吉林省长春市实验中学2019届高三上学期开学考试数学(文)试题Word版含解析

吉林省长春市实验中学2019届高三上学期开学考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题，每小题5分，计60分)
1.=
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数运算法则计算即可.
【详解】，故选A.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于中档题.
2.已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合M，根据交集的定义即可求出.
【详解】因为，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.
3.命题“若,则且的逆否命题是
A. 若,则且
B. 若,则或
C. 若且，则
D. 若或，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的逆否命题的定义即可求解.
【详解】因为原命题为“若,则且，所以逆否命题为若或，
则，故选D.
【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.
4.下列函数中,在区间上为增函数的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的增减性，逐一分析即可.
【详解】对于A,因为，所以在区间上为增函数，对于B,在区间
上为减函数，对于C，在区间上为减函数，对于D，在区间
上不单调，故选A.
【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的增减性，属于中档题.
5.已知，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的关系，先求出，再求出即可.
【详解】因为，，所以在第四象限，，，故选C.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及三角函数在各象限的符号，属于中档题.
6.函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理逐一判断选项即可.
【详解】因为，而，所以必在内有一零点，所以选B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在性定理，属于中档题.
7.函数的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简函数为，根据正弦函数的有界性求解即可.
【详解】因为，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式及两角和正弦公式的逆用，属于中档题.
8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
分析：根据程序框图依次写出循环体的运行结果即可．
详解：由程序框图，得：
，
，
，
结束循环，输出的值为4．
点睛：本题考查算法初步中的程序框图、对数运算等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
9.表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据表面积可知正方体棱长，又正方体的对角线是球的直径，即可求出球的表面积.
【详解】因为，所以，所以，,故，选D.
【点睛】本题主要考查了球的表面公式，球的内接正方体的表面积及对角线，属于中档题.
10.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
不妨设顶点和焦点分别为，则直线l方程为，利用点到直线的距离公式得，又知，即可求出.
【详解】不妨设顶点和焦点分别为，则直线l方程为,由点到直线的距
离公式得，又，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点、顶点、离心率、短轴及点到直线的距离，属于中档题.
11.函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先利用函数为奇函数排除选项C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项B．
详解：易知的定义域为，
且
，
即函数是奇函数，图象关于原点对称，
故排除选项C、D；
又，
故排除选项B，故选A．
点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等．
12.在中，分别是所对的边，若，，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦定理可得，由正弦定理可得,因为，所以,根据即可求出.
【详解】由余弦定理知，，即，由正弦定理知解
得,因为，所以，，故选D.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及两角和差的余弦公式，属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分）
13.某同学在高三参加的九次考试成绩分别为85，94，101，110，106，123，123，122，130，则这些次成绩的中位数是_______
【答案】110
【解析】
【分析】
把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，中间一个数即为中位数.
【详解】按中位数定义，把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，第5个数即为中位数，所以中位数为110.
【点睛】本题主要考查了统计中的中位数概念，属于中档题.
14.已知向量，，则与的夹角的大小为__________．
【答案】
【解析】
设与的夹角的大小为，则，又∵，∴，即与的夹角的大小为，故答案为.
15.已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为____.
【答案】
【解析】
分析：先利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程，再利用焦点坐标确定有关系数．
详解：将化为，
设以为渐近线的双曲线方程为，
又因为该双曲线的焦点为，
所以，
解得，即双曲线方程为．
点睛：在处理双曲线的方程和其渐近线方程时，往往要先讨论双曲线的焦点在那个坐标轴上，记住以下设法，可避免讨论：
①双曲线的渐近线方程可设为；
②以直线为渐近线的双曲线方程可设为．
16.已知奇函数，则函数的极大值点是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数可知，由函数导数，可知其极值点，即可求解.
【详解】因为函数为奇函数，所以，所以，又由
得或，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以极大值点为.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，函数的极值点，属于中档题.
三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）
17.已知公差为1的等差数列，依次为一个等比数列的相邻三项.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前10项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据成等比数列列方程即可求解（2）根据数列通项可得，相加相
消即可求解.
【详解】（1）因为成等比数列，所以，即，解得，所以
.
（2）因为，所以
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项求和，属于中档题.解题时如果发现数列通项为分母是积的形式的分式，可以考虑裂项相消法求解.
18.针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
岁以下
岁以上（含岁）
(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，
，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．
【答案】(1)120;(2).
【解析】
【分析】
（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【详解】（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.
（2）总体的平均数
与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【点睛】本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.
19.如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，,，是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【答案】(1)略；（2）1：1
【解析】
【分析】
（1）由题意易证平面BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得平面（2）设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，易求,三棱柱的体积V=1,于是可得（V-V1）:V1=1:1即可得出答案.
【详解】证明：（1）由题意知
,又
.
由题设知
平面BDC,又平面BDC1
平面
（2）设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得,
又三棱柱的体积V=1,
（V-V1）:V1=1:1
两部分体积的比为1:1.
【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，线面垂直的判定，棱柱、棱锥的体积，属于中档题.
20.已知抛物线过点.
(1)求抛物线的准线方程;
(2)设为上第一象限内的动点，过点作抛物线的切线交其准线于点,为准线上一点，且
，求当最小时点的坐标.
【答案】(1) (2) .
【解析】
【分析】
（1）因为抛物线过点，代入即可求出方程（2）设抛物线上P点坐标，写出过P点切线，求出M的坐标，再利用求出N的坐标，写出，利用导数求其最小值即可. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，即，所以抛物线方程为.
（2）设,过P的切线斜率，切线方程为，
因为准线方程为，所以,又，可求出，
所以，(t>0),令，，令得，即
，当时，当时，，所以当时，有最小值，此时
.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，切线方程，向量垂直，利用导数求函数极值，属于难题.解决本题的关键在于写出后，利用函数求其极值点，即可得出P点坐标.
21.函数.
(1)求的单调区间;(2)若恒成立,求取值范围
【答案】(1) 当时，增；当时，减，增；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）求导数，分类讨论即可求出单调区间（2）根据（1）写出函数最小值，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）因为，当时，，所以函数在上单增，当时，由得，且时，时，所以函数在单调递减，在
单调递增.
（2）当时，恒成立，当时，在增，无最小值，不符合题意，当时，由（1）知，时即可，解得，综上. 【点睛】本题主要考查了函数单调性，函数的极值、最值，分类讨论的思想方法，属于中档题.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
，直线的参数方程为 (为参数)，直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.
(1)求圆心的极坐标；(2)求△面积的最大值.
【答案】(1);(2) .
【解析】
试题分析：（1）由题意可得圆的直角坐标方程，然后即可得圆的参数方程；（2）根据题意
求得直线的方程，即可得圆心到直线的距离，然后求得的值，再根据数形结合可得到直线的最大距离，即可求出面积的最大值.
试题解析：.
∴圆的参数方程
⑵易知直线为，圆心到直线的距离
∴
∵由几何图形可知到直线的最大距离为
∴面积的最大值为
23.已知函数.
（1）记函数，求函数的最小值；
（2）记不等式的解集为，若时，证明.
【答案】（1）2；（2）略.
【解析】
【分析】
（1）求出的解析式，从而求出的最小值即可（2）求出M的范围，根据不等式的性质证明即可.
【详解】（1）由题意得，可得函数最小值为2.
（2）证明：由知，当时，
，即，
.
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，用综合法证明不等式，属于中档题.。