(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．给出下列函数：①()(
)
2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()x
f x e x =+.0a ∃>使得
()0a
a
f x dx -=⎰
的函数是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
2．计算2
11x dx x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭⎰的值为（ ）
A ．
3
4
B ．
3
ln 22
+ C ．
5
5ln 22
+ D ．3ln 2+
3．已知函数sin (11)
()1(12)x x f x x x
-≤≤⎧⎪
=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )
A ．ln 2
B ．ln 2-
C ．1
2
-
D ．3cos 1-
4．若函数()32n
x
f x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．3 5．对于函数()sin x f x x =
， 30,2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 6．曲线x
y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．3 7．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）
A ．
25
π B ．
43
C ．
32
D ．
2
π 8．已知40
2
cos 2d t x x π
=⎰
，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的
n 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．已知1
251
1
3,log ,log 3,a a x dx m a n p a
-====
⎰
，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<
C ．p m n <<
D ．p n m <<
10．已知函数2
0()cos 0
x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．1201(1))x x dx ⎰--=（ ） A ．22
π
+
B ．
12
π
+ C ．
1
2
2
π
-
D ．
142
π- 12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现
()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）
34
3
V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四
维测度W =（ ）. A ．224r π
B ．2
83
r π
C ．5
14
r π
D ．42r π
二、填空题
13．
021
1
4e
dx x dx x
-+-=⎰
⎰______________.
14．已知函数()[)
[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪
=∈⎨⎪∈⎩
则()22f x dx π-=⎰___________
15．若11
2lim 22n n
n n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.
16．已知1
2e a dx x
=⎰
，则()()4
1x x a ++展开式中3x 的系数为______. 17．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.
18．定积分1
21
(4sin )x x dx --+=⎰
________.
19．
(
)
1
21
11x dx ---=⎰__________．
20．若()()4
112ax x -+的展开式中2
x 项的系数为4，则
2
1
a
e dx x
=⎰________________ 三、解答题
21．已知函数1
()ln ()f x x b x b R x
=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-． 22．求曲线y x =
，2y x =-，1
3
y x =-所围成图形的面积．
23．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作
DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、
EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2
AOB π
∠=
，
EOF θ∠=（02
π
θ<<
）.
（1）若区域Ⅱ的总面积为
21
km 4
，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？
24．已知()x
kx b
f x e +=
． （Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值； （Ⅱ）求
1
x x
dx e ⎰． 25．已知函数2
()ln 1
a f x x x +=+
+，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；
(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 26．已知2
1()3cos cos 2
f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666
y f x x y x x y πππ=≤≤
=≤≤=-≤≤ 以及1
0(0)2
x y =-
≤≤ 围成的平面图形的面积．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③.
对①，()f x 的定义域为R
1())))()f x x x x f x --===-=-
即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0a
a
f x dx -=⎰
对②，()f x 的定义域为R
33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得
()0a
a
f x dx -=⎰
对③，若0a ∃>，使得
()0a
a
f x dx -=⎰
成立
则()2102a
a
x x a a
a a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝
==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】
本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.
2．B
解析：B 【分析】
根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】
根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰22
1
1()
2
x lnx =+
1142122ln ln ⎛⎫
=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 3
22
ln =+. 故选：B. 【点睛】
本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.
3．A
解析：A 【分析】
将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】
()2
1
2
12
11
111
1sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰
【点睛】
本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.
4．A
解析：A
【解析】由题意，得()1
3ln32n x f x nx
-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以
1n =；故选A.
5．C
解析：C
【解析】函数()sin x f x x =
，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，时，
()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数
在2
x π= 时连续，所以函数()()sin 0,x
f x x x
π=
∈，的单调区间为()0π，，又当3,
2x π
π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C. 点睛：对于①针对函数()sin x f x x =
的性质，当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数
()2
cos sin 'x x x
f x x -=
，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到
结论．
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：'
0x
x
y e y e x =∴=∴=时'
11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12
考点：导数的几何意义及直线方程
7．B
解析：B 【解析】
设()()()11,0f x a x x a =-+<，又点()0,1在函数()f x 的图象上，则
()21,1a f x x =-∴=-，由定积分几何意义，围成图形的面积为()
1
2311
1
141|33S x dx x x --⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B. 8．B
解析：B 【解析】
由题意得4
40
2cos2d sin 2|sin 12
t x x x π
π
π====⎰
．
所以输入的1,2a b ==． 执行如图所示的程序，可得：
①3,5,5,2a b S n ====，不满足条件，继续运行； ②8,13,18,3a b S n ====，不满足条件，继续运行；
③21,33,51,4a b S n ====，满足条件，停止运行，输出4．选B ．
9．B
解析：B 【解析】
1
23
521
1132,log 2,log 3,12
a x dx x m n p -===∴===-⎰ 5211
log 2log 5,log 31,22
m n p ====
m p n ∴<<
故选B
10．C
解析：C 【分析】 由函数2
0()cos 0
x f x x x ≥⎧=⎨
<⎩，根据定积分的运算性质，得
1
1
2
2
()cos 2f x dx xdx dx π
π-
-=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数2
0()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨
<⎩
， 根据定积分的运算性质，可得
1
01
0100
2
2
2
()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x π
ππ-
--=+=+=+=⎰⎰⎰，
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11．D
解析：D 【分析】 函数(
)
120
1(1)y x dx =
--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线
y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.
【详解】 由题意，
(
)
()11
12
2
1(1)1(1)()x x dx x dx x dx ---=--+-⎰⎰
⎰，如图：
120
1(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的1
4
，
故其值为4
π，021011()1
()|22x d x x --=-=⎰， 所以，
)
11
1
220
1
1(1)1(1)()4
2
x x dx x dx x dx π
--=--+-=
-
⎰⎰
⎰ 所以本题选D. 【点睛】
本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种
方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，
1
dx ⎰和1
()x dx -⎰.
12．D
解析：D 【解析】
因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：
3441
8824
W r dr r r πππ=⎰=
⨯=，应选答案D ． 二、填空题
13．【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以＝故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析：21π+
【分析】
根据1
(ln )x x
'=以及定积分的几何意义可得答案.
【详解】
1
1
e
dx x
⎰
=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，
因为2
-⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，
所以
2
-⎰
21
222
ππ=⨯⨯=，
所以11
e
dx x ⎰2-+⎰＝12π+. 故答案为：21π+.
【点睛】
本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.
14．【分析】利用定积分的计算法则可得由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解【详解】因为函数所以故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题 解析：24π-
【分析】
利用定积分的计算法则可得()22f x dx π
-=
⎰2
232
2
2cos x dx xdx xdx ππ
π
-++⎰
⎰⎰，由基本初等函
数的求导公式求得原函数即可求解. 【详解】
因为函数()[)[)
[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪
=∈⎨⎪∈⎩
, 所以()22f x dx π
-=
⎰2
232
2
2cos x dx xdx xdx ππ
π
-++⎰
⎰⎰
422
22
2
1sin 4x x x
π
π
π
-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
24π=-,
故答案为:24π- 【点睛】
本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题.
15．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-
【分析】
利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】
解：当|t |≥2时，n+1n
n n-1n 2-t lim =22+t
→∞，
可得2n 2
2()1
1t lim 2121
n t t t
→∞
⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，
n+1
n
n n-1n 2-t lim =22+t
→∞可得： 2
2()2lim 211?()2
n n
t
t t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】
本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．
16．32【分析】由定积分求出实数的值再利用二项式展开式的通项公式求解即可【详解】解：因为==2由展开式的通项为=即展开式中的系数为+=32故答案为32【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式属基础题
解析：32 【分析】
由定积分求出实数a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 解：因为1
2e
a dx x
=
⎰
=2ln x e 1| =2, 由()4
2x +展开式的通项为1r T +=r
4C 42r r x - ,
即()()4
12x x ++展开式中3x 的系数为2
4C 22⨯+1
4C 2⨯ =32，
故答案为32. 【点睛】
本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.
17．【分析】根据积分求解出阴影部分面积再利用几何概型求解得到结果【详解】由图象可知直线方程为：则阴影部分面积为：所求概率本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中面积型的求解关键是能够通过积分的知识求得阴
解析：1
4
【分析】
根据积分求解出阴影部分面积，再利用几何概型求解得到结果. 【详解】
由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：(
)
1
3240
1111111000024244
S x x dx x x =
-=
=--+=⎰ ∴所求概率
1
14114P ==
⨯ 本题正确结果：1
4
【点睛】
本题考查几何概型中面积型的求解，关键是能够通过积分的知识求得阴影部分面积.
18．【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分由奇函数在对称区间的积分知为0可得解详解：∵表示圆与x 轴围成的图形CDAB ∴又为奇函数所以∴故答案为：点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）
解析：
23
π
+ 【解析】
分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分，由奇函数在对称区间的积分知为0，可得解.
详解：11
1
2
2
1
1
1
(4sin )4sin x x dx x dx xdx ----+=
-+=⎰
⎰⎰，
∵
21
4x dx --表示圆224x y +=与x 轴围成的图形CDAB ，
OAB 121
423363
2
OCB ODA
S S
S
π
π=⨯⨯=+=⨯扇形，.
∴
21
2433
x dx π
--=
又sin x 为奇函数，所以1
1
sin 0xdx -=⎰
，
∴
1
2
1
2(4sin )33
x x dx π
--=
⎰ 故答案为：
233
π
+ 点睛：定积分的计算一般有三个方法： （1）利用微积分基本定理求原函数；
（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；
（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.
19．【解析】由定积分的几何意义由微积分基本定理：有定积分的运算法则可得： 解析：
22
π
-
【解析】
由定积分的几何意义，
221
11122
x dx π
π--=⨯⨯=，
由微积分基本定理：1
1
11
1|2dx x --==⎰
，
有定积分的运算法则可得：
(
)
1
21
1122
x dx π
---=
-⎰.
20．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项 解析：ln51-
【解析】由题意得2
x
项的系数为221
445
224,2
C aC a ⋅-⨯==
，所以52
2
5
152ln |ln ln ln5 1.222
e e dx x e x ==-=-⎰ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
三、解答题
21．(1) 2b = (2)见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b 的值； （Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可． 试题
(Ⅰ）()1
ln f x x b x x
=-
- ， 所以()222
11
1b x bx f x x x x
-='+=+- 由题设知()120,2f b b =-=∴='. （Ⅱ）由(Ⅰ）可得()12ln f x x x x =-
-，故只需证21
2ln 2ln20x x x x
-+++> ， 设()()2
1
2ln 2ln20F x x x x x x
=-+
++>，
令()0F x '=，得12
x =. 当1
02
x <<
时，()0F x '<，
当1
2
x >
时，()0F x '>， 所以，()()min 17
0,024
F x F F x ⎛⎫==>>
⎪⎝⎭ 所以，()()2ln2g x f x >-． 22．平面图形的面积13
6
= 【详解】
分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；
详解：
由曲线y x =
2y x =-，可得A 的横坐标为1，
由2y x =-，1
3
y x =-可得B 的横坐标为3． ∴所求面积为
30
1
22221313112111
1322013336266x x dx x x dx x x x x x ⎰+⎰-+=++-+=（）（）（）（）； 点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题． 23．（1）3
π
θ=（2）6
π
θ=
【解析】
试题分析：（1）本问考查解三角函数的实际应用，由OB OA =及BD AC =可知
OD OC =，根据条件易证Rt Rt ODE OCF ≌，所以DOE COF ∠=∠=
122πθ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，由cos OC OF COF =⋅∠可以求出1
2
COF
S OC OF =
⋅⋅⋅ 1sin cos 4COF θ∠=
，所以区域Ⅱ的总面积为11cos 24θ=，则1
cos 2
θ=，可以求出θ的值；（2）本问考查函数的最值问题，区域Ⅰ的面积可以根据扇形面积公式求得，区域Ⅱ的面积第（1）问中已经求出，区域Ⅲ的面积可以用1/4圆的面积减去区域Ⅰ、Ⅱ的面积，于是得到年收入函数，利用导数求函数的最大值即可得出年收入的最大值. 试题
（1）因为BD AC =，OB OA =，所以OD OC =.
因为2
AOB π
∠=
，DE OA ，CF OB ，
所以DE OB ⊥，CF OA ⊥.
又因为OE OF =，所以Rt Rt ODE OCF ≌. 所以DOE COF ∠=∠= 122πθ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 又cos OC OF COF =⋅∠ 所以12COF
S
OC OF =
⋅⋅⋅ 1
sin cos 4COF θ∠= 所以1cos 2S 区域Ⅱθ=（02
πθ<<）. 由
11cos 24θ=得1cos 2θ=，02πθ<<，3
π
θ∴=. （2）因为12S θ=
区域Ⅰ，所以S S S S =--=区域Ⅲ总区域Ⅰ区域Ⅱ 11
cos 422
πθθ--. 记年总收入为y 万元， 则113040cos 22y θθ=⨯+⨯
120(42πθ+⨯- 1
cos )2
θ- 5510cos πθθ=++（02
π
θ<<
），
所以()512sin y θ=-'，令0y '=，则6
π
θ=.
当06
π
θ<<时，0y '>；当
6
2
π
π
θ<<
时，0y '<.
故当6
π
θ=
时，y 有最大值，即年总收入最大.
考点：1.三角函数的实际应用；2.利用导数研究函数的最值. 24．（Ⅰ）1b =，2k =；（Ⅱ）2
1e
-. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）求出函数的的导函数；根据题意知()()01
1{{011
f k b f b =-=⇒=='，可解得1b =，
2k =；
（Ⅱ）根据微积分的基本定理设()x
x kx k b x
f x e e
--'+=
=，解得1k =-，1b =-，得()1
x x f x e --=，从而求得1
112|10x x x x dx e e e --==-⎰．
试题
解：()()()
2x x
x x x k e kx b e
kx b kx k b f x e e e
'
⋅-++-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭'=． （Ⅰ）依题意：()()01
1
{{011
f k b f b =-=⇒=='，解得1b =，2k =；
（Ⅱ）设()x x kx k b x
f x e e
--'+=
=，则1{0k k b -=-=，解得1k =-，1b =-，即
()1
x
x f x e --=
， ∴1
112
|10x x
x x dx e e e --==-⎰． 考点：导数的几何意义；微积分的基本定理.
25．（1）x ＝2
f (x )的极大值点，x ＝2
f (x )的极小值点；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
(1)利用导数求函数f(x)的极值点；（2）先求出()221
()1(1)
f x x ax x x '=-++，设
g (x )＝x 2－ax ＋1，对a 分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】
解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝ln x ＋
61
x +， 222
1641()(1)(1)x x f x x x x x -+'=-=++.令f ′(x )＝0⇒x ＝
列表
(2)()222121
()1(1)(1)
a f x x ax x x x x +'=
-=-+++， 设g (x )＝x 2－ax ＋1，
∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；
②当a ＞0时，2
22
()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝
⎭. 当1－2
4
a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为22
1244,22
a a a a x x --+-==
，且0＜x 1＜
x 2，
∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增． 综上所述，
当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0)∞，＋，没有减区间；
当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)． 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的极值点，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 26．(1) π (2) 324
- 【解析】 【分析】
（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期函数求得函数的最小正周期．
（2）利用（1）中()f x 的解析式，运用定积分求得面积． 【详解】 （Ⅰ）∵
,
∴. ∴
的最小正周期为
.
（Ⅱ）设由，
，
，以
及
围成的平面图形的面积为
，
∵，
∴
3
12
12
sin23sin(2)
66
S x dx x dx
π
π
π
ππ
⎛⎫
=--+-
⎪
⎝⎭
⎰⎰.
∵，
∴
.
∴由，，以及
围成的平面图形的面积为.
【点睛】
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，定积分在求面积中的应用，三角函数图象与性质等知识．综合考查了学生分析和推理的能力．。