立体几何平行导学案

高一数学导学案 2018年5月
一、任务驱动
1．已知平面α∥平面β，直线a ⊂α，有下列命题：
①a 与β内的所有直线平行；②a 与β内无数条直线平行；③a 与β内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________．
2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．
3．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( ) A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交
C ．无数条直线不相交
D ．任意一条直线都不相交
二、新知探究
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
三、师教为要
（一）直线与平面平行的判定与性质
平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是考试热点，多出现在解答题中．
常见的命题角度有：(1)证明直线与平面平行 (2)线面平行性质定理的应用 角度一：证明直线与平面平行
例1．如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．
练习1．如图，平面α内有△ABC ，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝7，梯形BCDE 的底DE ＝2，过EB 的中点B 1的平面β∥α，若β分别交EA ，DC 于点A 1，C 1，求△A 1B 1C 1的面积．
角度二：线面平行性质定理的应用
例2．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，四条侧棱均相等．点G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，BC ∥ 平面GEFH ．
求证：GH ∥EF ．
练习2．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点，求证：
(1)BE ∥平面DMF ；(2)平面BDE ∥平面MNG ．
【小结】证明直线与平面平行的3种方法
（二） 平面与平面平行的判定与性质
例3、如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG ．
练习3、如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：
(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H ．
【小结】判定平面与平面平行的4种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可
用)；
（三）空间平行关系在作图中的应用
例4、如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝4，AB ＝8，M ，N 分别是A 1D 1，AB 的中点．过MN 的截面α与BD 1平行，且平面α与长方体的面相交．
(1)求作交线(只画出图，不要求证明或说明)． (2)求该截面将长方体分成的两部分的体积之比．
练习4、如图，E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，过A ，C ，E 三点作平面α与正方体的面相交．
(1)画出平面α与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1各面的交线；(2)求证：BD 1∥平面α．
【小结】根据条件求作几何体截面的3个思想方法
(1)平面的确定公理；(2)线面平行与面面平行的判定与性质的应用； (3)作图的合理性(注意题目中隐含条件的挖掘和分析)．
四、归纳小结 同学，这节课你都学会了哪些知识？能够解决那些问题？
五、巩固反馈
1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( )
A ．平行
B ．相交
C ．直线b 在平面α内
D ．平行或直线b 在平面α内
2．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．在平面内
D ．不能确定
3．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )
A ．不一定存在与a 平行的直线
B ．只有两条与a 平行的直线
C ．存在无数条与a 平行的直线
D ．存在唯一与a 平行的直线
4．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________．
5．如图所示，在四面体ABCD 中，点M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中
与MN 平行的是________．
六、课后作业 A 组
1．在空间中，已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：
①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④ B 组
3．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中
点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )
A ．452
B ．4532
C ．45
D ．45 3
C 组
5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2．
6、 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，F 是AB 的中点，E 是PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)在PC 上求一点G ，使FG ∥平面AEC ，并证明你的结论．
EFG
ABC FAC FAB PBC G F E ABC P 平面求证：平面的重心，分别是所在平面外一点，点是、点∥ ,,,,7∆∆∆∆
七、感悟反思。