泉州市南安一中2013-2014学年高二上学期期末考试文科数学试题及答案

福建省南安一中2013-2014学年高二上学期期末数学文试题
本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取
的编号可能是
A. 2,4,6,8
B. 2,6,10,14
C. 2,7,12,17
D. 5,8,9,14 2. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至多有1次中靶”的对立事件是
A. 只有1次中靶
B. 至少有1次中靶
C. 2次都不中靶
D. 2次都中靶 3. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ．乙 C ． 丙 D ．丁
4. 总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为
A ．01
B ．02
C ．07
D ．08
5.曲线31y ax bx =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为=+=b a x y 则,
A ．3-
B ．2
C ．3
D ．4
6. 从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：
根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于130克的苹果数约占苹果总数的 A ．10% B ．30% C ．60% D ．80% 7.如图给出的是计算
2014
1614121++++ 的值的程序框图， 其中判断框内应填入的是
A ．2014<i
B ．1007>i
C ．1007≤i
D ．2016<i
8.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小
长方形的面积的和的
1
4
,且样本容量为200,则中间一组有频数为 A ．40 B ．32 C ．0.2 D ． 0.25
9.小强和小华两位同学约定下午在武荣公园篮球场见面,约定谁先到后必须等
10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的,假设小华在1点到3点内到达,且小华在 1点到3点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是
A ．91
B ．
16C ． 1
4
D ．13 10.已知x 与y 之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b y
ˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是
A ．a a b b
'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '<'<ˆ,ˆ D ．a a b b '>'<ˆ,ˆ 11.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①x
a
x g x f )
()(=
(0,a >1)a ≠且； ②()0g x ≠；③()()()()f x g x f x g x ''⋅>⋅．若
(1)(1)5
(1)(1)2
f f
g g -+=-，则a 等于 A ．21B ．4
5
C ．2
D ．2或2
1
12.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为3
1,则
AD
AB
的值为 A ．
12B ．3
5
C ．14D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1200人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样
本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有________学生． 14.函数()y f x =在定义域3(,3)2
-内可导，其图象如下，记
()y f x =的导函数为/()y f x =，则不等式0)('≥x f 的解集为
_________．
15.在边长为2的正方形ABCD 内任取一点P ，则使点P 到四个顶点的
距离至少有一个小于1的概率是________．
程序(1) A=-8程序(2) x=1/4 B=2 i=1
If A<0 then while i<3 A=-A x=1/(1+x) END if i=i+1 B=B^2 wend A=A+B print x C=A-2*B end A=A/C B=B*C+1
Print A,B,C
程序（1）的输出结果是______,________,_________.
程序（2）的输出结果是__________.
三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得
10
1
80i
i x
==∑,101
20i i y ==∑,101
184i i i x y ==∑,10
21
720i i x ==∑.
(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关并说明理由; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程y bx a =+中,12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑,a y bx =-,
其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 y bx
a =+ .
18.（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩
（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计
该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对
值不大于10的概率．
图
19.（本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提
高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． （Ⅰ）试分析估计两个班级的优秀率；
（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’参考公式及数据：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
20.（本小题满分12分）设函数x ax x f ln +=.
（Ⅰ）当1-=a 时，求函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）已知0<a ，若函数()x f y =的图象总在直线2
1
-
=y 的下方，求a 的取值范围； 21.（本小题满分12分）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整
数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1
,2,3)i P i =; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的
值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
22.（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x =-+．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a
g x x x
=+有相同极值点， （ⅰ）求实数a 的值；
（ⅱ）若 对 于 121
,[,3]x x e ∀∈，不 等 式 12()()11
f x
g x k --≤恒
成 立 ，求 实 数 k 的 取 值 范 围 ．
南安一中2015届高二年期末考试试卷
数学（文科）答案及评分标准
一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．
13．4440 14．]2,1[]31,23( --
15.4
π 16. （1）3、17、4；（2）95 三、解答题：本大题满分74分．
17.
18.解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ……………1分 解得0.03a =． ……………………………………………………………2分 （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为
110(0.0050.01)-⨯+0.85=． …3分
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． ……………5分 （3）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ．…6分
成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，
F ．………7分
若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，
(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共
15
种．……………………9分
如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………11分
所以所求概率为()7
15
P M =
．…………………………………12分 19.解：（Ⅰ）由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为30
50
＝60%，
乙班优秀人数为25人，优秀率为25
50
＝50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.……………………4分 （Ⅱ）
因为K 2
＝100× 30×25－20×25 2
50×50×55×45＝100
99
≈1.010，………10分
所以由参考数据知，没有75%的把认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助． ………………………12分
20．解：（Ⅰ）当1-=a 时，()2ln f x x x =-+，()x
x x f
12/
+-=，
()11/-=f ，所以切线的斜率为1-.……………………2分
又()11-=f ，所以切点为()1,1-.
故所求的切线方程为：()11--=+x y 即0=+y x .…………4分
（Ⅱ）()22
1212122a x ax a f x ax x x x
⎛
⎫+ ⎪
+⎝⎭
'=+==，0>x ，0a <.……6分
令()0/
=x f
，则a
x 21
-
=
. 当⎥⎦⎤ ⎝
⎛-∈a x 21,0时，()0/
>x f ；当⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-∈,21
a x 时，()0/
<x f .
故a
x 21
-
=
为函数()x f 的唯一极大值点， 所以()x f 的最大值为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-a f 21=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-a 21ln 2121.……………10分 由题意有2
1
21ln 2121-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
a ，解得21-<a .
所以a 的取值范围为⎪⎭
⎫
⎝⎛
-∞-21,.………………………………12分 21.解:
(Ⅰ)变量x 是在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能.
当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时,输出y 的值为1, 故2
1
1=
P ;…………2分 当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时,输出y 的值为2,故
3
1
2=
P ; …………4分 当x 从24,18,12,6这4个数中产生时,输出y 的值为3,故6
1
3=
P . …………6分 所以输出y 的值为1的概率为21,输出y 的值为2的概率为3
1
,输出y 的值为3的概率
为6
1. (Ⅱ)当2100n =时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下,
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大. …12分
22．解：（Ⅰ）22(1)(1)
()2x x f x x x x
+-'=-+
=-
（0x >）， ······· 1分 由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得，01x <<；由()0,
0f x x '<⎧⎨>⎩
得，1x >.
∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ········· 3分 ∴ 函数()f x 的最大值为(1)1f =-． ················ 4分 （Ⅱ）∵ ()a g x x x =+
， ∴ 2()1a
g x x
'=-． （ⅰ）由（Ⅰ）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又∵ 函数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，
∴ (1)10g a '=-=，解得1a =． ·················· 7分 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意． ········ 8分 （ⅱ）∵ 211
()2f e e
=--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+，
∵ 2192ln321e -+<-
-<-， 即 1
(3)()(1)f f f e
<<，
∴ 11
[,3]x e
∀∈，1min 1max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-． ···· 9分
由（ⅰ）知1()g x x x =+
，∴21()1g x x
'=-. 当1
[,1)x e
∈时，()0g x '<；当(1,3]x ∈时，()0g x '>．
故()g x 在1
[,1)e
为减函数，在(1,3]上为增函数．
∵ 11110
(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，
而 11023e e <+<, 1
(1)()(3),
g g g e ∴<<
∴ 21[,]x e e ∀∈，2min 2max 10
()(1)2,()(3)3
g x g g x g ====． ······· 10分
① 当10k ->，即1k >时，
对于121
,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11
f x
g x k -≤-恒成立
12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+ 12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-
，
∴ 312k ≥-+=-，又∵ 1k >，
∴ 1k >． ··························· 12分 ② 当10k -<，即1k <时，
对于121
,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()1
1f x g x k -≤-
12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+．
∵ 121037
()()(3)(3)92ln32ln333
f x
g x f g -≥-=-+-=-+， ∴ 34
2ln33
k ≤-
+． 又∵1k <，∴ 34
2ln33
k ≤-
+．
综上，所求的实数k 的取值范围为34
(,2ln3](1,)3
-∞-++∞ ．
······ 14分。