两条直线的位置关系

（一）两条直线的位置关系
1. 两直线位置关系的判定方法
方法1:解两直线方程组成的方程组，
由方程组的解的情况判定两直线的位置关系， 这种
方法虽思路自然，但运算较繁。

方法2:用斜率，但要保证两直线的斜率存在。

如出=坏+如如为二*V+布 11与12相交的条件是：虹丰*［；
li 与12平行的条件是："二用2且3］#场；
11与12重合的条件是：出1二灼且禹二句；
方法3:系数法
如 + + = 0,如也］+ 月/ + & = 0
11与12相交的条件是：
也切-姑"0或/指；
11与12平行的条件是：
皿-皿=0且职-皿部或加争耕； 他 ^2 5
11与12重合的条件是： 力I 一 G
&二端* 4二花］c 】=想（膈。

或鸟& %
计算步骤如下:
给 A1、B1、C1, A 2、B 2、C 2 赋值；
计算。

1 二 -&埠仿二 B ］C 「C ］% ；
若牛。

，则4和匕相交；
若功二。

，4莉则/］和，平行；
若= 0,。

广°
,则两条直线重合。

2. 判定两条直线是否垂直的方法
已知两条直线如下：
4；中+跄+q=0p ，；也"跄+& 二o
*1和A 垂直的条件是：打陲+ %勺二。

= 岛二—选
设％的斜率 可，的斜率 & ,则有灯折=—1
计算步骤：
（1）
3. 交点
设两条直线的方程分别是
+月少+C ［二0,+ %〉+ C? 二 °，若有交点， + 垃y + q 二 0 <
则方程组 电X +哙+ % = 0有惟一的实数解，以这个解为坐标的点就是两直线的交点。

(1) (2) (3) (4) (5) 给 A1、B 〔、C 〔，A2、B2、C2 赋值；
计算必二44+E 岛；
若M = 0,则'】耳；若M *0，则」1与L 不垂直。

(2) (3)
特别值得说明的是：当L，的方程组成的方程组无公共解时，说明直线«，4平行；当
组成的方程组有无数个解时，说明4，&重合。

4. 学习中应注意的问题
(1) 在判定两直线的位置关系时，如果斜率不存在，则不能用垂直、平行的条件。

而应该直接由图形得到。

两直线的位置关系是在直线的斜截式的基础上讨论的，若是其他形式，可先化为斜截式处理。

(2) 求两直线4的交点，就是求解*直线方程组成的方程组。

其理论依据是直线的方程和方程的直线的概念。

两直线相交，则交点同时在这两直线上，交点的坐标一定是
两直线方程的解；若这两直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则以这个解为坐标的点
必是两直线的交点。

(3) 在讨论直线的位置关系时，一定要注意特殊情况，即斜率不存在时直线的位置关系。

(4) 学习时掌握两条直线平行和垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能够求出两条直线的交点。

(二)点到直线的距离
1. 点到直线的距离公式
点P (xi, yi)到直线』x + Ey + C二0的距离的计算公式：
注意：(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离。

(2) 若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用。

(3) 点到n种特殊直线的距离：
①点P(X0, y0)到x轴的距离d ；
②点P (xo, y°)至V y轴的距离，=1*1;
③点P (xo, yo)到与x轴平行的直线y-°)的距离-|^0 一』，当a= 0时，即x轴，d=IW；
④点P (x0, y0)到与y轴平行的直线y =照,0)的距离d=|^o 一句
(4) 计算步骤为：
①给出点的坐标赋值：勺二h"'；
②给出A、B、C 赋值：A = ?, B=? , C=?;
_ |女i +明
③计算：h _ .“；
④给出d的值。

2. 点到直线的距离公式的应用
求平行线间的距离，设加上+切+乌二0,如血+切+q = o (CM)。

由平行线之间的距离的定义知，在其中一条直线4上任取一点P(9, y0)，作另一条直线，的垂线，垂足为Q,则|P0就是平行线的距离，即
I pQ\_|且、0 +珈o +弓1 _ +%| _ 阡■ CJ
序后7一应克^一加庆
应用此公式要注意两点：
①把直线方程化为一般形式且使x, y系数分别相等。

如求两平行线3x-2y-\^0和6x-4y + 2二。

间的距离。

d二上坦L二三用
错解：」,：：’ ‘。

错因分析：没有把6^-4^ + 2 = 0化成一般式3x-2y+l=。

d二住土二£而
正确解答：.- ■
②两平行线间的距离与在其中一条直线上的点选择无关。