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南京市2019届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准
制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视
影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位
置上）
1．{－3，－2，2}2．53．1504．7
5．
23
6．[2
11，2]
7．①③8．5
9．4
10．2
11．x ＋2y －4＝0
12．－3
13．
259
14．[e 2，4e]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)
解：
（1）因为点P 的横坐标为27
7
，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝
27
7
，………………………………2分所以cos2α＝2cos 2α－1＝1
7．
………………………………4分（2）因为点Q 的纵坐标为
33
14，所以sin β＝3314
．………………………………6分又因为β为锐角，所以cos β＝13
14．
………………………………8分
因为cos α＝
277，且α为锐角，所以sin α＝21
7
，因此sin2α＝2sin αcos α＝43
7
，……………………………10分所以sin(2α－β)＝
437×1314－17×33
14＝32
．……………………………12分
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π
2
，
又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π
3
．
…………………………………14分
16．(本小题满分14分)
（1）证明：如图1，连结PE ．
因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，所以PE ⊥BC ，
……………………2分
且PE ＝3，同理AE ＝3．
因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2
，所以PE ⊥AE ．……4分因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ．因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ．……………………7分
（2）解法一
如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．
因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ，……………………………………9分所以
PM PC ＝DO DC
．……………………………………11分
因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝13
，所以PM ＝13PC ＝2
3
．
…………………………………14分
解法二
如图2，取BE 的中点N ，连接PN ．因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点，所以DN ∥AE ．
又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ，所以DN ∥平面AEM ．
又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ，所以平面PDN ∥平面AEM ．
………………………………9分
又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，所以ME ∥PN ，所以
PM PC ＝NE NC
．………………………………11分
因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以
NE NC ＝13，所以PM ＝1
3PC ＝23
．………………………………14分
(图2)
P A
M
D
E
C B N
(图1)
O B
P A
C M
D
E
17．(本小题满分14分)解：（1）连结DC ．
在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π
3，
所以∠CBA ＝π
6，AB ＝4，BC ＝23．
………………………………2分
因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π
2，
所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ．
………………………………4分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π
3
，BD ＝23cos θ，
所以
DF
sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BD
sin ∠BFD ，所以DF ＝4cos θsin(π
6
＋θ)，
………………………………6分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ，
………………………………8分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4cos θsin(π
6
＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3
＝2sin(2θ－π
6
)＋3．
…………………………………12分
因为π
3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6
，
所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π
3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．
……………13分
答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大．
…………………………………14分
18．(本小题满分16分)
解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12
a ，…………………………………2分
所以椭圆C 的方程为x
24b 2＋y 2b
2＝1．
因为椭圆C 经过点P (85，3
5)，所以1625b 2＋925b 2＝1，
所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2＝1．
…………………………………4分
（2）解法一
设N (n ，0)，
当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25
，－y )，则y 2
＝1－(25)24＝2425，
则NA → NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425
＝n 2－4
5n －45，
…………………………………6分
当l 经过左､右顶点时，NA →⋅NB →
＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－4
5n －45
＝n 2－4，得n ＝4．
……………………………………8分
下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA →⋅NB →
＝12．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
y 2＝1，k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，
所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－4
4k 2＋1
，
…………………………………10分
所以NA →⋅NB →
＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2
＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)
＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2
…………………………………12分＝(k 2＋1)
1625
k 2－4
4k 2＋1
－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425
k 2(4k 2＋1)
4k 2＋1＋16＝－16k 2
－44k 2＋1
＋16＝12．
所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →
为定值．…………………………………16分
解法二
设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
y 2＝1，k (x －25
)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，
所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－4
4k 2＋1
，…………………………………6分
所以NA →⋅NB →
＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25
)
＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425
k 2
＝(k 2＋1)
1625
k 2－44k 2＋1
－(n ＋252)165k 2
4k 2＋1＋n 2＋425k 2……………………………………8分
＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425
k 2(4k 2＋1)
4k 2＋1
＋n 2＝(－165n －165
)k 2－44k 2＋1
＋n 2．……………………………………12分
若NA →⋅NB →
为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165
)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－16n －165
)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立，
－165n －165＝4λ，4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →⋅NB →
＝12．
……………………………………14分
当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25
，－y )，则y 2
＝1－(25)24＝2425，
所以NA →⋅NB →＝(25－4)2－y 2＝(2
5－4)2－2425＝12，
所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →
为定值．
………………………………16分
19．(本小题满分16分)
解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），
所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．令f'(x )＝0，得x ＝0或a ．
………………………………2分当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增；
当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝2
3
．
………………………………4分（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0），
则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，
所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1．
……………………………6分
②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a
2
＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，
所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－4
2
．
当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，
则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－4
2
．
………………………………8分
综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为
a －a 2－4
2
．……………………………9分
（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，
则h (x )≥0在[a 2
，a ＋2
2]有解．
………………………………10分
h ′(x )＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －
a ＋22
)2－a
2
＋4
4
]，因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a
2)＝－32a 2＜0，
所以h (x )在(a 2，
a ＋2
2)上单调递减，所以h (a
2
)≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0．
…………………………………12分
设t (a )＝a 3－3a 2－6a ＋4（a ＞0），则t ′(a )＝3a 2－6a －6，当a ∈(0，1＋2)时，t ′(a )＜0，t (a )单调递减；当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′(a )＞0，t (a )单调递增．
因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)，…………………14分因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)，所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，
故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}．
…………………………………16分
20．(本小题满分16分)
解：
（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2．
…………………………………2分所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”．
…………………………………4分
（2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，
所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1)d ＋|d |．因为数列{a n }为“T 数列”，
所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1)d ＋|d |＝a m ，即有(m －n )d ＝|d |．…………6分①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n )d ＝|d |，②若d ＜0，则m ＝n －1．
此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上，d ≥0．
……………………………………8分
（3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．
又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”，所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．
…………………………………10分
设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，
由a n ＜a 2
n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，………………………………12分
整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1，①
n (t －2t 2)＞2t －t 2－1．②
若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t
，
则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t )N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾，因此2t 2－t ≥0．
同样根据②式可得t －2t 2≥0，所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝1
2
．
经检验当t ＝1
2时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋1
2(n －1)＝
n ＋12
．………………………………16分
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准
2018.05
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．
内．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ，
………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ．………………………………4分所以
AB AC ＝BN
MN
．………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BN
MN 2，即BN ＝2MN ．
………………………………8分
又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线．………………………………10分
B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝
1201，B ＝
2001，所以AB ＝
22
01
．………………………………4分设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．因为P 0(x 0，y 0)在直线l :x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0．①
由AB
x 0y 0＝x y ，即2201x 0y 0
＝x y ，
x 0＋2y 0＝x ，
y 0＝y ，
………………………………6分
0＝1
2x －y ，
y 0＝y ．
②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．
………………………………10分
C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一
在直线ρsin(θ－π
3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2.
所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)．………………………………4分
因为圆C 经过点P (2，π
3)，
所以圆C 的半径PC ＝
22+22－2×2×2×cos π
3
＝2，
……………………………6分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ．
……………………………10分解法二
以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)，
………………………………4分所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2，
………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，………………………………8分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ.……………………………10分
D ．选修4—5：不等式选讲
解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，
即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )．
……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9，……………………………6分
所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，
当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13
时等号成立．
所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）
解：（1）因为点A (1，a )(a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，
所以p
2
＋1＝2，所以p ＝2.
……………………………3分
（2）解法一
由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．
因为点A (1，a )(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．……………………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2)(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
－1＝m (y －2)，
2＝4x ，
消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，
即(y －2)(y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．
……………………………6分因为AM ⊥AN ，所以－1
m 代m ，得y 2＝－4m
－2，
……………………………8分
所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝|4m ×(－4
m )|＝16．
……………………………10分
解法二
由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．
因为点A (1，a )(a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．
……………………………4分
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0．……6分
又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4)(y 22－4)＋16(y 1－2)(y 2－2)＝0，即[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16](y 1－2)(y 2－2)＝0．
因为(y 1－2)(y 2－2)≠0，所以(y 1＋2)(y 2＋2)＝－16，……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝16．
……………………………10分
23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1A
n －
i
n
x (x ＋1)…(x ＋i －1)，
所以
f n (1)＝i ＝1
∑n －1
A n －i n ×1×…×i ＝i ＝1
∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A n
n ＋1×2×…×n ＝2×n !，
所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15．
……………………………3分（2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，
f 3(x )＋
g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )．……………………………5分下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；
假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，
因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑k
A
k ＋1－i
k ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)
＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －i
k x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1
k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)＝(k +1)f k (x )＋(k +1)x (x ＋1)…(x ＋k －1)，
所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1)f k (x )＋(k +1)x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1
k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k )
＝(k +1)[f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k
k ]＋x (x ＋1)…(x ＋k )
＝(k +1)[f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )
＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )(x ＋k ＋1)，
即n ＝k ＋1时命题也成立．
因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )．
…………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为
{－1，－2，…，－n }．
……………………………10分。