大宁县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

大宁县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 下列4个命题：
①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”；②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；
③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2；其中正确命题的个数是（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个3． 已知x ＞1，则函数的最小值为（
）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4． 为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x 的图象（
）
A ．向右平移个单位长度
B ．向左平移个单位长度
C ．向右平移
个单位长度
D ．向左平移
个单位长度
5． 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的
()()21x
f x e x ax a =--+1a <()0f t <取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3,12e ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
33,24e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
3,12e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
1111]
6． 已知，，则“”是“”的（ ）
α[,]βππ∈-||||βα>βαβαcos cos ||||->-A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.7． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8． 已知函数f （x ）=31+|x|﹣
，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（
）
A ．
B ．
C ．（﹣，）
D ．
9． 已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，
]
C ．（﹣∞，
]
D ．（﹣∞，
]
10．复数满足＝i z ，则z 等于（ ）
2＋2z 1－i
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
11．已知平面向量与的夹角为，且，，则（
）
3
π
32|2|=+b a 1||=b =||a A ．
B ．
C ．
D ．
312．定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（
）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．13
二、填空题
13．设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题: x R ∈x []x {}[]x x x =-①对任意的，都有恒成立；x 1[]x x x -<≤②若，则方程的实数解为；
(1,3)x ∈{}2
2sin
cos []1x x +=6π-③若（），则数列的前项之和为；
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦n N *∈{}n a 3n 23
1
22n n -④当时，函数的零点个数为，函数的0100x ≤≤{}2
2
()sin []sin
1f x x x =+-m {}()[]13
x
g x x x =⋅-
-零点个数为，则.
n 100m n +=其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

14．在数列
中，则实数a= ，b= ．
15．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足
，则以此估计的π值为 ．
16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .
（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．17．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．
18．在中，角的对边分别为，若，的面积，ABC ∆A B C 、、a b c 、、1cos 2c B a b ⋅=+ABC ∆S =则边的最小值为_______．
c 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．
三、解答题
19．求点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标．
20．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，
BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝4，D 1F ＝8，过点E ，F ，C 的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；（2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
21．（本小题满分12分）一直线被两直线截得线段的中点是12:460,:3560l x y l x y ++=--=P 点, 当点为时, 求此直线方程.
P ()0,022．设不等式的解集为.
（1）求集合；（2）若，∈，试比较
与
的大小。

23．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．
24．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g （x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数
+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）
是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
大宁县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性
【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；
对C：在（-和（上单调递增，
但在定义域上不单调，故C错；
故答案为：B
2．【答案】C
【解析】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；
②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；
③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，
由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；
④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．
∴正确的命题有3个．
故选：C．
3．【答案】B
【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0
由基本不等式可得，
当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”
故选B
4．【答案】A
【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】
考
点：函数导数与不等式．1【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令将函数变为两个函
()0f x =数，将题意中的“存在唯一整数，使得在直线的下方”，转化为
()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-()g t ()h x 存在唯一的整数，使得在直线的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得的取值
()g t ()h x ax a =-m 范围.
6． 【答案】A.
【解析】，设，，||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-()||cos f x x x =-[,]x ππ∈-显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，()f x [0,]π()f x [,0]π-()()||||f f αβαβ>⇔>故是充分必要条件，故选A.7． 【答案】B
【解析】解：∵M ∩{1，2，4}={1，4}，∴1，4是M 中的元素，2不是M 中的元素．∵M ⊆{1，2，3，4}，∴M={1，4}或M={1，3，4}．故选：B ．　
8． 【答案】A
【解析】解：函数f （x ）=31+|x|﹣为偶函数，
当x ≥0时，f （x ）=31+x ﹣∵此时y=31+x 为增函数，y=为减函数，
∴当x ≥0时，f （x ）为增函数，则当x ≤0时，f （x ）为减函数，∵f （x ）＞f （2x ﹣1），
∴|x|＞|2x ﹣1|，∴x 2＞（2x ﹣1）2，解得：x ∈，
故选：A ．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．　
9． 【答案】D
【解析】解：x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，所以（x+y ）（+）=10+≥10
=16，
当且仅当
时等号成立，所以2m ﹣1≤16，解得m
；
故m 的取值范围是（﹣]；
故选D ．　
10．【答案】
【解析】解析：选D.法一：由＝i z 得2＋2z
1－i
2＋2z ＝i z ＋z ，
即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝＝＝－1－i.
－21－i
－2（1＋i ）2法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ），即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴，{2＋2a ＝a －b 2b ＝a ＋b
)
∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i.11．【答案】C
考点：平面向量数量积的运算．
12．【答案】 C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a ≥b 时，则输出a （b+1），反之，则输出b （a+1），∵2tan =2，lg =﹣1，∴（2tan ）⊗lg =（2tan
）×（lg
+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（）﹣1=5，
∴lne ⊗（
）﹣1=（
）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．故选：C ．　
二、填空题
13．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然，①是真命题；对于②，由得，
1[]x x x -<≤{}2
2sin
cos []1x x +=，即.当 时，，，此时
{}22sin 1cos []x x =-{}22sin sin []x x =12x <<011x <-<0sin(1)sin1x <-<化为，方程无解；当 时，，，
{}22sin sin []x x =22sin (1)sin 1x -=23x ≤<021x ≤-<0sin(2)sin1x ≤-<此时化为，所以或，即或，所以原方
{}2
2sin
sin []x x =sin(2)sin 2x -=22x -=22x π-+=4x =x π=程无解.故②是假命题；对于③，∵（），∴，，，
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦n N *∈1103a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦2203a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，…，，，所以数列的前项之和4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
{}n a 3n 为，故③是真命题；对于④，由
3[12(1)]n n +++-+= 231
22
n n -
14．【答案】a= ，b= ．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=
，b=；故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
15．【答案】 ．
【解析】设A （1，1），B （﹣1，﹣1），则直线AB 过原点，且阴影面积等于直线AB 与圆弧所
围成的弓形面积S 1，由图知，，又，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
16．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①
将①与拋物线x 2＝2py 联立得，
x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），
∴k PQ ＝＝－2t ，2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝得y ′＝，x 2
2p x p
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .2pt p 其切线方程为
y －2pt 2＝2t （x －2pt ），又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，
－）．p 2
∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．p 2
解得t ＝±，即t 的值为±.121217．【答案】　（3，1）　．
【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0，得
即（2x+y ﹣7）m+（x+y ﹣4）=0，
∴2x+y ﹣7=0，①
且x+y ﹣4=0，②
∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0的图象就和m 无关，恒过一定点．
由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；
故答案为：（3，1）
18．【答案】1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：设点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标为（m ，n ），
则线段A ′A 的中点B （，），
由题意得B 在直线l ：2x ﹣y ﹣1=0上，故 2×﹣﹣1=0 ①．
再由线段A ′A 和直线l 垂直，斜率之积等于﹣1得 ×=﹣1 ②，解①②做成的方程组可得：
m=﹣，n=，
故点A ′的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．　
20．【答案】
【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG （如图所示）．
（2）∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，
平面A 1B 1C 1D 1∩α＝EF ，
平面ABCD ∩α＝GC ，
∴EF ∥GC ，同理EG ∥FC .
∴四边形EFCG 为平行四边形，
过E 作EM ⊥D 1F ，垂足为M ，
∴EM ＝BC ＝10，
∵A 1E ＝4，D 1F ＝8，∴MF ＝4.
∴GC ＝EF ＝＝＝，
EM 2＋MF 2102＋42116∴GB ＝＝＝4（事实上Rt △EFM ≌Rt △CGB ）．
GC 2－BC 2116－100过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ，连接GH ，则四边形EHC 1F 为平行四边形，由题意知，B 1H ＝EB 1－EH ＝12－8＝4＝GB .
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG ­FC 1C 与三棱柱HB 1C 1­GBC 两部分组成．
其体积为V 2＝V 三棱柱EHG ­FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1­GBC
＝S △FC 1C ·B 1C 1＋S △GBC ·BB 1
＝×8×8×10＋×4×10×8＝480，1212∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800.
∴＝＝，V 1V 280048053
∴其体积比为（也可以）．5335
21．【答案】．16
y x =-
【解析】
试题分析：设所求直线与两直线分别交于,根据因为分别在直线12,l l ()()1122,,,A x y B x y ()()1122,,,A x y B x y 上，列出方程组，求解的值，即可求解直线的方程. 1
12,l l 11,x y
考点：直线方程的求解.
22．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由
所以
（2）由（1）和，
所以
故
23．【答案】
【解析】解：（1）由题意，=（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3，
可化为4x2+3y2=12，即：；
∴点P的轨迹方程为；
（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；
②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴|AB|=•|x1﹣x2|==，
∴k=±，
∴直线l的方程y=±x+1．
【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）当时，，；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
1）若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．。