高三数学第一次段考试题理

合肥一中2014届高三理科数学第一次阶段考试卷
一．选择题：（每题5分，共50分） 1．若f (x )()
12
log 21x +，则f (x )的定义域为 ( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 2.一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是 （ ）
A. 1.5π
B. 2.5
C. 3π
D. 5
3．已知1
()ln f x x x
=-在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精确度0.1),则需要将区
间等分的次数为 ( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4.设a =13log 2, b =121log 3
, c =0.3
12⎛⎫
⎪⎝⎭,则 ( )
A.a ＜c ＜b B .b ＜c ＜a C.b ＜a ＜c D.a ＜b ＜c
5．函数3
31
x x y =-的图象大致是 ( )
6. 设集合{1,0,1,2}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是 （ ） A.10个 B.12个 C.16个 D.36个
7．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为 ( )
A ．1e
B ．2e
C ．1
D ．2e 8．设3
()()f x x x x R =+∈，当02
π
θ≤<时，()()0f msin f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（一∞，1）
B ．（一∞，0）
C ．（一∞，
1
2
） D ．（0，1） 9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()1f x -+=()1f x --，当01x ≤≤时，2
()1f x x =-，若直
线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 （ ）
A.35|22,44a a k k k Z ⎧⎫=+
+∈⎨⎬⎩⎭或 B. 13|22,44a a k k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭
或 C. 5|212,4a a k k k Z ⎧
⎫
=++∈⎨⎬⎩
⎭
或 D. {}|21,a a k k Z =+∈ 10. 设集合M =
()(){},|x y y f x =，若对于任意()1
1
,x y M ∈，存在()2
2
,x y M ∈，使得12
12x x
y y +=0
成立，则称集合M 为“和谐垂直偶点集”，给出下列四个集合： （1）M =(){}2
,|,0x y y x
x -=<； （2）M =()(){},|ln 1x y y x =-；
（3）M =
(){},|sin 1x y y x =+； （4）M =(){},|3x
x y y e =-.
其中是“和谐垂直偶点集”的序号是 （ ） A ．（1）（2） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （3）（4）
二．填空题：（每题5分，共25分）
11. 若()f x 在R 上可导，()()2
2'23f x x f x =++，则
()3
f x dx ⎰=________.
12. 已知()()2
1f x x a =++，()x
g x xe =-，若12,x x ∃R ∈，使得()()21f x g x ≤成立，则实数a 的取值
范围是________.
13. 设集合[]{}2
|2A x x x =-=，{}
|1B x x =≤，[]x 表示不超过x 的最大整数，则A
B =________.
14. 已知函数()()11,1
()ln 1,1
k x x f x x x -+≤⎧=⎨
->⎩,则当k <0时函数(())1y f f x =+有______个零点.
15.令()21n n f x x x =--+()2,n n N ≥∈，1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则下列命题正确的有________.
①103n f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭； ②()n f x 在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
一定存在唯一零点；
③若n x 是()n f x 在1,13⎛⎫
⎪⎝⎭上零点，则数列{}n x ()2,n n N ≥∈单调递减；
④若n x 是()n f x 在1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
上零点，则数列{}n x ()2,n n N ≥∈单调递增；
⑤以上③④两种情况都有可能。

三．解答题： 16．（12分）化简： （1）sin()sin()tan(2)tan()cos()cos()πααπααπαπα-++--+-+-+-；（2）
sin()sin()
()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。

17.（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. (1)用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; (2)证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2
a
成中心对称图形.
18．（12分）
设 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2
－x ＋116a )的定义域为R ；
命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切(0,)x ∈+∞恒成立；
如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．
19．（12分）
某汽车生产企业2012年度生产某品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为
5000辆。

2013年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也会相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量。

(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3240⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
20．（13分）已知函数f (x )＝x |x －2|.
(1)写出f (x )的单调区间；
(2)设a >0，求f (x )在［0，a ］上的最大值.
21．（14分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为︒45，对于任意的[1,2]t ∈，
]2
)('[)(2
3
m
x f x x x g +
+=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； （3）求证：*ln 2ln 3ln 4ln 1
(2,)234n n n N n n
⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<≥∈．。