2020年高考数学一轮复习人教班理科数学课件学科素养专题五 大显神通的平面向量
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2
1 → ，故⑤正确． ＝4×1×2×－2＋4＝0，∴(4a＋b)⊥BC
答案：①④⑤
本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质.熟练掌握单位向 量，平面向量的共线平行、垂直，平面向量的加法等基本概念和基本 性质是解决本题的关键所在，同时考查了考生综合分析问题的能力以 及数形结合能力.
二、基向量法 平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为 沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确 定后，这种分解唯一确定. [典例2] [一题多解]如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，点N
在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点PΒιβλιοθήκη 则AP∶PM的值为 ________．
答案：30°
(2)(2018· 山东三校联考)如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝ → · → 的最 60° ，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则 AM AN 大值为( D )
A．3 C．6
B．2 3 D．9
→· → 等于| AM → |与 AN →在 解析：由平面向量数量积的几何意义知， AM AN
(2)(2018· 杭州模拟)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b → ＝2a， AC → ＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所 满足 AB 有正确结论的序号) → ；⑤(4a＋b) ①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥ BC →. ⊥BC
→ |＝2|a|＝2，∴|a|＝1，故①正确；∵ AC → ＝ AB → ＋ BC →＝ 解析：∵| AB → ＝b，∴| BC → |＝|b|＝2，故②不正确，④正确；∵ AB → ＝ 2a＋b，∴ BC → ＝b，∴a和b的夹角为120° → ＝(4a＋ 2a， BC ，则③错误；∵(4a＋b)· BC b)· b＝ 4a· b＋ b
[典例1]
(1)给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若|a|＞|b|，则a＞b； → ∥AC → ，则A，B，C三点共线； ③若AB → ＝CD → ，则ABCD是平行四边形． ④若AB 其中不正确命题的个数为( D ) A． 0 C． 2 B．1 D．3
解析：①不正确，若|a|＝|b|，则a和b的模相等，方向不确定，不 → ∥ AC → ，则 一定有a＝b；②不正确，向量不能比较大小；③正确，若 AB → ＝ CD → ，则A，B，C，D四点可能 A，B，C三点共线；④不正确，若 AB 共线，此时ABCD不是平行四边形．选D.
λ＝4 5 λ＋2μ＝2 ∴ ，得 3λ＋μ＝3 μ＝ 3 5
PM＝4∶1.
→ ＝ 4 AM → ， BP → ＝ 3 BN → ，∴AP∶ ，∴ AP 5 5
1 → → 1→ 3→ → → → →＝ 解法二：设AP＝λAM，∵AM＝ (AB＋AC)＝ AB＋ AN，∴AP 2 2 4 λ → 3λ → AB＋ AN，∵B、P、N三点共线， 2 4 λ 3λ 4 ∴ ＋ ＝1，∴λ＝ ，∴AP∶PM＝4∶1. 2 4 5
学科素养专题五
大显神通的平面向量
平面向量是高中数学的三大工具之一，常与函数、三角函数、立 体几何、不等式等相结合是高考数学综合题命制的基本素材和主要背 景之一，也是近年高考的热点．求解平面向量与其他知识交汇问题的 常用方法有： 一、定义法 准确理解平面向量的基本概念是解决向量问题的关键.考查向量的 有关概念，要注意了解向量、有向线段、向量的模、共线向量、相等 向量、零向量、单位向量等概念.
答案：4∶1
三、几何意义法 [典例3] (1)已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，
则a与a＋b的夹角为________．
解析：根据向量加法的几何意义，作出图形，在平面内任取一点 → ＝a，OB → ＝b，以OA → 、OB → 为邻边作平行四边形OACB. O，作OA → |＝| OB → |，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠ 因为|a|＝|b|，即| OA → ＝a＋b，BA → ＝a－b，而|a|＝|b|＝|a－b|，即|OA → |＝|OB → |＝ AOB，这时OC → |，所以△AOB为正三角形，则∠AOB＝60° | BA ，所以∠AOC＝30° ，即 a与a＋b的夹角为30° .
四、坐标法 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语 言”，实质是将“形”化为“数”.向量的坐标运算，使得向量的线性 运算都可用坐标运算来进行，它实现了向量运算的完全代数化，将数 与形紧密结合起来.
[典例4]
在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆
→ ＝λAB → ＋μAD → ，则λ＋μ的最大值为( 心且与BD相切的圆上．若AP A ) A．3 C. 5 B．2 2 D．2
→ ，e ＝ CN → ，则 AM → ＝ AC → ＋ CM → ＝－3e － 解析：解法一：设e1＝ BM 2 2 → ＝ BC → ＋ CN → ＝2e ＋e .∵点A、P、M三点共线，点B、P、N三点 e1， BN 1 2 → ＝λAM → ＝－3λe －λe ，BP → ＝μBN → ＝ 2μ e 共线，∴存在实数μ、λ使得AP 2 1 1 → ＝ BP → － AP → ＝(λ＋2μ)e ＋(3λ＋μ)e .又 BA → ＝ BC → ＋ CA → ＝2e ＋μ e2，∴ BA 1 2 1 ＋3e2，
1 → → → → → → → → AM方向上的投影之积，所以(AM· AN )max＝AM· AC ＝ 2AB＋AD· ( AB ＋
1→2 →2 3→ → → AD)＝ AB ＋AD ＋ AB· AD＝9. 2 2
用数形结合法解向量问题直观简单，应该熟练掌握，关键是要树 立这种意识.
解析：设圆C的半径为r.如图，建立平面直角坐标系．
1 1 在Rt△BCD中，BD＝ 5， BD· r＝ BC· CD， 2 2 2 4 2 2 ∴r＝ .∴圆C：(x－2) ＋(y－1) ＝ . 5 5
1 → ，故⑤正确． ＝4×1×2×－2＋4＝0，∴(4a＋b)⊥BC
答案：①④⑤
本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质.熟练掌握单位向 量，平面向量的共线平行、垂直，平面向量的加法等基本概念和基本 性质是解决本题的关键所在，同时考查了考生综合分析问题的能力以 及数形结合能力.
二、基向量法 平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为 沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确 定后，这种分解唯一确定. [典例2] [一题多解]如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，点N
在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点PΒιβλιοθήκη 则AP∶PM的值为 ________．
答案：30°
(2)(2018· 山东三校联考)如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝ → · → 的最 60° ，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则 AM AN 大值为( D )
A．3 C．6
B．2 3 D．9
→· → 等于| AM → |与 AN →在 解析：由平面向量数量积的几何意义知， AM AN
(2)(2018· 杭州模拟)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b → ＝2a， AC → ＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所 满足 AB 有正确结论的序号) → ；⑤(4a＋b) ①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥ BC →. ⊥BC
→ |＝2|a|＝2，∴|a|＝1，故①正确；∵ AC → ＝ AB → ＋ BC →＝ 解析：∵| AB → ＝b，∴| BC → |＝|b|＝2，故②不正确，④正确；∵ AB → ＝ 2a＋b，∴ BC → ＝b，∴a和b的夹角为120° → ＝(4a＋ 2a， BC ，则③错误；∵(4a＋b)· BC b)· b＝ 4a· b＋ b
[典例1]
(1)给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若|a|＞|b|，则a＞b； → ∥AC → ，则A，B，C三点共线； ③若AB → ＝CD → ，则ABCD是平行四边形． ④若AB 其中不正确命题的个数为( D ) A． 0 C． 2 B．1 D．3
解析：①不正确，若|a|＝|b|，则a和b的模相等，方向不确定，不 → ∥ AC → ，则 一定有a＝b；②不正确，向量不能比较大小；③正确，若 AB → ＝ CD → ，则A，B，C，D四点可能 A，B，C三点共线；④不正确，若 AB 共线，此时ABCD不是平行四边形．选D.
λ＝4 5 λ＋2μ＝2 ∴ ，得 3λ＋μ＝3 μ＝ 3 5
PM＝4∶1.
→ ＝ 4 AM → ， BP → ＝ 3 BN → ，∴AP∶ ，∴ AP 5 5
1 → → 1→ 3→ → → → →＝ 解法二：设AP＝λAM，∵AM＝ (AB＋AC)＝ AB＋ AN，∴AP 2 2 4 λ → 3λ → AB＋ AN，∵B、P、N三点共线， 2 4 λ 3λ 4 ∴ ＋ ＝1，∴λ＝ ，∴AP∶PM＝4∶1. 2 4 5
学科素养专题五
大显神通的平面向量
平面向量是高中数学的三大工具之一，常与函数、三角函数、立 体几何、不等式等相结合是高考数学综合题命制的基本素材和主要背 景之一，也是近年高考的热点．求解平面向量与其他知识交汇问题的 常用方法有： 一、定义法 准确理解平面向量的基本概念是解决向量问题的关键.考查向量的 有关概念，要注意了解向量、有向线段、向量的模、共线向量、相等 向量、零向量、单位向量等概念.
答案：4∶1
三、几何意义法 [典例3] (1)已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，
则a与a＋b的夹角为________．
解析：根据向量加法的几何意义，作出图形，在平面内任取一点 → ＝a，OB → ＝b，以OA → 、OB → 为邻边作平行四边形OACB. O，作OA → |＝| OB → |，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠ 因为|a|＝|b|，即| OA → ＝a＋b，BA → ＝a－b，而|a|＝|b|＝|a－b|，即|OA → |＝|OB → |＝ AOB，这时OC → |，所以△AOB为正三角形，则∠AOB＝60° | BA ，所以∠AOC＝30° ，即 a与a＋b的夹角为30° .
四、坐标法 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语 言”，实质是将“形”化为“数”.向量的坐标运算，使得向量的线性 运算都可用坐标运算来进行，它实现了向量运算的完全代数化，将数 与形紧密结合起来.
[典例4]
在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆
→ ＝λAB → ＋μAD → ，则λ＋μ的最大值为( 心且与BD相切的圆上．若AP A ) A．3 C. 5 B．2 2 D．2
→ ，e ＝ CN → ，则 AM → ＝ AC → ＋ CM → ＝－3e － 解析：解法一：设e1＝ BM 2 2 → ＝ BC → ＋ CN → ＝2e ＋e .∵点A、P、M三点共线，点B、P、N三点 e1， BN 1 2 → ＝λAM → ＝－3λe －λe ，BP → ＝μBN → ＝ 2μ e 共线，∴存在实数μ、λ使得AP 2 1 1 → ＝ BP → － AP → ＝(λ＋2μ)e ＋(3λ＋μ)e .又 BA → ＝ BC → ＋ CA → ＝2e ＋μ e2，∴ BA 1 2 1 ＋3e2，
1 → → → → → → → → AM方向上的投影之积，所以(AM· AN )max＝AM· AC ＝ 2AB＋AD· ( AB ＋
1→2 →2 3→ → → AD)＝ AB ＋AD ＋ AB· AD＝9. 2 2
用数形结合法解向量问题直观简单，应该熟练掌握，关键是要树 立这种意识.
解析：设圆C的半径为r.如图，建立平面直角坐标系．
1 1 在Rt△BCD中，BD＝ 5， BD· r＝ BC· CD， 2 2 2 4 2 2 ∴r＝ .∴圆C：(x－2) ＋(y－1) ＝ . 5 5