安徽省亳州市铁佛初级职业中学高三数学文月考试题含解析

安徽省亳州市铁佛初级职业中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的个数是
①“在中，若”的逆命题是真命题；
②“”是“直线和直线垂直”的充要条件；
③“三个数成等比数列”是“”的既不充分也不必要条件；
④命题“”的否定是“”
A.1
B.2
C.3
D.4
参考答案：
C
2. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）
A．升B．升C．升D．升
参考答案：
D
3. （）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
B
考点：定积分.
4. 随机从3名老年人，2名中老年和1名青年人中抽取2人参加问卷调查，则抽取的2人来自不同年龄层次的概率是（）A．B． C．D．
参考答案：
D
记名老年人，名中老年和名青年人分别为，，，，，，该随机试验的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中来自不同年龄层的有种，故古典概型的概率为．
5. 已知，则（）
A． B．
C． D．1
参考答案：
C
考点：三角恒等变换．
6. 某三棱锥的三视图如图2所示，该三棱锥的体积是为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像
A.关于点对称
B.关于直线对称
C.关于点对称
D.关于直线对称
参考答案：
D
略
8. 设的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）参考答案：
D
9. 若P为棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为______.
A. B. C. D.
参考答案：
D
10. 已知长方体中，，为的中点，则点到平面的距离为
A．1 B．C．D．2
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，给出如命题：
①是偶函数；②在上单调递减，在上单调递增；
③函数在上有3个零点；④当时，恒成立；
其中正确的命题序号是__________.
参考答案：
①④
略
12. 在无穷等比数列{a n}中，，则的取值范围是___________.
参考答案：
【分析】
由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前n项和的极限得到关于的表达式即可确定首项的范围.
【详解】等比数列的极限存在，则：且，即.
由等比数列的极限有：，
则：，
，.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等比数列前n项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13. 已知函数，是区间内任意两个实数，则事件发生的概率为___________．
参考答案：
14. 不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围
是。

参考答案：
15. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是．
参考答案：
略
16. 在体积为V的三棱锥S﹣ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥P﹣SBC的体积大于的概率是．
参考答案：
分析：
首先分析题目，将原问题等价转化为：求△PBC的面积大于S△ABC的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度，再根据几何关系求解出它们的比例即可．
解答：解：如图，由于三棱锥P﹣SBC和三棱锥S﹣PBC的体积相等，
三棱锥S﹣PBC与三棱锥S﹣ABC等高，
故在体积为V的三棱锥S﹣ABC的棱AB上任取一点P，三棱锥P﹣SBC的体积大于，
即在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于即可．
记事件A={△PBC的面积大于}，
基本事件空间是线段AB的长度，（如图）
因为S△PBC＞，则有BC?PE＞×BC?AD；
化简记得到：＞，
因为PE平行AD则由三角形的相似性＞；
所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，
因为AP=AB ，
所以△PBC 的面积大于S 的概率=
=．
故答案为：．
点评： 解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆
2
2
为_________ 参考答案：
35
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量
，
，且
．
（1）求角C 的大小；
（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且
，求边c 的长．
参考答案：
（1）
；（2）6
【详解】试题分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得
，再由已知
可得从而求得C 的值；（2）由，，成等差
数列，得，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c 边的长．
试题解析：（1）
, ，
；
（2）由
成等差数列，得
，由正弦定理得
．
，
由余弦定理
，
．
考点：等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
19. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为
，点是椭圆上的一个动点，若的
最大值为
，求椭圆的标准方程．
参考答案：
20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +2=2a n?等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且T 2=S 2=b 3? （I ）求数列{b n }的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{c n }的前2n 项和R 2n ．
参考答案：
【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．
【分析】（Ⅰ）当n=1时，n=2时，分别求出a 1=2，a 2=4，设等差数列{b n }的公差为d ，前n 项和为T n ，运用等差数列的通项公式和求和公式，求得数列{b n }的通项公式；
（Ⅱ）T n =（2+2n ）n=n （n+1），令=（﹣1）n ?=（﹣1）n ?
（1+
+
），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=2a 1﹣2， 解得a 1=2，
当n=2时，a 1+a 2=2a 2﹣2， 求得a 2=4，
设等差数列{b n }的公差为d ，前n 项和为T n ， T 2=S 2=b 3，可得b 1+b 1+d=a 1+a 2=b 1+2d=6， 解得b 1=d=2， 则b n =2n ；
（Ⅱ）T n =（2+2n ）n=n （n+1），
令
=（﹣1）n
?
=（﹣1）n ?（1+
+
），
则数列{c n }的前2n 项和
R 2n =﹣（1+1+）+（1++）﹣（1++）+…+（﹣1﹣﹣
）+（1+
+
）
=﹣1+
=﹣
．
21. （本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点， 且BC?AE=DC?AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆。

（1） 证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； （2） 若DB=BE=EA,求过B 、E 、F 、C 四点的圆
的面积与△ABC 外接圆面积的比值。

参考答案：
22. 已知函数
，
．
（1）求不等式的解集；
（2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）．
（1），即，
不等式等价于或或，
解得或，
所以的解集为．
（2）因为，使得成立，
所以，
又，所以，
当，即时，，解得，所以；当，即时，，解得，所以；当，即时，
解得或，所以或，
综上，实数的取值范围为．。