二次函数中的最值问题【八大题型】(学生版)-初中数学

二次函数中的最值问题【八大题型】
【题型1几何图形中线段最值问题】 1
【题型2两线段和的最值问题】 5【题型3周长的最值问题】 13
【题型4面积的最值问题】 21
【题型5线段和差倍分的最值】 28
【题型6由二次函数性质求二次函数的最值】 36
【题型7由二次函数的最值求字母的值】 40
【题型8由二次函数的最值求字母的取值范围】 46
【题型1几何图形中线段最值问题】
1.(23-24九年级·广西钦州·期中)如图，线段AB =10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ,BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值是()
A.2
B.3
C.5
D.6
2.(23-24九年级·安徽合肥·阶段练习)如图，AB =6，点C 是AB 上的动点，以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边三角形，M 、N 分别是CD 、BE 中点，MN 最小值=()
A.3
B.32
C.322
D.332
3.(23-24九年级·广东江门·阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将对角线AC绕对角线
交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP=AE，连接PE、PF，设AE=x0<x<3
．
(1)填空：PC=，FC=；(用含x的代数式表示)
(2)若△PEF的面积为S，求S与x的函数关系及△PEF面积的最小值；
(3)在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
4.(23-24九年级·广东广州·期中)如图，在正方形ABCD中，AB=7，F是边CD上的动点，将△ADF绕
点A顺时针旋转90°至△ABE，将△ADF沿AF翻折至△AGF，连接EF、BD交于点H，连接GH，则△EGH面积的最大值为．
【题型2两线段和的最值问题】
5.((23-24·安徽合肥·一模)如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+
c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标，若不存在，请
说明理由．
6.((23-24·江苏宿迁·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1
4x2-1
4
x-3与x轴交于A，B
两点，点C为y轴正半轴上一点，且OC=OB，D是线段AC上的动点(不与点A，C重合)．
(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标；
(3)如图2，若点E是线段AB上的动点，连接BD、CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值．
7.((23-24·辽宁抚顺·模拟预测)如图，直线y=x-4与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y=x2+ bx+c经过A，B两点，与x轴负半轴交于点C，长度为22的线段DF在直线AB上滑动，以DF为对角线作正方形DEFG．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形DEFG与抛物线有公共点时，求D点横坐标的取值范围；
(3)连接CE，OD，直接写出CE+OD的最小值．
8.((23-24·海南省直辖县级单位·二模)如图，抛物线y=ax2+3ax+c经过点B1,0
，交x轴
、C0,-3于另一点A(点A在点B点的左侧)，点P是该抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
S△AOC时，请求出点P的横坐标；
(2)当点P在直线AC下方且S△P AC=3
4
(3)在抛物线的对称轴l上是否存在点Q，使得QC+QB最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，
请说明理由；
(4)若点E在x轴上，是否存在以P、A、C、E为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3周长的最值问题】
9.((23-24·辽宁丹东·模拟预测)如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)2+k a≠0
图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其中点B的坐标为2,0
．
，点C的坐标为0,4
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大
时，求△APM周长的最小值；
(3)如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y ，在新抛物线y 的对称轴上是否存在点Q使得
△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
10.(23-24九年级·山东淄博·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1
x2+bx+c与x轴交于
4
A-2，0
两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
，B6，0
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，若点E为对称轴上一动点，求△BED周长的最小值及此时点E的
坐标；
(3)过点A作AD∥BC交抛物线于D，过点E为直线AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形
BPCE面积的最大值及此时点P的坐标．
11.(23-24九年级·全国·期末)如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小
值；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．
12.(23-24九年级·广东广州·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、
B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为-1,0
．
，点C的坐标为0,-3
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为0,-2
，
①求DE+EF的最小值②求△DEF周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM
的同侧，且AM∥CN，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．(直接写出点N的坐标，不要求写解答过程)
【题型4面积的最值问题】
13.(23-24九年级·云南红河·期中)如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A-3，0
两点，与y
、B4，0轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH，求出△ACH周长的最小值时点H的坐标；
(3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求△BCG面积的最大值以及此时点G的坐标；
14.(23-24九年级·甘肃武威·阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-2,0
，
和点B4,0与y轴交于点C0,4
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，当AD+CD取得最小值时，求此时点D的坐标．
(3)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接CP、BP，求△PBC的面积的最大值，并求此时点P的坐
标．
15.(23-24九年级·山东·期末)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=1，OB=
OC=4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接AC、BC．动点D从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，
动点E从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形ADEC 的面积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角
形CMN？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
16.(23-24九年级·福建福州·期中)已知抛物线y=ax2+bx+c a≠0
，顶点为
与y轴交于点A0,-5 B2,-1
直线与抛物线交于D，E两点(点D在点E的左侧)．
，过点C2,-5
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△BDE面积的最小值；
(3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线y=-1的垂线，垂足为F，直线EB与直线DF交于点G，
连接CF，求证：四边形BCFG是平行四边形．
【题型5线段和差倍分的最值】
17.(23-24·山东济南·一模)抛物线y =-12
x 2+a -1 x +2a 与x 轴交于A b ,0 ，B 4,0 两点，与y 轴交于点C 0,c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若S △PMB S △AMB =14，求点P 的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E 'B ，E C ，求E B +
34E C 的最小值．
18.(23-24九年级·安徽合肥·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+23x的顶点为A
点，且与x轴的正半轴交于点B．
(1)连接AO，AB，则△AOB为三角形；
(2)P点为该抛物线对称轴上一点，当OP+1
AP取最小值时，OP=．
2
19.(23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习)已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C0，6
，顶点为D2，8
．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴(直线l)上的动点，求当PB-PC
取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求△BCM面积的最大值．
20.(23-24九年级·广东东莞·期中)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴相交于点C0,-2
，与x轴分别交于点B3,0
和点A，且∠CAO=45°．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ=∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使2
PC+PD的值最小，若存在，请求
2
出最小值，若不存在，请说明理由．
【题型6由二次函数性质求二次函数的最值】
21.(23-24九年级·陕西西安·阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0
，与y轴
,B3,0交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M x1,y1
，求y1-y2的最小值． ,N x2,y2
是抛物线上不同的两点且x1+x2=4x1-x2
22.(23-24九年级·江西赣州·期中)观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
1×100,2×99,3×98,4×97,⋅⋅⋅,99×2,100×1．
【观察发现】(1)发现所列各组式子中两个因数的和都为．
【问题解决】(2)若设其中一个因数为x(1≤x≤100，且为正整数)，所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少．
【拓展应用】(3)若大于0的a、b满足a+b=4，求a2+b2的最小值．
23.((23-24·贵州·模拟预测)已知二次函数y=ax2-4x+c(a≠0，a，c为常数)的图象经过点1,-6
，-4,-1
(1)求二次函数的表达式；
(2)当-1≤x<0时，求二次函数的最大值；
(3)当m≤x≤0时，二次函数的最大值与最小值的和为2m，求m的值．
24.(23-24九年级·湖南长沙·开学考试)在平面直角坐标系中，我们将形如1,-1
，-2.1,2.1
这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线y=2x-3上的“互补点”的坐标为；
(2)直线y=kx+2k≠0
上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数y=1
4x2+n-k-1
x+m+k-2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当-1≤n≤2时，
m的最小值为k，求k的值．
【题型7由二次函数的最值求字母的值】
25.((23-24九年级·全国·专题练习)已知在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx
+1(a、b是实数，a≠0)．
(1)若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a,-6)，求函数y1的表达式；
；
(2)若函数y1的图象经过点(r,0)，其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点1
r，0
(3)设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m、n的值．
26.(23-24九年级·河南许昌·期末)如图，已知二次函数y=x2+ax+a-4的图象经过点P-2,-2
．
(1)求a的值和二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知点Q m,n
在该二次函数图象上．
①当m=-3时，求n的值；
②当m≤x≤m+1时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出m的值．
27.(23-24九年级·湖南长沙·阶段练习)已知拋物线y=a x-h
2+k与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C．顶点为M．
(1)如图，若该拋物线可以由抛物线y=ax2先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为
0,-21
．
(i)求A，B两点的坐标；
(ii)若线段AM的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交AM交于点P，求证：四边形ADME 是菱形；
(2)已知a=1，抛物线顶点M在直线y=2x-5上，若在自变量x的值满足2h≤x≤2h+3的情况下，对
应函数值y的最小值为1
4，求h的值．
28.((23-24·广西贺州·二模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A，B
(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=3OA=3．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B，点C重合)，过点M作直线MN⊥x轴于点
D，交线段BC于点N．是否存在点M使得线段MN的长度最大，若存在，求线段MN长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数y=ax2+bx-3的自变量x满足t≤x≤t+1时，此函数的最大值与最小值的差为2，求
出t的值．
【题型8由二次函数的最值求字母的取值范围】
29.(23-24九年级·江苏南通·阶段练习)用好错题本可以有效的积累解题策略，减少再错的可能．下面是小
颖同学错题本上的一道题，请仔细阅读，并完成相应任务．
*年*月*日 星期天
错题***
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+m2+1存在两点A m-1,y1
，B m+2,y2
.
①求此抛物线的对称轴；(用含m的式子表示)
②记抛物线在A，B之间的部分为图象F(包括A，B两点)，y轴上一动点C(0,a)，过点C作垂直
于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；
任务一：请帮助小颖完成上述错题订正；
任务二：若点M2,y3
也是此抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G(包括M，A两点)，记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥y2-y1
，直接写出m的取值范围．30.(23-24九年级·河南郑州·阶段练习)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A4,1
，点B0,5
．
(1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；
(2)点C m,n
在该二次函数图象上，当m≤x≤4时，n的最大值为29
4，最小值为1，请根据图象直接
写出m的取值范围．
31.((23-24·浙江温州·模拟预测)已知二次函数y=ax2-2ax+3图象的一部分如图所示，它经过-1,0
．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当-2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m-n=9，求t的取值范围．
32.(23-24九年级·湖北·周测)已知抛物线y=x2+bx+c经过点B，与y轴交于点A，顶点P在直线OB
上．如图1，若点B的坐标为3,6
，点P的横坐标为1．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当m≤x≤4时，y=x2+bx+c的最小值为2，最大值为11，请求出m的取值范围；
(3)已知：点M在抛物线上，点N的坐标为2,3
，且∠MNA=∠BAN，请直接写出符合题意的点M的坐标．。