若总体中的个体可按两个属性A 与 B 分类， A 有 r 个等级 A1,A2,…,Ar ， B 有 c 个等级 B1,B2,…,Bc, 从总体中 抽取大小为 n 的样本，设其中有 n
（4）观察点的分布：如基本保持一条直线，则认为该组
数据来自正态总体，否则不是正态的。
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第五章 假设检验
§5.5 分布拟合检验
一、正态概率纸（续）
有时，数据本身不服从正态分布，但变换后可能是服 从正态分布的。 这样的变换称为正态性变换，常见有： 对数变换log(x)、倒数变换1/x、根号变换sqrt(x)。
n
where x is the number of times the event occurs.
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§5.4 其它分布参数的假设检验
§5.4.2 比例p的假设检验（续）
corresponding: H 0 : p p0 vs H 0 : p p0 to look for c0 , which n i n i p (1 p ) i 0 i 0 0 rejection region W {x c0 }