高中数学 课时跟踪训练(三)反证法 北师大版选修22

课时跟踪训练(三) 反 证 法
1．三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？( )
A ．三人行，必无我师
B ．三人行，均为我师
C ．三人行，未尝有我师
D ．三人行，至多一人为我师
2．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；
②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；
③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．
其中判断正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 4．已知x >0，y >0，z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
5．用反证法证明命题“若a 2＋b 2
＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________________．
6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
7．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，
证明：2b ＝1a ＋1c
不成立．
8．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1
(a >1)． (1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．
答 案
1．选C “必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C.
2．选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．
3．选C 因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错，故选C.
4．选C 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6.而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z
≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，所以a ，b ，c 中至少有一个不小于2.
5．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.
答案：a ，b 不全为0
6．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
7．证明：假设2b ＝1a ＋1c
成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac ， 故b 2＝ac ，又b ＝
a ＋c 2， 所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，a ＝c . 这与a ，b ，c 两两不相等矛盾．
因此2b ＝1a ＋1c
不成立． 8．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2， 由于a >1，故y ＝a x 为增函数，
∴ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0.
又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，
∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－x 1＋－x 1－
x 2＋x 1＋x 2＋＝x 2－x 1x 1＋x 2＋>0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋
x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 即f (x 2)>f (x 1)，
故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 即ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1
. ∵a >1，当x 0<0时，0<ax 0<1.
∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12
<x 0<2， 与假设x 0<0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1
<－2，而0<ax 0<1， ∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾．
②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1
>0,0<ax 0<1， ∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾，
故方程f (x )＝0没有负数根．。