高中数学第一章1.2.4第1课时两平面平行学业分层测评苏教版必修61

1.2.4 第1课时两平面平行
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．有下列命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有________．(填序号)
【解析】由面面平行的定义、性质得③正确．
【答案】③
2．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为________．
【解析】过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3 3.
【答案】3 3
3．如图1－2－83，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l______时，平面ACE∥平面BFD.
图1－2－83
【解析】l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.
【答案】垂直
4．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．
【解析】 设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1.∴B 1D 1∥m .
∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n . 因此直线m 与n 所成的角即直线B 1D 1与CD 1所成的角． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32
. 【答案】
32
5．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，
C 和
D ，
E ，
F ，已知AB ＝6，DE DF ＝2
5
，则AC ＝________.
【导学号：41292038】
【解析】 ∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝
DE
EF
. 由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，即AB BC ＝23
， 而AB ＝6，
∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15. 【答案】 15
6．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d ，则在平面β内，下列说法正确的是________．(填序号)
①有且只有一条直线与平面α的距离为d ； ②所有直线与平面α的距离都等于d ； ③有无数条直线与平面α的距离等于d ； ④所有直线与平面α的距离都不等于d .
【解析】 由两平行平面间的距离可知，②③正确． 【答案】 ②③
7．如图1－2－84所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，
D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
图1－2－84
【解析】∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1.
【答案】M∈线段FH
8．如图1－2－85，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
图1－2－85
【解析】取CD的中点H，连结EH，FH(略)．在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD ⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．
【答案】 4
二、解答题
9．如图1－2－86所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
图1－2－86
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD.
【解】(1)证明：连结BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD分别于点P，F，H.
∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， ∴BM MP ＝BN NF ＝
BG
GH
＝2.
连结PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD . ∴MN ∥平面ACD .
同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝2
3
，
∴MG ＝23
PH .
又PH ＝12AD ，∴MG ＝1
3AD .
同理NG ＝13AC ，MN ＝1
3
CD .
∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3. ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9.
10.如图1－2－87，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ 与平面PAO 平行？
图1－2－87
【解】 如图，设平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1＝D 1M ，点M 在AA 1上，由于平面D 1BQ ∩平面BCC 1B 1
＝BQ ，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M .
假设平面D 1BQ ∥平面PAO ，由平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1＝D 1M ，平面PAO ∩平面ADD 1A 1＝AP ，可得AP ∥D 1M ，
所以BQ ∥D 1M ∥AP .因为P 为DD 1的中点，所以M 为AA 1的中点，所以Q 为CC 1的中点，故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .
[能力提升]
1．如图1－2－88，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，如果在平面AB 1内，∠1＋∠2＝180°，在平面BC 1内，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC 与平面A 1B 1C 1的位置关系是________．
图1－2－88
【解析】 在平面AB 1内，∠1＋∠2＝180°知A 1B 1∥AB ，在平面BC 1内，∠3＋∠4＝180°，知B 1C 1∥BC ，所以平面ABC 与平面A 1B 1C 1平行．
【答案】 平行
2．已知平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A ，B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则a ，b ，c 之间的大小关系为__________.
【导学号：41292040】
【解析】 在如图所示的棱长为1的正方体中，上、下底面分别记为α，β.直线m 即直线AD 1，直线n 即直线BD .显然点A ，B 之间的距离为a ＝3，点A 到直线n 的距离为b ＝2，直线m 和n 的距离为c ＝1，则c <b <a .
【答案】 c <b <a
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．点P 在对角线BD 1上，且BP ＝2
3
BD 1，给出下列四个命题：
图1－2－89
①MN ∥平面APC ； ②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线； ④平面MNQ ∥平面APC .
其中正确命题的序号为______________．
【解析】 E ，F 分别为AC ，MN 的中点，G 为EF 与BD 1的交点，显然△D 1FG ∽△BEG ，故
D 1G BG ＝D 1F B
E ＝12，即BG ＝23BD 1.又BP ＝23BD 1，故点G 与点P 重合，所以平面APC 和平面ACMN 重合，MN ⊂平面APC ，故命题①不正确，命题④也不正确．
【答案】 ②③
4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，如图1－2－90所示．
图1－2－90
(1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；
(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明A 1E ＝EF ＝FC . 【解】 (1)证明：因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 綊B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D .又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD .所以AB 1∥平面C 1BD .
同理可证，B 1D 1∥平面C 1BD .
又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD . (2)如图所示，连结A 1C 1，交B 1D 1于点O 1；连结AO 1，与A 1C 交于点E .
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连结AC，交BD于O；连结C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，所以A1E＝EF＝FC.。