课件2：3. 三个正数的算术——几何平均不等式

4.
(2)ab＋bc＋acba＋bc＋ac＝3＋bac2＋abc2 ＋acb2 ＋bac2＋cba2＋acb2 ≥3＋ 6 6 bac2·abc2·acb2 ·bac2·abc2·acb2 ＝9，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号． 故最小值为 9.
【例 3】 用一张钢板制作一个容积为 4 m3 的无盖长方体
证明 (1)∵a，b，c∈R＋，
a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥3 3 a1bc， ∴(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9. 当且仅当 a＝b＝c 时，取等号．
(2)∵(a＋c b＋1)＋(b＋a c＋1)＋(c＋b a＋1)
＝(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a ＝12[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
规律技巧 (1)应用均值不等式这个定理证明不等式时，若 不等式已具备“一正、二定、三相等”，直接证明即可，若不具 备条件，要适当的恒等变形后再应用定理证明．
(2)连续多次应用均值不等式定理时，要注意前后等号成立 的条件是否保持一致．
【变式训练 1】 设 a，b，c∈R＋，求证： (1)(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9； (2)a＋c b＋b＋a c＋c＋b a≥32.
2．应用均值不等式应注意的条件 用均值不等式求函数的最大(小)值，像用基本不等式求最 值一样，三个必要条件一定要满足，一正(各项的值为正，可在 题设中找到)、二定(各项的和或积为定值，这往往需要变形， 凑出和或积为定值)、三相等(即取等号的条件，只要验证就行 了)．在这三个条件中，定值决定着均值不等式应用的可能性， 它需要一定的灵活性和变形技巧，因此，这是解题成功的关键 也是难点．
2．基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们
的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an____≥____n a1a2…an，当且仅当 _____a_1_＝__a_2_＝__…__＝__a__n ___时，等号成立.
思考探究 1．如果 x>0，如何求 2x＋x12的最小值？ 提示 2x＋x12＝x＋x＋x12≥3 3 x·x·x12＝3. 当且仅当 x＝1 时，取“＝”． 故 2x＋x12的最小值为 3.
课前预习 1.三个正数的算术—几何平均不等式
(1)如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3__≥_3_a_b_c__，当且仅 当_a_＝__b_＝__c_时，等号成立．
a＋b＋c (2)定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 3 ≥________，
当且仅当_a_＝__b_＝__c_时，等号成立．这个不等式可表述为：三个 正数的__算__术__平__均___不小于它们的_几__何__平__均____．
≥12·33 a＋bb＋cc＋a·3
3
1 a＋bb＋cc＋a
＝92，
∴a＋c b＋b＋a c＋c＋b a≥32
【例 2】 (1)θ 为锐角，求 y＝sinθcos2θ 的最大值． (2)设 x，y，z>0，且 x＋3y＋4z＝6，求 x2y3z 的最大值．
【分析】 (1)目标函数是积的形式，应构造和为定值．sinθ ＋cos2θ 不为定值，联想到 sin2θ＋cos2θ＝1，可考虑 y2＝sin2θcos4θ ＝12·2sin2θ·cos2θ·cos2θ 从而可解．
当且仅当 2ab＝2bc＝2ca，即 a＝b＝c 时，等号成立．
所以，当长方体是正方体时，体积取得最大值，最大值为 S63.
2．多次使用均值不等式定理时需注意什么问题？ 提示 连续多次使用均值不等式定理时，要注意前后等号 成立的条件是否一致.
名师点拨 1.均值不等式的应用 已知 x，y，z 为正数，(1)如果积 xyz 为定值 p，则由 x＋y ＋z≥33 xyz可知，当 x＝y＝z 时，和 x＋y＋z 有最小值 33 p. (2)如果和 x＋y＋z 为定值 s，由 x＋y＋z≥3 3 xyz变形 xyz≤x＋3y＋z3 可知，当 x＝y＝z 时，积 xyz 有最大值2s73 .
(2)依据 x2y3z 中 x2 要出现两个 x，y3 要出现 3 个 y，各项系 数依“相等”考虑．可拆项变为“x＋3y＋4z＝2x＋2x＋y＋y＋y＋ 4z”．
【解】(1)y2＝sin2θcos4θ＝12·2sin2θ·cos2θ·cos2θ≤12 2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ3＝12233＝247.
水箱，可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选
项所示，单位：m)．若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢
板的规格是( ) A．2×5 C．2×6.1
B．2×5.5 D．3×5
【解析】 本题是一道高考题，它是一道立体几何和基本不等 式结合的综合题．此题主要考查考生信息处理能力和应用所学知识 解决实际问题的能力．设长方体水箱长、宽、高分别为 x，y，z， 则 xyz＝4.水箱的表面积 S＝xy＋2xz＋2yz＝xy＋2x·x4y＋2y·x4y＝xy＋ 8y＋8x≥3 3 xy·8x·8y＝12.故要制作容积为 4m3 的无盖水箱，所需的钢板 面积最小为 12 m2，所以 A，B 排除，而 C，D 均够用，但 D 剩较 多，故选 C.
【答案】 C
【变式训练 3】 求证：在表面积一定的长方体中，正方 体的体积最大．
证明 设长方体的三条相交于同一点的棱长分为 a，b，c，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则长方体的体积为 V＝abc.表面积为 S＝2ab＋2bc＋2ca.
根据均值不等式
S＝2ab＋2bc＋2ca≥6 3 abc 2＝63 V2，
∴V≤
S63，这里 S 是定值．
ba·bc·ac＋3 3
ac·bc·ab－3
＝3＋3－3＝3.
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
(2)∵a，b，c∈R＋，
∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33 a＋bb＋cc＋a>0，a＋1 b
＋b＋1 c＋c＋1 a≥3 3
111 a＋b·b＋c·c＋a>0.
∴(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
规律技巧 应用均值不等式定理，要注意三个条件“一正、 二定、三相等”，同时具备时，函数才可取得最值．其中定值条 件决定着均值不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧， 如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
【变式训练 2】 (1)实数 x，y 满足 xy>0，且 x2y＝4，求 xy＋x2 的最小值．
(2)已知 x，b，c∈R＋，求ab＋bc＋acba＋bc＋ac的最小值．
解 (1)∵xy>0，x2y＝4，
∴y＝x42>0，x>0. ∴xy＋x2＝x·x42＋x2＝4x＋x2
＝2x＋2x＋x2≥3 3 2x·2x·x2＝33 4.
当且仅当 2x＝x2，即 x＝3 2时，
xy＋x2
取得最小值
3 3
能保证等号成立.
典例剖析 【例 1】 已知 a，b，c∈R＋，求证：
b＋c－a c＋a－b b＋a－c (1) a ＋ b ＋ c ≥3； (2)(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
【分析】 (1)本题从表面看并不能利用均值不等式，但是把 每一部分分离开之后，发现有两组可以用均值不等式的式子，从而 可得到证明．
当且仅当 2sin2θ＝cos2θ＝1－sin2θ 时，等号成立． ∴sinθ＝ 33时取等号，此时 ymax＝247.
(2)∵6＝x＋3y＋4z ＝2x＋2x＋y＋y＋y＋4z
6 xx ≥6 2·2·y·y·y·4z ＝66 x2y3z， ∴x2y3z≤1. 当且仅当2x＝y＝4z 时取等号． ∴当 x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z 取得最大值 1.
(2)把 a＋b＋c 与 1 ＋ 1 ＋ 1 分别变形，应用均值不等式 a＋b b＋c c＋a
后，再相乘可得到证明．
【证明】 (1)∵a，b，c∈R＋， ∴b＋ac－a＋c＋ab－b＋b＋ac －c ＝ba＋ac－1＋bc＋ab－1＋bc＋ac－1 ＝ba＋bc＋ac＋ac＋bc＋ab－3
3 ≥3
例如：求函数 y＝x42＋x(x>0)的最小值时，可变形为 y＝x42＋2x＋
x3 2≥3
x42·2x·2x＝3，此时等号成立的条件是x42＝2x＝2x，即 x3＝8，x＝2，
本解法满足“一正、二定、三相等”这三个条件，是正确的．如果变 形为 y＝x42＋14x＋34x.它虽然满足积为定值这个条件，但“三相等”这 个条件就无法实现了，这是因为x42＝14x＝34x，x 不存在，所以等号不 能成立．由此可见，在变形积为定值时，拆项要拆为相等的项，才