经济数学基础-计算题

三、计算题
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．
1．解 因为 T
2A I -= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100012T
1134
21201⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢
⎢⎣⎡--
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--142120311=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311
所以 B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100
311
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1103051 2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．
2．解：C BA +T
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡200210 3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1
-A ．
3．解 因为 (A I )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------100112
0101240013613⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡→100112210100701411
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→1302710210100701411⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→172010
210100141
011
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2101
00
172010031001 所以 A -1
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21017203
1
4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ．
4．解 因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12000101083021041
1100010001012411210
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001
所以 A -1
=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112
5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )
-1
．
5．解 因为AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--1412
(AB I ) =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1210011210140112
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡→⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---→121021210
112101102 所以 (AB )-1
= ⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡122121
6．设矩阵 A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1
． 6．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435
(BA I )=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡---→54201111⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡--→2521023
1
1
所以 (BA )-1
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡--252231
7．解矩阵方程⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．
7．解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡→104311
11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--→231034
1
即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2334
43321
所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12
8．解矩阵方程⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 8．解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--→13102501
即 ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211
所以，X =1
53210211-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-13250211= ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--41038 9．设线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=+b
ax x x x x x x x 321
32131
2022
讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.
9．解 因为 ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--42102220210
11201212101b a b a
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→310011102101b a
所以当1-=a
且3≠b 时，方程组无解；
当1-≠a 时，方程组有唯一解；
当1-=a
且3=b 时，方程组有无穷多解.
10．设线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+--=+0
522312321
32131
x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.
10．解 因为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201
所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.
又因为r (A ) ≠ r (
A )，所以方程组无解.
11．求下列线性方程组的一般解：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=-+0
352023024321
4321431
x x x x x x x x x x x 11．解 因为系数矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201
所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=432
4
312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）
12．求下列线性方程组的一般解：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=-+-=+-12
61423
23
252321321321x x x x x x x x x 12．解 因为增广矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101
所以一般解为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=19419
13231x x x x （其中3x 是自由未知量）
13．设齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+-=+-0
8303520
23321
321321x x x x x x x x x λ 问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.
13．解 因为系数矩阵
A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ
所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为
⎩⎨
⎧==32
3
1x x x x （其中3x 是自由未知量） 14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+=++1542131
321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.
14．解 因为增广矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111
115014121111λλA ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
⎩⎨
⎧+-=-=2
61
53231x x x x
(x 3是自由未知量〕
15．已知线性方程组
b AX =的增广矩阵经初等行变换化为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013
611λ A
问λ取何值时，方程组
b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.
15．解：当λ=3时，2)()(==A r A r ，方程组有解.
当λ=3时，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000000331010301000000331013611A
一般解为⎩⎨⎧-=-=4
323
13331x x x x x ， 其中3x ,4x 为自由未知量.
16．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1
． 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435
(BA I )=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--102411111024
0135 ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 17．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=843722310A ，I 是3阶单位矩阵，求1
)(--A I ．
解：由矩阵减法运算得
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I 利用初等行变换得
11310023701034900111
31
00011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥
→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢
⎢⎤⎦
⎥⎥⎥1131000112100011111
10233010301001111
→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦⎥⎥⎥10013201030100111
1 即
()I A -=---⎡⎣⎢⎢
⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1
1323011
11 18．设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ，求B A 1-．
解：利用初等行变换得
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10234
0011110001
1
1100322010121001011
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011
146100011110001011
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100
13501013
4001
即
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A
由矩阵乘法得
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-7641121461351341B A
19．求解线性方程组的一般解
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=++-0
2320220234321
43214321x x x x x x x x x x x x
解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----010030101031020031101231311031101231232121211231
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→010*********
一般解为
⎪⎩⎪
⎨⎧===0383
4241x x x x x (4x 是自由未知量) 20．求当λ取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧+=+++=+++-=--+1
4796
372224321
43214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的一般解． 解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---1000010511102121119102220105111021211114796371221211λλλ
所以，当1=λ
时，方程组有解，且有无穷多解，
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000001051110849
01
答案：⎩⎨⎧++-=--=432
4
3151110498x x x x x x 其中43,x x 是自由未知量．
21．求当λ取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=+-+=++-λ
4321
4321432111472421
2x x x x x x x x x x x x 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---273503735024
121114712412111
11
2λλ
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→500003735024121λ 当5=λ
时，方程组有解，且方程组的一般解为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+=--=4324
31575353565154x x x x x x 其中43,x x 为自由未知量．
22．计算⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--723016542132341421231221321
解
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--72301654274001277197723016542132341421231221321
=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---142301112155 23．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=110211321B 110111132，A ，求AB 。

解 因为B A AB =
22
12
2)
1()1(0
10211
2
32
11011
1
13232=--=-=--=+A
011
01-1-03211
10211321B ===
所以
002=⨯==B A AB
（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成
①；（2）写成②；（3）写成③；…）
24．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=01112421λA ，确定λ的值，使)(A r 最小。

解
：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡01112421
λ()()()−−→−3,2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡12011421λ()()[]
()()[]
−−−→
−-⋅+-⋅+213112⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----740410421λ()()−−−−→
−⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-⋅+4723⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---049
0410421λ
当4
9
=
λ
时，2)(=A r 达到最小值。

25．求矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=32114024713458512352A 的秩。

解： ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=321
1402471345
8512352A ()()()−−→−3,1⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----3211412352345850247
1()()[]
()()()
()()[]−−−→−-⋅+-⋅+-⋅+414213512
→⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-------36152701259036152700247
1()()[]()()[]
()()()−−−→−-⋅+-⋅+3,2334332⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---00000000001259002471
∴2)(=A r 。

26．求下列矩阵的逆矩阵：
（1）⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=111103231A
解
：
[]=
AI ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---100111010103001231()()()()()
−−−→
−-⋅+⋅+1133
12⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1013400137900012
31()()−−−→−⋅+2
32
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1013402111100012
31()()()[]−−−→−-⋅⋅+12423⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-----94310
021111000
123
1()()[]
()()−−−→−⋅+-⋅+132231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----943
1007320101885031()()−−−→−⋅+321⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡94310
0732********
1
∴⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-9437323111
A
（2）A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613． 解：[]=AI ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1001120101240013613()()[]
−−−→−-⋅+321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----10011201012403100
1→
()()[]
()()()[]
−−−→−-⋅⋅+-⋅+11213412⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----162110013412003100
1()()()
−−→
−3,2⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0134120162110031001→
()()−−−→−⋅+223⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210
100162110
03
1001
()()[]−−−→−-⋅+132⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21010017201003
1001 ∴A -1
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---210
17203
1 27．设矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．
解
：
[]=AI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121()()[]−−−→−-⋅+312⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--13
1001
21()()()[]−−−→−-⋅⋅+122
21⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--13102501 ∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-13251
A
∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-132532211
BA X = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-11
01 三、计算题 1．423lim 222-+-→x x x x 1．解 4
23lim 222-+-→x x x x =
)2)(2()
1)(2(lim 2+---→x x x x x = )
2(1
lim
2+-→x x x =
4
1
2．2
31
lim 21+--→x x x x
2．解：231
lim 21+--→x x x x =)
1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x
=2
1)
1)(2(1lim
1
-
=+-→x x x 3
．0
x →
3．解
0x →
=x →
=x
x
x x x 2sin lim )11(lim 00→→++=2⨯2 = 4
4．2343
lim sin(3)
x x x x →-+-
4．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)
lim sin(3)
x x x x →---
= 33
3
lim
lim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 2 5．2
)
1tan(lim
21-+-→x x x x
5．解 )
1)(2()
1tan(lim 2)1tan(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x
1)1tan(lim 21lim
11--⋅+=
→→x x x x x 3
1
131=⨯=
6．))
32)(1()
23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x
6．解 ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()
213()21(lim 6
25x
x x x x x --++-∞→
=23
23)2(6
5-=⨯-
7．已知y x
x x
cos 2-=，求)(x y ' ．
7．解：y '(x )=)cos 2('-x x x
=2
cos sin 2ln 2x x
x x x ---
=2
cos sin 2ln 2x x x x x
++
8．已知)(x f x x x
ln sin 2+=，求)(x f ' ．
8．解 x
x x x f x
x 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='
9．已知
x y cos 25=，求)2π
(y '；
9．解 因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5
(cos 2cos 2cos 2x x x
x x y -='='=' 所以 5ln 25ln 5
2
πsin 2)2π(2
π
cos 2-=⋅-='y 10．已知y =
3
2
ln x ，求y d ．
10．解 因为 )(ln )(ln 3231
'='-x x y 331
ln 32
)(ln 32x
x x x ==-
所以 x x
x
y
d ln 32d 3
=
11．设
x y x 5sin cos e +=，求y d ．
11．解 因为 )(cos cos 5)(sin e
4sin '+'='x x x y x
x x x x sin cos 5cos e 4sin -=
所以 x x x x y x
d )sin cos 5cos e
(d 4sin -= 12．设
x x y -+=2tan 3，求y d ．
12．解 因为 )(2ln 2)(cos 133
2'-+'='-x x x
y x
2ln 2cos 3322x x x --= 所以 x x x y x
d )2ln 2cos 3(d 3
22--= 13．已知2
sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．
13．解 )(cos )2(2sin )(2
2'-'-='x x x y x x
2cos 22ln 2sin 2x x x x --=
14．已知
x x y 53e ln -+=，求)(x y ' ．
14．解：)5(e
)(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y x
x x
x
525e ln 3--= 15．由方程2
e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．
15．解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y
0)(e 1)1ln(='++++
+'y x y x
y
x y xy xy xy y x
y
y x x e 1]e )1[ln(-+-
='++
故 ]e )1)[ln(1(e )1(xy xy
x x x y x y y +++++-='
16．由方程0e sin =+y
x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.
16．解 对方程两边同时求导，得
0e e cos ='++'y x y y y y
y
y y x y e )e (cos -='+
)(x y '=
y
y
x y e cos e +-.
17．设函数
)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求
d d =x x
y
． 17．解：方程两边对x 求导，得
y x y y y '+='e e
y
y
x y e 1e -=
'
当0=x 时，1=y
所以，
d d =x x
y
e e 01e 1
1=⨯-=
18．由方程x y x y =++
e )cos(确定y 是x 的隐函数，求y d ．
18．解 在方程等号两边对x 求导，得 )()e (])[cos('='+'+
x y x y
1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y
)sin(1)]sin(e [y x y y x y
++='+-
)
sin(e )
sin(1y x y x y y +-++=
'
故 x y x y x y y
d )
sin(e )
sin(1d +-++=
19．已知
y x x x 2cos -=，求)(x y ' ．
解： x
x x y 2sin )2(ln 22
321
+='
20．已知)(x f x x
sin 2=，求)(x f '
解：
)(x f 'x
x x x
x 21cos 2sin 2ln 2+=．
21．已知x xe x y -=2cos ，求)(x y '；
解：
)()2(sin 2x x xe e x x y +--='
22．已知
2
23sin x
e
x y -+=，求d y ．
解：
)4()(cos sin 32
22x e x x y x -+='-
d y=dx x
e x x x )4)(cos sin
3(2
22
-- 23．设 y x x
x ln 2
++=，求d y ． 解：x x x
y 1
2123+-='-
dx x
x
x
dy )121(
2
3+-=-
24．设
2
e 2sin x
x y -+=，求y d ．
解：
2
e 22cos 2x
x x y --='
x x x y x d )e 22cos 2(d 2
--=
三、计算题
⒈ ⎰x x x d 1sin
2
⒈ 解 c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1
sin
2
2．⎰x x x d 2 2．解 c x x x x
x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 2 3．⎰x x x d sin
3．解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin
4．
⎰+x x x d 1)ln (
4．解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰
+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122
=c x x x x x +--
+4
)ln 2(212
2 5．
x
x x d )e 1(e 3
ln 0
2⎰
+
5．解
x
x x d )e 1(e 3
ln 0
2⎰
+=
⎰
++3
ln 0
2)
e d(1)e 1(x x
=
3ln 0
3)e 1(3
1
x +=
3
56
6．
x
x
x d ln e 1
⎰
6．解
)(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1
e
1
e
1
e 1
x x x x x x x x
x ⎰
⎰⎰
-==
e 1
e 1
4e 2d 2e 2x
x x
-=-=⎰
e 24d 2e 2e 1
-=-=⎰
x x
7
．2
e 1
x ⎰ 7．解 x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 11
2e 1x x
++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2- 8．
x x x d 2cos 2π
⎰
8．解 x x x d 2cos 20⎰π
=202sin 21π
x x -x x d 2sin 2120⎰π
=2
2cos 41π
x =21- 9．
x x d )1ln(1
e 0
⎰
-+
9．解法一
x x x
x x x x d 1
)
1ln(d )1ln(1
e 0
1e 0
1
e 0
⎰
⎰
---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+-
-- =1
e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1
解法二 令1+=x u
，则
u u u u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e
1e
1
e
11
e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e
1=+-=-u
10．求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47
)1(=y 的特解．
10．解 因为 x
x P 1)(=，1)(2
+=x x Q
用公式
]d 1)e ([e
d 1
2
d 1
c x x y x
x x
x +⎰+⎰=⎰-
]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-
x
c
x x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4
7
12141)1(3=++=
c y ， 得 1=c 所以，特解为 x
x x y 1
243++=
11．求微分方程
0e 32
=+
'+y
y x
y
满足初始条件3)1(=-y 的特解．
11．解 将方程分离变量：
x y y x y d e d e 32
-=-
等式两端积分得 c x y +-=-
-3e 3
1
e 212 将初始条件
3)1(=-y 代入，得 c +-=---33e 31e 21，c =3e 6
1
--
所以，特解为：33e e 2e 32
--+=x y
12．求微分方程
x x y
y ln =-
'满足 11==x y 的特解. 12．解：方程两端乘以x
1
，得
x
x
x y x y ln 2=
-' 即
x
x
x y ln )(
=
' 两边求积分，得
c x
x x x x x x y +===⎰⎰2
ln )(ln d ln d ln 2 通解为： cx x
x y +=2
ln 2 由11
==x y ，得1=c
所以，满足初始条件的特解为：x x
x y +=2
ln 2 13．求微分方程y y x y ln tan =' 的通解．
13．解 将原方程分离变量
x x y
y y
d cot ln d = 两端积分得 lnln y = ln C sin x 通解为 y = e
C sin x
14．求微分方程x
x
y y x ln =
-
'的通解.
14. 解 将原方程化为：x y x y ln 1
1=
-'，它是一阶线性微分方程， x x P 1)(-=，x
x Q ln 1
)(=
用公式 ()d ()d e
[()e d ]P x x P x x y Q x x c -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1
d 1c x x
x x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x
+=⎰- ]d ln 1[c x x
x x +=⎰
)ln (ln c x x +=
15．求微分方程y x y -='2的通解．
15．解 在微分方程y x y -='2中，x x Q x P 2)(,1)(==
由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y x x x x +=+⎰⎰=⎰
⎰--
)e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰
)e 22(x
c x -+-=
16．求微分方程x x y y x sin =+'的通解．
16．解：因为x
x P 1
)(=，x x Q sin )(=，由通解公式得
)d e sin
(
e d 1d 1c x x y x
x x x +⎰⎰=
⎰-
=)d e sin (e ln ln c x x x x
+⎰- =)d sin (1c x x x x
+⎰
=)sin cos (1
c x x x x ++-
17．
⎰x x x d sin
解 ⎰⎰⎰==x x x x
x x x x d sin 2d 21sin 2d sin =c x +-cos 2
x x
d 21
=x d 18．
⎰x x x
d e
21
解：⎰⎰⎰-=--=)1
d(e )d 1(e d e 1
2121
x x x
x x x x x
c x +-=1
e )1
(d )d 1(2x x x
=-
19．⎰
+x x
x d ln 11
解：)d(ln ln 11
d 1ln 11d ln 11⎰⎰⎰
+=+=+x x x x x x x x ==++⎰
)ln d(1ln 11x x
c x ++ln 12 )1
(d )d 1(2x x x =- 20．
x x x d ln e
1
⎰
解：
e
122e 12e 1
2e
1
41
e 21d 121ln 21d ln x x x x x x x x x -=-=⎰⎰
=)1e (4
12
+（答案： 21．
x x x d ln e
1
2⎰
解：
91e 9291e 31d 131ln 31d ln 3e
133e 13e 1
3e
1
2
+=-=-=⎰⎰
x x x x x x x x x
22．
x x x d cos 2
⎰
π
解
x x x d cos 20
⎰
π
=-
20
sin πx
x =
+=
⎰
2020
cos 2
d sin π
π
π
x x x 2
π 23．4
58
6lim 224+-+-→x x x x x
3
2
142412lim )1)(4()2)(4lim 44=--=--=----→→x x x x x x x x （解：原式＝
24. x
x x 2sin 1
1lim
-+→
411
21
2122sin lim 21111lim )
1
11
2sin (lim 2sin )11)1111lim 0000=
∙=∙++=++∙=++++-+→→→→x
x x x x x x x x x x x x x （）（（解：原式＝
25．x
x x x -∞→-+)3
1(lim
e x x x
x x x x x x x 4
3
14
lim
4
3314
4
3])3
41(lim [)
3
41(lim )341(lim -∞→∙
∞→-∞
→=-+
=-+-+
∞→－－经－－－经－＝解：原式＝
26．设x x x y cos ln +=，求y d dx
x
x
x dy x
x
x x x x x x x x x y )cos sin 23(cos sin 23cos )(cos 23)cos (ln )()cos ln (21212123
-+=∴-+
='+='+'='+='解： 27. 设
x
x y 1sin
2
ln +=，求
y '.
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⨯⨯+='⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯='
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛⨯⨯+'
=
'+'='+='21
sin 1sin 1sin
1sin 1
sin 11cos 2ln 22111cos 2ln 221
1
1sin 2ln 2)2
()(ln )2(ln x x x x x x x x x
x x x y x x
x
x
x
解： 28．设)(x y y =是由方程xy
y xy x e 1322=++-确定的隐函数,求y '.
()()()()()()()
()
x
xe ye y x y y x y e
y y y x y x xy e yy y x y x e y xy x xy xy
xy
xy xy 33223320233213x 22+--=
''+='+'--'
=+'+'+-'='+'+'-'求导得：
解：方程两边对
29．设)(x y y =是由方程y
x y xy +=++e 1)cos(2确定的隐函数,求y d .
()()
()()()()
()()()()()()y
x y x y x y x y x y x xy x y xy y y y y y y x y xy y x y y xy xy y xy y xy ++++++--+=
''+=+'+'+-'
+='+'+'-'
='+'+''
='++e sin 2)sin(e 1e 02)sin(e 12)sin(e 1)cos(e 1)cos(x 22求导得：解：方程两边对
30.
x x d )
21(10
⎰+
()()()C x x d x ++⨯⨯=++⎰11
102111
121212121解：原式＝
31.()()()
C x x x x x
x ++=++=+⎰⎰-2
1
21e 52e 5d e 5d e
5e
32. ()C x x d
x x x
x +==⎰⎰
sin
2cos 2d cos
33.
()
C x x x c x x x xdx x x x xd xdx x ++=⎪⎭⎫
⎝⎛++=-==
⎰⎰⎰2cos 4
1
2sin 212cos 212sin 212sin 2sin 212sin 212cos
34.
()()()()()()2
71ln 51101ln 51101
ln 51101ln 51ln 5151ln ln 51d ln 512212e 1e 1
e
1=+-+=
+=++=+=+⎰⎰⎰e x x d x x d x x x x e
35.
e e x x x x x
x
-=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎰⎰
21
112
121
21e 1d e d e
36. 1sin 0d cos cos dcos d sin 2020
20
20
2
=+=+-=-=⎰⎰⎰
π
π
π
π
πx x x x x x x x x x
37.
()1d d ln ln d ln 1e 1
e 1
1e
1
=-=-='
-=⎰⎰⎰
e e x e x e x x x x x x x
三、计算题
1设矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T - 解 因为 T 2A I -=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100012T
113421201⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡--
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020002
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--142120311=⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311
所以 B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1103051
2设矩阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=021201A ，
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C 计C BA +T ． 解：C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡-022011⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡200210
3设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613
，求1
-A
解 因为 (A I )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1001120101240013613⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100112210100701411
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→1302710210100701411⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→172010210100141011
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210
100172010031
001⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→21010017201003
1001 所以 A -1
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210172031
4设矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵
1-A
因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12000101083021041
1100010001012411210
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→211231241121000100
01 所以 A -1
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1123124112 5设矩阵 A =⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1
解 因为AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--1412
(AB I ) =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--121001121014
0112
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→121021************ 所以 (AB )-1
= ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡122121
7解矩阵方程⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--2143
32X ．
解 因为⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--1043
0132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→104
31111
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--→23103401
即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡---2334
43
321 所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-12
8解矩阵方程⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02
115321X
解：因为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→1310012
1 ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-13
2553211 所以，X =1
53210211
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-13
250211= ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--4103810设线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+--=+0
522
312321
32131
x x x x x x x x ，求其系数矩
阵和增广矩阵的并. 解 因为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201
所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.
又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解.
11求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=-+0
352023024321
4321431x x x x x x x x x x x
解因为系数矩
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201
所以一般解为⎩⎨
⎧-=+-=4
324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 12．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=-+-=+-12
6142323252321321321x x x x x x x x x
解 因为增广矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡-----=188180949031211261423121
3252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡--→00001941019101
所以一般解为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=19419
13231x x x x （其中3x 是自由未知量）
13设齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+-=+-0
830352023321
321321x x x x x x x x x λ
问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.
13．解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61
11023
183352231λλ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ
所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 ⎩⎨
⎧==3
231x x x x （其中3x 是自由未知量）
14当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+=++1542131
321321x x x x x x x x λ 有解？并求一
解 因为增广矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111
115014121111λλA ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： ⎩⎨
⎧
+-=-=2
6153231x x x x (x 3是自由未知量〕。