江西省南康中学2019_2020学年高一数学12月月考(第三次大考)试题

江西省南康中学2019-2020学年高一数学12月月考（第三次大考）试
题
一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1．已知集合A ＝{x|x 2﹣1＝0}，则下列式子中：
①1∈A；②{﹣1}∈A；③φ⊆A ；④{1，﹣1}⊆A ．正确的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2.已知角α终边上一点(8,6)P -，则sin α=（ ）
A.
B.
C.
D.
3.函数的定义域是1cos 2+=
x y （ ）
A.⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,3232π
πππ
B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,6262π
πππ
C. ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+
≤≤+Z k k x k x ,32232π
πππ D. ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,322322ππππ 4
．设x 10(=2,0
x f x x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩），则((2))f f -=（ ） A ．﹣1
B ．
C ．
D ．
5. 给定映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，在映射f 下(4,3)的原象为（ ）
A. (2，1)
B. (4，3)
C. (3，4)
D. (10，5) 6.已知α是锐角，那么2α是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第一或第三象限
D. 小于180的正角
7．函数3
()25f x x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）
A ．(2,1)--
B ．(1,0)-
C ．（0，1）
D ．（1，2）
8.已知幂函数()y f x =
的图象过点1
(,
22
，则4log (2)f 的值为（ ）
A.
B. 1
4
-
C. 2
D.
9.若函数()(01)x
x
f x ka a a a -=->≠且在(,)-∞+∞上既是
奇函数又是增函数，则函数
()log ()a g x x k =+的图象是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数()y f x =是(1,1)-上的偶函数，且在区间(1,0)-上是单调递增的，,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.(sin )(sin )f A f B >
B. (sin )(cos )f A f B >
C. (cos )(sin )f C f B >
D. (sin )(cos )f C f B >
11.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=)
,1[,31)1,0[),1(log )(21
x x x x x f ，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）
A. 21a -
B. 12a -
C. 21a --
D. 12a --
12.已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21
(())213
x f f x +
=+，则2(log 3)f =（ ）
A. 1
B.
45
C.
12
D. 0
二.填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于 14.若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当(1,1]x ∈-时，()||f x x =，则
(1)(2)(3)(2017)(2018)f f f f f +++++=______．
15.已知偶函数()f x 是区间[0,)+∞上单调递增，则满足(21)(3)f x f -<的x 取值集合是_____．
16．若函数
满足对任意的[])(,m n m n x <∈，都有
km x f k
n
≤≤)( 成立，则称函数在区间[])(,m n m n <上是“被
约束的”。

若函数2
2
)(a ax x x f +-=在区间
)0(,1>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡a a a 上是“被约束的”，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各12分，共70分） 17.（本小题满分10分）
已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点)4
15
,(m P . （1）求实数m 的值；
（2）求)
2
3cos()tan()
2sin(απ
αππ
α--+-的值.
18. （本小题满分12分）已知集合1
{|121},{|381}9
x A x m x m B x =-≤≤+=≤≤. （1）当2m =时，求A
B ；
（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.
19. （本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈+=
),sin (sin 2
1
)( （1）求函数)(x f 的最小正周期T 和单调递增区间；
（2）若[]π,0∈x ，且关于x 的函数12)(2)(2)(2---=a x f x f x g 的最小值为2
1
，求a 的值.
20.（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数1
22)(++-=x
x a
x f 是奇函数． (1)求a 值；
(2)判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；
(3)若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2
2
<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围．
21．（本小题满分12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管
美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，
需另投入成本R （x ）万元，且210100,040
()10000
7019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪
=⎨+-≥⎪⎩
,由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润＝销
售额﹣成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22．（本小题满分12分）已知函数2
()h x x bx c =++是偶函数，且(2)0h -=，()
()h x f x x
=。

（1）当[]1,2x ∈时，求函数()f x 的值域； （2）设[]2
216
()2(),1,2,F x x af x x a R x
=+
-∈∈，求函数()F x 的最小值()g a ； （3）对（2）中的()g a ，若不等式2
()24>-++g a a at 对于任意的(3,0)a ∈-恒成立，
求实数t 的取值范围。

南康中学2019～2020学年度第一学期高一第三次大考
数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
11、【解析】
由题意得，当0x ≥时，()()[)[)
12log 1,0,1{13,1,x x f x x x +∈=--∈+∞，即[0,1)x ∈时，()12
log (1)(1,0]f x x =+∈-；[1,3)x ∈时，()2[1,1]f x x =-∈-；(3,)x ∈+∞时，
()4(,1)f x x =-∈-∞-，画出0x ≥函数()f x 的图
象， 在利用函数为奇函数函数，可得0x <上的图象，如图所示，则直线y a =与()y f x =的图象有5个交点，则方程()0f x a -=有五个实根，最左边两根和
为6-，左右边两根之和为6，因为(1,0)x ∈-时，(0,1)x -∈，所以()12
log (1)f x x -=-+，
又()()f x f x -=-，所以()1122
2
log (1)log (1)log (1)f x x x x =--+=-=-，所以中间的一
个根满足2log (1)x a -=，即12a x -=，解得12a x =-，所以所有根的和为12a -，故选C. 12、【解析】
因为函数()f x 是R 上单调函数，且21(())213
x f f x +=+，所以可设
2
()21x f x t +=+（t 为常数），即2()21x f x t =-+，又因为1()3f t =，所以21213t t -=+，令2
()21
x g x x =-+，
显然()g x 在R 上单调递增，且1(1)3
g =，所以1t =，2
()121x f x =-+，
22log 321
(log 3)1212
f =-=+，故选C.
二.填空题（本大题共4小题，共20分） 13、 14、1009 15、{|12}x x -<< 16．](
1
2，
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各12分，共70分） 17.解：（1）41-
=m ;（2）45
15- 18.解：当2m =时，{|15}A x x =-≤≤，
由B 中不等式变形得24333x -≤≤，解得24x -≤≤，即{|24}B x x =-≤≤. （1）{|14},{|25}A B x x A B x x ⋂=-≤≤⋃=-≤≤. （2）若φ=A ,则121->-m m ，0<∴m
若⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-≠4
1221121,m m m m A 则φ3
02x ∴≤≤
综上所述，实数m 的取值范围是3(,]2
-∞
换元可得)12(222
+--=a t t y ，对称轴为2
1=
t .1,2
1
)232(-=∴=+-∴a a
20.解：(1)由题意可知f (0)＝－1＋a
2＝0，得a ＝1
∴f (x )＝1－2
x
1＋2x ， 经验证当a ＝1时，f (x )为奇函数， ∴a ＝1 (2)f (x )在定义域R 上是减函数．
证明：任取 x 1，x 2∈R，设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，
2
2
1
121212121)()(21x x x x x f x f +--+-=-)
21)(21()21)(21()21)(21(211221x x x x x x +++--+-=
)
21)(21(2-222112x x x x ++=）（ ∵0)22
(2,12
21>-∴<x x x x ,0)21)(21(21>++x x
19.
∴0)()(21>-x f x f ∴)()(21x f x f >
∴该函数在定义域R 上是减函数．
(3)由f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－k )＜0，得f (t 2
－2t )＜－f (2t 2
－k )， ∵f (x )是奇函数，∴f (t 2
－2t )＜f (k －2t 2
)， 由(2)知，f (x )是减函数， ∴原问题转化为t 2－2t ＞k －2t 2， 即3t 2－2t －k ＞0对任意t ∈R 恒成立，
∴Δ＝4＋12k ＜0，解得k <－13，所以实数k 的取值范围是
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-∞-31, 21.解：（1）当0＜x ＜40时，W （x ）＝700x ﹣（10x 2+100x ）﹣250＝﹣10x 2+600x ﹣250 当x ≥40时，
∴
（2）若0＜x ＜40，W （x ）＝﹣（x ﹣30）2
+8750
当x ＝30时，W （x ）max ＝8750万元 若x ≥40，当x ＝100时，W （x ）max ＝9000万元
∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元． 22. 解： （1）因为函数2
()h x x bx c =++是偶函数，所以(2)420
(2)420h b c h b c -=-+=⎧⎨
=++=⎩
，解得
0,4b c ==-.故2
()4h x x =-，244
()x f x x x x
-==-.
当[1,2]x ∈时，函数4y x
=-
和y x
=都是单调递增函数， 故函数()f x 在[1,2]上单调递增，
(1)143f =-=-，(2)220f =-=，
所以当[1,2]x ∈时，函数()f x 的值域是[]30-,. （2）2
2216444()2()()2()8F x x a x x a x x x x x
=+
--=---+,
令4m x x
=-
，由（1）知[]30m ∈-,，则2
()28F x m am =-+， 因为二次函数2
28y m am =-+开口向上，对称轴为x a =，
故3a <-时，228y m am =-+在[]30-,上单调递增，最小值为617a +；
30a -≤≤时，228y m am =-+在[]3a -,上单调递减，在(],0a 上单调递增，最小值为
28a -；
0a >时，228y m am =-+在[]30-,上单调递减，最小值为8.
故函数()F x 的最小值()()()()2
617,38,308,0a a g a a a a ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪>⎩
.
（3）当(3,0)a ∈-时，()2
8g a a =-，
则2
()24g a a at >-++即22824a a at ->-++，整理得24a at +>， 因为(3,0)a ∈-，所以4
t a a
>+对于任意的(3,0)a ∈-恒成立， 令()4T a a a
=+
， 只需令t 大于()T a 在(3,0)-上的最大值即可.
()T a 在()3,2--上单调递增；在()2,0-上单调递减；
所以函数()T a 在(3,0)-上的最大值为()4
2242
T -=--=-，故4t >-. 所以实数t 的取值范围是()4,-+∞.。