专题2.23：对数函数图象与性质的研究与拓展

专题2. 23：对数函数图象与性质的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：已知函数x x f lg )(=，若b a ≠，)()(b f a f =，则b a +的取值范围是 .
变式1：已知函数()()lg 1f x x =-，若a b ≠，()()f a f b =，则2a b +的取值范围是_________.
变式2：已知函数)1ln()(+=x x f ，若b a <<-1且()()f a f b =，则b a +的取值范围是_________. ()+∞,0
变式3：已知函数x x f 2log )(=，正实数n m ,满足n m <且)()(n f m f =，若)(x f 在区间[]n m ,2上的最大值为2，则n m +的值为_________. 2
5 拓展：（交大2002年保送）设()lg f x x =，,a b 为实数，且0a b <<，若,a b 满足
()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足34b <<. 【解】函数()lg f x x =在(0,1]上单调减，在[1,)+∞上单调增，要使得()()f a f b =，则必有01a b <<<. 从而条件转化为：lg lg 2lg 2
a b a b +-==， ∴12lg lg 2lg
2
a b ab a b a b +=⇒+>⇒-==， ∴221, (2)20. ab a b =⎧⎪⎨+--=⎪⎩①② 由①分别取1,33
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩和1,44a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入②式中，左边呈现异号，根据数形结合可知命题“这一关系中存在b 满足
34b <<”成立.以及利用数形结合解决问题的能力.
探究2：函数()lg 010
16102
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪-+>⎩，，，若a ,b ,c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是________.
探究3：当10<<x 时，分别比较以下两组式子的大小：
（1）)1lg(x -和)1lg(x +；
（2）)1(log x a -和)1(log x a +
变式1：已知函数)1(log )(2+=x x f ，实数n m ,在其定义域内，且n m <，)()(n f m f =.
求证：（i ）0>+n m ；（ii ）)()()(22n f n m f m f <+<.
变式2：设a ＞1，函数log a y x =的定义域为[m ，n ],m ＜n ，值域为[0,1]，定义：区间
[m ，n ]的长度等于n m -．若区间[m ，n ]长度的最小值为
56，则实数a 的值为
探究4：设R t ∈，若*N n ∈时，不等式0)ln()20(≥-t n tn 恒成立，则t 的取值范围是_____
变式1：若关于x 的不等式2(20)lg
0a ax x -≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是
.
变式2：关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，实数a 的值为_____．
探究5：在函数()1f x gx =的图象上有三点A 、B 、C ，横坐标依次是1,,1(2).m m m m -+>
（1）试比较(1)(1)2()f m f m f m -++与的大小； 函数的凹凸性
（2）求△ABC 的面积()S g m =的值域．
0⎛ ⎝，
变式：点,,A B C 都在幂函数12
y x =的图象上，它们的横坐标分别是,1,2a a a ++.又,,A B C 在x 轴上的射影分别为,,A B C '''，记AB C '∆的面积为()f a ，A BC ''∆的面积为()g a .
（1）求()f a 和()g a 的表达式；
（2）比较()f a 和()g a 的大小，并证明你的结论.
探究6：已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数．
（1）求k 的值；
（2）若函数()y f x =的图象与直线12
y x b =+没有交点，求b 的取值范围； （3）设()
94()log 33
x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围. (1) 因为()y f x =为偶函数，所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ，
即 99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立. 于是9999912log (91)log (91)log log (91)9x x x x x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12
k =-. (2) 由题意知方程911log (91)22
x x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解. 令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点. 因为99911()log log 199x x x g x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭
任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x <<，从而12
1199x x >. 于是129911log 1log 199x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即12()()g x g x >， 所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数. 因为1
119x +>，所以91()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭
.所以b 的取值范围是(],0.-∞ (3) 由题意知方程1
43333
x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根． 令30x t =>，则关于t 的方程24(1)103
a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根. 若a =1，则34
t =-，不合, 舍去； 若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由304a ∆=⇒=或－3；但3142a t =⇒=-，不合，舍去；而132
a t =-⇒=； 方程(*)的两根异号()()110 1.a a ⇔-⋅-<⇔>
综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞U ．
变式1：设2224()log log 1f x a x b x =++，(,a b 为常数）．当0x >时，()()F x f x =，且()F x 为R 上的奇函数．
（1）若1()02f =，且()f x 的最小值为0，求()F x 的表达式；
（2）在（1）的条件下，2()1()log f x k g x x
+-=在[]2,4上是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：222()log log 1f x a x b x =++ 由1()02
f =得10a b -+=, ∴222()lo
g (1)log 1f x a x a x =+++．……3分
若0a =，则2()log 1f x x =+无最小值．∴ 0a ≠． 要使()f x 取最小值为0，必须204(1)04a a a a >⎧⎪⎨-+=⎪⎩
，∴1a =,2b =． ∴222()log 2log 1f x x x =++．
当0x <，则0x ->，∴222()()log ()2log ()1F x f x x x =-=-+-+
又()()F x F x -=-，∴222()log ()2log ()1F x x x =-----
又(0)0F = ，∴ 222222log 2log 1(0)()0(0)
log ()2log ()1(0)x x x F x x x x x ⎧++>⎪⎪-==⎨⎪-----<⎪⎩
(2)2222log 2log 11()log x x k g x x +++-=22log 2log k x x
=++，[2,4]x ∈． 令2log x t =，则2k y t t
=+
+，[1,2]t ∈．……13分 ∴当0k ≤
1
2时，2k y t t =++为单调函数． 综上所述：实数k 的取值范围是1k ≤或4k ≥．
探究7：试讨论超越方程x a a x log =)1,0(≠>a a 的根的个数.
函数x y a =与log a y x =(0,1)a a >≠且图象的交点有如下情况：
当1e a e >时，没有交点； 当1e a e =时，有一个交点； 当11e a e <<时，有两个交点； 当
11e a e
≤<时,有一个交点； 当10e a e <<时，有三个交点．
探究8：已知1>a ，若函数4)(-+=x a x f x 的零点为m ，函数4log )(-+=x x x g a 的零点为n ，则n
m 41+的取值范围是__________
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。