初二数学下期中一模试卷附答案

一、选择题
1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A ．CD 、EF 、GH
B ．AB 、EF 、GH
C ．AB 、C
D 、GH D ．AB 、CD 、EF 2．下列计算正确的是（ ）． A ．()()22a b a b b a +-=-
B ．224x y xy +=
C ．()235a a -=-
D ．81111911+= 3．已知27n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ）.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A ．21a +
B ．21π+
C ．24b
D ．0.1y 5．已知51a =
-，62b =-，则a 与b 的大小关系是（ ）． A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无法确定 6．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，E 、F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长不变
C ．线段EF 的长逐渐减小
D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 7．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．对边相等且平行 8．如图，在平行四边形ABCD 中，D
E 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）
A ．16
B ．14
C ．20
D ．24
9．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）
A ．6
B ．43
C ．43+
D ．423+ 10．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2
等于（ ）
A ．29
B ．32
C ．36
D ．45 11．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）
A 3
B 5
C 3131-
D 5151 12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ）
A ．a b c +=
B ．::4:5:3a b c =
C ．2A B C ∠+∠=∠
D ．::5:12:13A B C ∠∠∠= 二、填空题
13．如图，直线a 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线a 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．
14．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．
15．比较大小：① 32__52；② 10- _____326-． 16．()9920020211(0.25)2232(2)(3)22
π-⨯--+--÷-⨯+-=∣∣_________ 17．若220x y -+=，则x y +=________．
18．如图，ABC 中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，2BD =，114
AC =，则边BC 的长为_______．
19．已知一个直角三角形的两边长分别是a ，b ，且a ，b 满足340a b -+-=．则斜边长是____________
20．如图所示的网格是正方形网格，点A 、B 、C 、D 均在格点上，则∠CAB +∠CBA =____°．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AC ，CE ⊥AB ，AF ⊥BC ，
（1）求证：CF =EF ；
（2）求∠EFB 的度数．
22．在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连接DE ．
（1）证明：//DE CB ；
（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形，并说明理由．
23．计算：327|29|22-+-+．
24．计算题：
（1）
()1623263-⨯-； （2）()()()2
515132+---． 25．在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在射线BC 上（不与点BC 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE ．
（1）如图1，点D 在BC 边上．
①求证：2AB BE BD =+；
②若22BE BD ==，求CD 的长．
（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB BD BE 、、之间的数量关系（直接写出结论）．
26．如图，在△ABC中，AC＝20，AD＝16，CD＝12，BC＝15，求AB的长．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，
CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，
GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度. 2．D
解析：D
【分析】
根据平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】
A.原式＝a2−b2，故A错误；
B.2x与2y不是同类项，不能合并，故B错误；
C.原式＝a6，故C错误；
D.原式＝11D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
3．B
解析：B
【分析】
27n一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定．
【详解】
27n一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定．
∵2
=⨯，
2733
∴n的最小值是3．
故选B．
【点睛】
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非
==．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
4．D
解析：D
【分析】
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可．
【详解】
A是最简二次根式，故本选项错误；
B是最简二次根式，故本选项错误；
C是最简二次根式，故本选项错误；
D=，不是最简二次根式.
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式条件，是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
a=，b=进行分母有理化，再比较即可．
将
【详解】
解：
451
4
51 515151
a，
462
62 626262
b，
∵56
<，12
<
∴5162
+<+，
∴a b<．
故选B．
【点睛】
本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．
【详解】
解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选：B．
【点睛】
主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．
7．C
解析：C
【分析】
根据矩形和菱形的性质即可得出答案．
【详解】
解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；
B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；
D ：因为矩形和菱形的对边都相等且平分，故此选项不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据角平分线的性质以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出平行四边形ABCD 的周长．
【详解】
解：∵DE 平分∠ADC ，
∴∠ADE=∠CDE ，
∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠ADE=∠CED ，
∴∠CDE=∠CED ，
∴CE=CD ，
∵在平行四边形ABCD 中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴平行四边形ABCD 的周长=6+6+4+4=20．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长
4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．
【详解】
解：连接BD ，
菱形ABCD 中，60A ∠=︒，
ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，
60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，
60EDF ∠=︒，
BDE CDF ∴∠=∠，
在BDE ∆和CDF ∆中，
DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DBE DCF ∴∆≅∆，
DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，
60EDF BDC ∴∠=∠=︒，
DEF ∴∆是等边三角形，
BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，
∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，
当DE AB ⊥时，DE 最小2
3=，
BEF ∴∆的周长最小值为423+，
故选：D ．
【点睛】
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．
10．D
解析：D
【分析】
在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．
【详解】
解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，
BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，
在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，
BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，
∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）
＝AC 2−AB 2
＝45．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，
分别两次运用勾股定理求出MC 2和MB 2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
11．C
解析：C
【分析】
分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】
解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，
在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =
-=-=， ∴BQ=CQ-BC=31-；
如图2，当Q 在BC 延长线上时，
在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =
-=-=，
∴BQ=CQ+BC=31+；
∴BQ 3131．
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；
【详解】
解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；
B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；
D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830
C ∠=︒⨯
=︒，不是直角三角形． 故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 二、填空题
13．【分析】先由正方形的性质可知再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA 再由全等三角形的性质可得；最后在在Rt △BEA 中由勾股定理得：即得本题答案【详解】解：在正方形中；∵∴；∵∴；在Rt △AFD 和Rt △BEA
【分析】
先由正方形的性质可知DA AB =，再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA ，再由全等三角形的性质可得3DF AE ==，1AF BE ==；最后在在Rt △BEA
中，由勾股定理得：
AB ==
【详解】
解：在正方形ABCD 中，AD AB =；
∵DF AF ⊥，BE AE ⊥，
∴90AFD AEB ∠=∠=︒，
90ADF DAF ∠+∠=︒；
∵90DAF BAE ∠+∠=︒，
∴ADF BAE =∠∠；
在Rt △AFD 和Rt △BEA 中，
AFD AEB ADF BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴Rt △AFD ≌Rt △BEA （AAS ），
∴3DF AE ==，1AF BE ==；
在Rt △BEA 中，由勾股定理得：
AB ===
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，三角形全等的性质与判定以及勾股定理的知识．
14．或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC的长【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴
解析：23或2
【分析】
根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形，分两种情况，画出图形，结合勾股定理求出AC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=2，
若∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=2，
∴OD=1，
∴OA=22
-=，
213
∴AC=23；
若∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=2；
故答案为：32．
【点睛】
此题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定和性质，要记住菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．
15．【分析】由实数的比较大小法则即可得到答案【详解】解：①∵∴；
②∵∴∴；故答案为：①；②【点睛】本题考查了实数比较大小的运算法则解题的关键是掌握比较大小的法则进行解题
解析：><
【分析】
由实数的比较大小法则，即可得到答案．
解：①∵3>
，
∴32>
②∵
3>3<=， ∴
3<< ∴
3<-<
故答案为：①>；②<．
【点睛】
本题考查了实数比较大小的运算法则，解题的关键是掌握比较大小的法则进行解题． 16．【分析】分别利用积的乘方逆运算绝对值的性质有理数的运算法则二次根式的性质计算各项即可求解【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查实数的混合运算掌握积的乘方逆运算绝对值的性质有理数的运算法则二次根式的性 解析：π7-
【分析】
分别利用积的乘方逆运算、绝对值的性质、有理数的运算法则、二次根式的性质计算各项，即可求解．
【详解】
解：()992002011(0.25)2232(2)22
-⨯--+--÷-⨯∣∣ ()9910011(0.25)491π35222
⎛⎫=-⨯-+--⨯-⨯+- ⎪⎝⎭ ()991(0.254)410π4532⎛⎫=-⨯⨯-+-⨯-+- ⎪⎝⎭
()14π322
55=-⨯-++- π7=-，
故答案为：π7-．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握积的乘方逆运算、绝对值的性质、有理数的运算法则、二次根式的性质是解题的关键．
17．2【分析】先根据非负数的性质得出关于xy 的方程求出xy 的值代入x+y 进行计算即可【详解】解得故答案为：2【点睛】本题考查的是非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质即几个非负数的和为0时这几个非负数
解析：2
【分析】
先根据非负数的性质得出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值，代入x+y 进行计算即可．
2
20
x y
-+=，
20
x
∴-=，0
y=，
解得2
x=，
202
x y
+=+=．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
18．【分析】延长BD到F使得DF=BD根据等腰三角形的性质与判定勾股定理即可求出答案【详解】解：延长BD到F使得DF=BD∵CD⊥BF∴△BCF是等腰三角形∴BC=CF过点C作CH∥AB交BF于点H∴∠
【分析】
延长BD到F，使得DF=BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．【详解】
解：延长BD到F，使得DF=BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H
∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，
∴HF=HC，
∵CH∥AB，
∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，
∴EH=CE，
∵EA=EB，
∴AC=BH，
∵BD=DF=2，AC=11
4
，
∴DH=BH-BD=AC-BD=3
4
，
∴HF=HC=DF-DH=2-3
4=
5
4
，
在Rt△CDH中，
∴由勾股定理可知：=1，在Rt△BCD中，
∴BC=22
+=5，
BD CD
故答案为：5．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
19．5或4【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得ab的值然后再利用勾股定理分类求出该直角三角形的斜边长即可【详解】∵满足∴a−3＝0b−4＝0解得：a＝3b＝4当ab为直角边该直角三角形的斜边长为
解析：5或4．
【分析】
根据绝对值和算术平方根具有非负性可得a、b的值，然后再利用勾股定理，分类求出该直角三角形的斜边长即可．
【详解】
∵a，b340
--=，
a b
∴a−3＝0，b−4＝0，
解得：a＝3，b＝4，
当a，b为直角边，
22
+=；
345
4也可能为斜边长．
综上所述：直角三角形的斜边长为：5或4．
故答案为：5或4．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理和绝对值和算术平方根的非负性，关键是掌握绝对值和算术平方根具有非负性，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20．45【分析】设每个小格边长为1可以算得ADCDAC的边长并求得∠ACD的
度数根据三角形外角性质即可得到∠CAB+∠CBA的值【详解】解：设每个小格边长为1则由图可知：∴∴△ADC是等腰直角三角形∴∠
解析：45
【分析】
设每个小格边长为1，可以算得AD、CD、AC的边长并求得∠ACD的度数，根据三角形外角性质即可得到∠CAB+∠CBA的值．
【详解】
解：设每个小格边长为1，则由图可知：
AD CD AC
=====
∴222
+=，
AD CD AC
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
又∠ACD=∠CAB+∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA=45°，
故答案为45．
【点睛】
本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理及三角形的外角性质是解题关键．
三、解答题
∠=︒
21．（1）证明见解析；（2）EFB45
【分析】
（1）先根据线段垂直平分线的性质及CE⊥AB得出△ACE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ACB的度数，由AB=AC，AF⊥BC，可知BF=CF，CF=EF；
（2）根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CE⊥AB，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，即F是BC的中点，
∴Rt△BCE中，EF=1
BC=CF；
2
（2）由（1）得：△ACE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ACE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=
()11804567.52
︒-︒=︒， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°，
∵CF=EF ，
∴∠CEF=∠BCE=22.5°，
∵∠EFB 是△CEF 的外角，
∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°．
【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．
22．（1）见解析；（2）AC ＝
12AB 【分析】
（1）首先连接CE ，根据直角三角形的性质可得CE ＝12
AB ＝AE ，再根据等边三角形的性质可得AD ＝CD ，然后证明△ADE ≌△CDE ，进而得到∠ADE ＝∠CDE ＝30°，再有∠DCB ＝150°可证明DE ∥CB ；
（2）当AC ＝12
AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形．根据（1）中所求得出DC ∥BE ，进而得到四边形DCBE 是平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：连结CE ．
∵点E 为Rt △ACB 的斜边AB 的中点，
∴CE ＝12
AB ＝AE ． ∵△ACD 是等边三角形，
∴AD ＝CD ．
在△ADE 与△CDE 中，
AD DC DE DE AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SSS ），
∴∠ADE ＝∠CDE ＝30°．
∵∠DCB ＝150°，
∴∠EDC +∠DCB ＝180°．
∴DE ∥CB ．
（2）当AC ＝12
AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形，
理由：∵AC＝1
2
AB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠DCB＝150°，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴DC∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
232
【分析】
先计算立方根、平方根再去绝对值，合并同类二次根式与同类项进而得出答案．
【详解】
解：原式=32322
-+
=33222
-++
2
=
【点睛】
本考查了二次根式的混合运算，熟练掌握实数的运算法则与同类二次根式合并法则是解题的关键．
24．（1）436；（2）261．
【分析】
（1）直接利用二次根式的加减乘除运算法则求出答案．
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
（1）
1 62)326
3
⨯
36
632232
3 =
63623=-- 4
36=-．
（2）2(51)(51)(32)+---
2222(5)1(3)232(2)⎡⎤=---⨯⨯+⎣⎦
51(3262)=---+
261=-．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方运算，正确化简二次根式是解题的关键． 25．（1）①见解析；②2；（2）2BD BE AB =+
【分析】
（1）①过点D 作DF CB ⊥交AB 于点F ，证明ADF EDB ≌△△得AF
EB =， 再在等
腰直角DFB △求出BF 即可得到结论；
②首先求出BC 的长，再根据CD=BC-BD 即可得到结论；
（2）过点E 作EG DB ⊥于G ，证明△ADC DEG ≅∆和△EGB 为等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）①过点D 作DF CB ⊥交AB 于点F ，如图，
则90FDB ∠=︒，
由题意可知AD DE =，90ADE ∠=︒．
∵∠ADF+∠EDF=90°，∠EDB+∠EDF=90°
∴ADF EDB ∠=∠，
∵90C ∠=︒，AC BC =，
∴45ABC DFB ∠=∠=︒，
∴DB DF =．
在ADF 和EDB △中
AD ED ADF EDB DF DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADF EDB ≌△△．
∴AF EB =．
在等腰直角DFB △中，2BF BD =， ∴2AB AF FB BE BD =+=+．
②∵22BE BD ==
∴BD=1，
∴BF=2
由①得222AB BE BD =+=+，
在等腰直角ABC 中222AB BC =
=+， ∴21BC =+， ∴2112CD BC BD =-=+-=．
（2）过点E 作EG DB ⊥于G ，如图所示，
∵90ADE ∠=︒
∴∠90EDG DEG +∠=︒，90EDG ADC ∠+∠=︒
∴∠DEG ADC =∠
∵,90AD DE ACD DGE =∠=∠=︒
∴△ADC DEG ≅∆
∴DG AC BC ==，EG DC =
∴DC BG =
∴BG GE =
∴△EGB 为等腰直角三角形，
∴222222BD DG BG AC BE AB BE =+=+
=+ ∴2BD AB BE =+
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．
26．AB＝25．
【分析】
先利用勾股定理的逆定理证得∠ADC＝90°，再利用勾股定理求出BD即可．【详解】
∵AC＝20，AD＝16，CD＝12，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝12，
∴BD9，
∴AB＝AD+BD＝25．
【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，熟记定理的计算方法是解题的关键．。