2018-2019学年广东省珠海市高二下学期期末学业质量监测数学理试题

2018～2019 学年珠海市高二下学期期末学业质量监测
数学理试题
试卷满分为 150 分， 考试用时 120 分钟．考试内容： 选修 2-2、 选修 2-3．
一、选择题（本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上. ） 1．已知 z ∈C ， zi = 2 -bi (b ∈R ) ， z 的实部与虚部相等， 则b = A 、 -2 B 、 12 C 、 2 D 、-12
2．函数y =
-1
21
x x +在 (1，0) 处的切线与直线l : y = ax 垂直， 则a = A 、 -3 B 、 3 C 、 13 D 、-1
3
3．若随机变量 X 满足 X ~B (n ，p ) ， 且EX = 3，DX =9
4
， 则 p =
A 、14
B 、34
C 、12
D 、2
3
4．若函数 y = f (x )的图像如下图所示，则函数 y = f '(x ) 的图像有可能是
5．如图所示阴影部分是由函数 y = e x
、y = sin x 、x =0 和x =2
π
围成的封闭图形， 则其面积是
A 、2
e π＋2 B 、 2
e π－ 2 C 、 2
e π D 、 2－2
e
π
6. 某机构需掌握 55 岁人群的睡眠情况， 通过随机抽查 110 名性别不同的 55 岁的人的睡眠质量情况， 得到如下列联表
2
A 、 有 99%以下的把握认为“ 睡眠质量与性别有关”
B 、 有 99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”
C 、 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下， 认为“睡眠质量与性别有关”
D 、 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下， 认为“ 睡眠质量与性别无关”
7．已知在等边∆ABC 中， 若D 是BC 边的中点，G 是∆ABC 的重心，则
AG
GD
=2，若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体 A - BCD 中，若 ∆BCD 的重心
为 M ，四面体 A - BCD 内一点O 到各表面距离都相等， 则AO
OM
=
A 、1
B 、 2
C 、3
D 、 4
8．从 10 名男生 6 名女生中任选 3 人参加竞赛， 要求参赛的 3 人中既有男生又有女生， 则不同的选法有( )种
A 、 1190
B 、 420
C 、 560
D 、3360
9．从 1、 2、 3、 4、 5、 6 中任取两个数， 事件 A:取到两数之和为偶数， 事件 B:取到两数均为偶数，则 P (B / A ) = A 、15 B 、
14 C 、13 D 、12
10．已知 13 个村庄中， 有 6 个村庄道路在维修， 用 X 表示从 13 个村庄中每次取
出 9 个村庄中道路在维修的村庄数， 则下列概率中等于25
67
913
C C C 的是
A 、 P (X ≥ 2)
B 、 P (X = 2)
C 、 P (X ≤ 4)
D 、 P (X = 4)
11. 直线l : mx + ny = 0， m 、n ∈{1，2，3，4 ，5 ，6}， 所得到的不同直线条数是
A 、 22
B 、 23
C 、 24
D 、 25 12．凸 10 边形内对角线最多有( )个交点
A 、210A
B 、2
10C C 、4
10A D 、4
10C
二、 填空题（ 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.） 13．若 f '(1) = a ， 则
=
14．z = m 2
- 2 + (2m -1)i (m ∈ R ) ,其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限， 则实数 m 的范围是 ． 15．若 (x ＋
a x
)8
(a ＜0)的展开式中， 常数项为 5670， 则展开式中各项系数的和为 ．
16．若 f (x ) = sin 2x + cos 2x ， 则'()6
f π
＝
17．正态分布 X ~N (μ ，σ 2) 三个特殊区间的概率值
P (μ -σ ≤ X < μ +σ ) = 0.6826 P (μ - 2σ ≤ X < μ + 2σ ) = 0.9544 P (μ - 3σ ≤ X < μ + 3σ ) = 0.9974
若随机变量 X 满足 X ~N (1，22
) ， 则 P (3 ≤ X < 5) = ．
18．已知 a 、b ∈ R ， 且 a 2 + (2 + a )i +1+ 2a + bi = 0 ， 则| a + bi |= ． 19．观察下列等式：
1 = 1 13 = 1
2 1+ 2 =
3 13 + 23 = 32
1+ 2 + 3 = 6 13 + 23 + 33 = 62
……
可以推测13 + 23 + 33 +…+ n 3 = ( n ∈ N *， 用含有 n 的代数式表示)．
20.若 f (x ) 是定义在 D = (-∞，0) ∪ (0，+∞) 上的可导函数， 且 xf '(x ) > f (x ) ， 对 x ∈ D 恒成立．当 b < a < 0 时， 有如下结论：
① bf (a ) > af (b ) ， ②bf (a ) < af (b ) ， ③ af (a ) > bf (b ) ， ④af (a ) < bf (b ) ， 其中一定成立的是 ．
三、 解答题（ 本大题共 5 小题， 每小题 10 分， 共 50 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.）
21．已知函数()f x ＝13
x 3+ x 2
+ mx (m > 0) ． (1) m = 1时， 求在点 P (1，f (1)) 处的函数 f (x ) 切线 l 方程； (2) m = 8 时， 讨论函数 f (x ) 的单调区间和极值点．
22．已知31)3n x
(x ≠ 0，n ∈ N *
，n ≥ 2)的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为
34． (1)求 n ；
(2)请答出展开式中第几项是有理项， 并写出推演步骤 (有理项就是 x 的指数为整数的项)．
23．袋子中装有大小形状完全相同的 5 个小球，其中红球 3 个白球 2 个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止．
(1)求取球次数X 的分布列；
(2)求取球次数X 的期望和方差．
24．某育种基地对某个品种的种子进行试种观察,经过一个生长期培养后,随机抽取n 株作为样本进行研究。

株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等。

下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁。

请根据可见部分，解答下面的问题：
(1)求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；
(2)通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数(结果保留整数)；
(3)从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2 株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列(用最简分数表示)．
25．函数f (x) ＝1x
ax
-
＋ln x (a ＞0 ，e≈2.71828 )
(1)若函数f (x) 在[1，+∞) 上为增函数，求实数a 的取值范围；
(2)求证：n∈N ，n ≥ 2 时，
参考答案。