高中数学 第一章 导数及其应用 课时作业(九)生活中的优化问题举例 新人教A版选修22

课时作业(九) 生活中的优化问题举例
令L ′(P )＝0，解得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
答案：D
5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3
，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm ，宽为________cm ，高为________cm 时，可使表面积最小．
解析：设底面两邻边长分别为x cm,2x cm ，则高h ＝722x 2＝36
x
2.
∴表面积S ＝4x 2＋2(x ＋2x )·36x 2＝4x 2
＋216x
(x ＞0)．
∴S ′＝8x －216x 2＝8x
2(x 3
－27)．
令S ′＝0，解得S 在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x ＝3，∴x ＝3时函数取极值，且就是它的最小值．
答案：6 3 4
6．做一个容积为256 dm 3
的方底无盖水箱，它的高为__________dm 时最省料．
解析：设底面边长为x dm ，则高h ＝256
x
2，
其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2
＋256×4x
，
S ′＝2x －
256×4
x
2
，令S ′＝0，得x ＝8， 则高h ＝256
64
＝4(dm)．
答案：4
7．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为__________时，帐篷的体积最大．
解析：设OO 1为x m ，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3
. 则由题设可得正六棱锥底面边长为 32－x －2＝8＋2x －x 2(m)， 于是底面正六边形的面积为
S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332
(8＋2x －x 2
)．
帐篷的体积为 V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2) ＝332(8＋2x －x 2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13x －＋1
＝
32
(16＋12x －x 3
)， 求导数，得V ′＝
32
(12－3x 2
)．
－ 2 400
x ＋2.
，即 2 400
x ＋2＝＝－25
3
(舍去)．′(x )＜0；。