人教版高中数学高一A版必修4 平面向量数量积的物理背景及其含义 (2)

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义练习
1．若|a |＝2，|b |＝14
，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( )
A B C ．14 D ．4
2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝a 与b 的夹角为( )
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 3．设a ，b ，c 是三个向量，有下列命题：
①若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝c ；
②若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；
③a ·0＝0；
④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )
A ．32-
B ．0
C ．32
D ．3
5．如图，O ，A ，B 是平面上的三点，向量OA ＝a ，OB ＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP ＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．6
6．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则向量a 在向量b 方向上的投影是__________．
7．(2011·北京东城高三第一学期期末)已知向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为__________；|2a －b |＝__________.
8．(2011·江苏南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为3
π，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为__________．
9．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋
2b垂直？
10．(探究题)设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同
时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－k a＋t b垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
参考答案
1.答案：C
2.答案：A
3．答案：A
4.答案：A
5.答案：D
6.答案：2
7.答案：
3
π
8.答案：
9.分析：可利用两个非零向量垂直的等价条件即数量积为零进行求解．解：∵(k a－b)⊥(a＋2b)，∴(k a－b)·(a＋2b)＝0，
即k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
∴k＝14
15.∴当k＝
14
15
时，向量k a－b与a＋2b垂直．
10．分析：由x⊥y，得x·y＝0，即可得到函数关系式k＝f(t)，从而利用函数的性质求最小值．
解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0.
又x⊥y，所以x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－k a＋t b)＝0，－k a2－k(t－3)a·b＋t a·b＋t(t－3)b2＝0.
因为|a|＝2，|b|＝1，所以－4k＋t2－3t＝0，
即k＝1
4
(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝1
4
(t2－3t)＝
2
139
4216
t
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，即函数k＝f(t)的最小值为9
16
-.。