高二数学上学期期末考试测试试题三(解析版)

高二数学上学期期末考试测试试题三
一、选择题
1．把二进制数21010化为十进制数为（ ）
A ．20
B ．12
C ．11
D ．10 【答案】D
【解析】试题分析：102021202110100
1232=⨯+⨯+⨯+⨯=，故选D ． 【考点】进制数转换．
2．已知3-2
1010C =C x x ，则x =（ ）
A ．1
B ．9
C ．1或2
D ．1或3 【答案】D
【解析】试题分析：由组合数性质r
n n r n C C -=知，当231010-=x x C C 时，23-=x x 或
)23(10--=x x ，解得1=x 或3，故选D ．
【考点】组合数性质．
3．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分
得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A ．对立事件 B ．不可能事件
C ．互斥事件但不是对立事件
D ．以上答案都不对 【答案】C
【解析】试题分析：由于“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不同时发生，但两事件不为四人取得红牌的所有事件，故事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件但不是对立事件，故选C ．
【考点】互斥事件、对立事件基本概念．
4．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A ．
3
2
B ．31
C ．1
D ．0
【答案】B
【解析】试题分析：由已知．对二项分布，随机变量ξ的数学期望300==np E ξ，
200)1(=-=p np D ξ，所以321=
-p ，即3
1
=p ，故选B ． 【考点】二项分布数学期望、方差计算公式．
5．若n x x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120 【答案】B
【解析】试题分析：二项式n
b a )(+的二项式系数之和为n 2，则由已知642=n ，所以
6=n ，则6)1()1(x x x x n +=+，其展开式通式为r r r r r r x C x
x C T 266661)1
(--+=⋅=，令
026=-r ，得3=r ，则展开式的常数项为203
6
4==C T ，故选B ． 【考点】1、二项式系数之和；2、二项式展开式通式．
【方法点睛】本题主要考查二项式定理，属于容易题．展开式中二项式系数之和为
n n n n n C C C 210=+++ ，对于展开式的项，常利用展开式的通式r r n r n r b a C T -+=1，先
写出展开式的通式，根据题目所给条件，指定项的指数，从而确定该项的系数． 6．以下四个命题:
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样 是分层抽样；
②对于两个相关随机变量x ，y 而言，点),(y x P 在其回归直线上；
③在回归直线方程122.0ˆ+=x y
中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ˆ平均增加0．2个单位；
④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1． 其中真命题为（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③ 【答案】D
【解析】试题分析：对于①，质检员相同时间间隔量抽取产品，应为系统抽样，故①是假命题；对于②，点),(y x P 为样本点中心，该点必在回归直线上，故②是真命题；对
于③，由回归方程122.0ˆ+=x y
，当1x x =，则122.0ˆ1+=x y ，当11+=x x ，则12)1(2.0ˆ1++=x y
2.122.01+=x ，可知y ˆ增加0．2个单位，故③是真命题；对于④，两个随机变量相关系数在1~1-之间，相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于
0，故④是假命题，故选D ．
【考点】1、抽样方法；2、线性相关、回归方程．
7．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840
随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】B
【解析】试题分析：将840个号码分为42组，则每组为20个号，分别为20~1，
40~21，……，840~821，故落入区间]720,481[的号码为第25到第36组，每组中
取一个号码，有12个，故选B ． 【考点】系统抽样．
8．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的
面积介于36cm 2与81cm 2
之间的概率是（ ）
A ．
61 B ．14 C ．13 D ．12
【答案】B
【解析】试题分析：当正方形面积介于236cm 与281cm 之间时，AM 应介于cm 6与cm 9之间，则点M 可在距A 点cm 3内的取点，又AB 长度为cm 12，故由几何概型可知，以AM 为边的正方形面积介于236cm 与281cm 之间的概率为
123，即4
1
，故选B ． 【考点】几何概型．
9．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 同时发生的概率是（ ） A ．
512 B ．712 C ．112 D ．34
【答案】C
【解析】试题分析：事件A 发生的概率为21，事件B 发生的概率为61
，又两事件相互独立，则两事件同时发生的概率为12
1
6121=⨯，故选C ．
【考点】相互独立事件的概率． 10．10080除以9所得余数是（ ） A ．0 B ．8 C ．－1 D ．1 【答案】D
【解析】试题分析：由题9)181(980
100100
÷-=÷，由二项式定理可知，
100010010001001008181)181(C C -=- 0100
100199100982100818181C C C +--+ ，在展开式各项中，除了010010081C 不能被9整除外，其余项均能被9整除，因为1810100100=C ，则余数为1，
故选D ．
【考点】二项式定理的应用．
11．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种 A ．150 B ．180 C ．240 D ．540 【答案】A
【解析】试题分析：每所大学至少保送1人，则5位同学分为三组，人数可能为2,2,1或
1,1,3，若分法为2,2,1，则有15222241
5
=⋅C C C 种可能，分法为1,1,3，则有102
11
1235=⋅C C C 种可能，把三组同学分到不同的三个学校，则共有分法150)1015(3
3=⋅+A ，故选A ．
【考点】排列组合的应用． 【思路点睛】由题目要求，首先应确定所分三个学校的人数，由于每所大学至少保送1人，所以人数可能为2,2,1或1,1,3，然后分情况先对人员进行分组，若人数情况为2,2,1，则可先在5人中选出一人，剩下4人取出两人分为一组，最后两人为一组，由于分组时，会出现重复（如AB 、CD 与CD 、AB 是同种分组方法），且重复一次，故分组数应
除以2，故分组数为152
22
2415
=⋅C C C ；若人数情况为1,1,3，则可先在5人中选出3人，剩下2人取出一人分为一组，最后一人为一组，同理出现重复，分组数为
102111235
=⋅C C C ，最后三组同学分到三个学校，分配方法150)1015(3
3
=⋅+A 种． 12．下图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
A ．1000N P =
B ．41000N
P = C ．1000M P = D ．41000
M
P =
【答案】D
【解析】试题分析：由题，10≤≤i x ，10≤≤i y ，则点),(i i y x 在边长为1的正方形内
（包括边界），如图，当12
2≤+i i y x 时，则点),(i i y x 在半径为1，圆心角为 90的扇形
内，则由几何概型可知点),(i i y x 落在扇形内的概率为
4
π
，由程序框图，M 记录在1000次的取点中，点落入扇形内的次数，由古典概型可知概率为1000
M ，所以10004M
≈π，
即1000
4M ≈π，故选D ．
【考点】1、程序框图；2、几何概型；3、古典概型．
【思路点睛】由题，10≤≤i x ，10≤≤i y ，则点),(i i y x 在边长为1的正方形内（包括
边界），若12
2≤+i i y x 时，则点),(i i y x 在半径为1，圆心角为 90的扇形内，由程序框
图，M 记录点),(i i y x 落在扇形内的次数，由于1001,,2,1 =i （其中1001=i 不再进入循环体），故循环体执行了1000次，故概率为1000
M
，这与由几何概型得出的概率近似相等，故1000
4
M
≈
π
．
二、填空题
13．已知随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ且(20)P X -≤≤0.4=，则(2)P X >= ．
【答案】1.0
【解析】试题分析：由已知，随机变量X 均值为0，即正态分布对称轴为0=x ，则
5.0)0(=≥X P ，又4.0)02(=≤≤-X P ，由正态分布曲线的对称性可知，
4.0)20(=≤≤X P ，所以1.0)2(=>X P ．
【考点】正态分布．
14．123
99
10101010101392733C C C C -+-+
-+=_____．
【答案】1024（或10
2）
【解析】试题分析：1
2
39
91
1
010
1
1392733C C C C -+-+
-+
=
28210191100100103)1(3)1(3)1(⋅-+⋅-+⋅-C C C 101010010
102)31(3)1(=+-=⋅-++C ，
即1024．
【考点】二项式定理．
15．下边程序是求一个函数的函数值的程序：若执行此程序的结果为3，则输入的x 值为______．
【答案】4或3-
【解析】试题分析：由程序语句，变量x 与y 满足函数关系⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤<≤-=1,110,00,x x x x x y ，若执行
此程序的结果为3，即3=y ，则当0≤x 时，3=-=x y ，解得3-=x 符合；当10≤<x ，
0=y ，不符合；当1>x ，31=-=x y ，解得4=x ，符合，综上，4=x 或3-．
【考点】算法初步（条件结构）．
【思路点睛】本题主要考查算法语句中的条件语句，满足F I 后面的条件时，则执行THEN 后面的语句，否则则执行LS E E 后面的语句，本题在条件语句中进行了两次嵌套，从而使得y 与x 之间有三种函数关系，因此解题时，需进行分情况考虑，一一进行检验．
16．某射手射击一次，击中目标的概率是9.0，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互没
有影响．给出下列结论：
①他第3次击中目标的概率是9.0； ②他恰好3次击中目标的概率是1.09.03⨯； ③他至少有一次击中目标的概率是41.01-．
其中正确结论的序号是________． 【答案】①③
【解析】试题分析：由于该射手各次射击是否击中目标相互没有影响，则不论在第几次射击中，概率都为9.0，故①正确；恰好3次击中目标的概率是1
3
3
4)9.01(9.0-⨯C ，即
13341.09.0⨯C ，故②不正确；至少有一次击中目标的概率是440041.011.09.01-=⨯-C ，
故③正确．
【考点】独立重复实验（二项分布）．
【方法点睛】本题主要考查二项分布．计算概率时，首先确认实验次数及成功概率，利
用概率公式k
n k k n n p p C k P --=)1()(计算概率．二项分布的特点是“独立性”和“重复
性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件下重复发生，满足以上几个特征方可确定为二项分布模型．
三、解答题
17．某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出 样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1 000，1 500））．
（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中按分层抽样方法
抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000）的这段应抽取多少人？ 【答案】（1）15.0；（2）2400元；（3）25人． 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图，月收入)3500,3000[的
0003.0=组距
频率
，则频率为5000003.0⨯，即15.0；（2）中位数位于样本数据的中间，从而比中位数小的个体所占频率应为5.0，依左到右分别计算各组频率，可知中位数应在第三组，即)2500,2000[内，
据此可计算中位数；（3）由（2）知月收入在)3000,2500[的频率为25.0，则频数为2500，若从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则抽取比例为
100
110000100=，所以在)3000,2500[内应抽取的人数为251001
2500=⨯人．
试题解析：解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0．0003×（3500－3000）＝0．15
（2）∵0．0002×（1500－1000）＝0．1， 0．0004×（2000－1500）＝0．2， 0．0005×（2500－2000）＝0．25 0．1＋0．2＋0．25＝0．55＞0．5 所以，样本数据的中位数为
0005
.0)
2.01.0(5.02000+-+
＝2000＋400＝2400（元）
（3）居民月收入在[2500，3000）的频数为0．25×10000＝2500（人），再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取10000
1002500⨯＝25（人） 10分
【考点】1、频率分布直方图；2、样本特征数（中位数）；3、分层抽样． 18．已知2
(1)n
x +的展开式中各项系数之和等于25
16(
5a +的展开式的常数项，而2(1)n x +的展开式的系数最大的项等于54，求x 的值．
【答案】3±．
【解析】试题分析：首先利用二项式展开式通式得出25
16(
5a 的常数项16，令1=x ，得2(1)n x +各项系数之和162=n ，得出4=n ，由于2(1)n x +展开式中项的系
数恰好为二项式系数，可知系数最大为展开式的第三项，即4
243x C T =，由已知
54424=x C ，解出x ．
试题解析：25
16(
5a +的展开式中，
5551022
1551616C C 55r r
r
r
r r r a a
---
+⎛⎫⎛⎫T =⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭（0r =，1，2，…，5），
∴51002
r
-
=，∴4r =． ∴其常数项为1
455
16C 165⎛⎫
T == ⎪⎝⎭
．
∴216n =，即4n =．
∴()
2
1n
x +系数最大的项为244C 54x =，即4654x =，
∴x = 【考点】二项式定理．
19．在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
（Ⅰ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率 （Ⅱ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； 【答案】（Ⅰ）
165；（Ⅱ）8
3
． 【解析】试题分析：（Ⅰ）甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题,则可能发生
的基本事件有16个，其中甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的事件有5个，各
事件发生的可能性一致，由古典概型得概率为
16
5；（Ⅱ）由（Ⅰ），在所有基本事件中，甲、乙两位同学所选的题目难度相同的事件有6个，则概率为166，即8
3
．
试题解析：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结
果有16个，它们是：11
4416C C ⋅= 或11(,)A A ，12(,)A A ，1(,)A B ，1(,)A C ，21(,)A A ，
22(,)A A ，2(,)A B ，2(,)A C ，1(,)B A ，2(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B ，(,)C C ． 3分
（Ⅰ）用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含基本事
件有：11
325C C += 或1(,)B A ，2(,)B A ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B ．所以
5
()16
P N =
． 7分 （Ⅱ）用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：
12426C A += 或11(,)A A ，12(,)A A ，21(,)A A ，22(,)A A ，(,)B B ，(,)C C ．
所以63
()=168
P M =
． 【考点】古典概型．
20．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，比赛得分情况记录 如下（单位：分）：
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33 乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46
（1）根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作
比较，利用茎叶图的优点写出统计结论；
（2）设甲篮球运动员10场比赛得分平均值x ，将10场比赛得分i x 依次输入如图所示的程序框图进行运
算，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义；
（3）如果从甲、乙两位运动员的10场得分中，各随机抽取一场不小于30分的得分，求甲的得分大于乙 的得分的概率． 【答案】（1）茎叶图见解析，甲运动员得分基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布较为分散；（2）27,35x S ==；（3）
5
1
． 【解析】试题分析：（1）由所给得分纪录将数据进行整理，进而画出茎叶图，可以看出甲的得分相对比较集中；（2）由程序框图中2()i S S x x =+-及10
S
S =
，其实质为计算甲运动员的得分方差，先计算平均值，再计算方差，即可输出的S 的值；（3）由两运动员的得分可知，甲运动员得分不小于30分的有37,33,32,31，乙运动员有
47,46,46,44,30，各随机抽取一个得分，则可能发生的情况有20种，其中甲的得分大
于乙的得分的情况有4种，由古典概型得概率为5
1
． 试题解析：（1）茎叶图如下：
9 5 3 1 0
2 6 7
7 3 2 1
3 0
4 4 6 6
7
结论：甲运动员得分基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近．乙运动员得分分布
较为分散． （2）2710
37
333231292523212019=+++++++++=
x ，
3510
106542246782222222222=+++++++++=S ．
S 表示10场比赛得分的方差，是描述比赛得分离散程度的量，S 值越小，表示比赛得分比较集中，S 值越大，表示比赛得分越参差不齐．
（3）记甲、乙两位运动员的得分为(,)a b ，a 表示甲运动员的得分，b 表示乙运动员的得分，则甲、乙两位运动员的10场得分中各随机抽取一场不小于30分的得分的基本事件为：(31,30)，(31,44)，(31,46)，(31,46)，(31,47)；(32,30)，(32,44)，(32,46)，
(32,46)，(32,47)；(33,30)，(33,44)，(33,46)，(33,46)，(33,47)；(37,30)，(37,44)，(37,46)，(37,46)，(37,47)；共有20种情况，其中甲的得分大于乙的得
分有：(31,30)，(32,30)，(33,30)，(37,30)，共4种情况． 从而甲的得分大于乙的得分的概率为41
205
P =
=． 【考点】1、茎叶图；2、程序框图；3、样本特征数（平均数，方差）；4、古典概型． 21．设关于x 的一元二次方程2x +2ax+b 2
=0．
（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率．
（2）若a 是从区间［0，3］中任取的一个数，b 是从区间［0，2］中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率． 【答案】（1）
43；（2）3
2
． 【解析】试题分析：（1）设方程022
2=++b ax x 有实数根为事件A ，则方程有实数根必须满足04)2(2
2≥-=∆b a ，即2
2b a ≥，据此，可列举出所有的基本事件，共12个，
其中满足条件的有9个，则概率为
129，即4
3；（2）由已知，30≤≤a ，20≤≤b ，则所有基本事件构成区域}2030|),{(≤≤≤≤b a b a ，，若方程有实数根，则b a ≥，则事
件A 构成区域}2030|),{(b a b a b a ≥≤≤≤≤，，，建立坐标系aOb ，确定两区域面积，
由几何概型求出两区域面积之比即为所求概率．
试题解析：（1）设事件A 表示0222=++b ax x ，有实数根，当a ≥0，b ≥0时，方程0222=++b ax x 有实数根的充要条件是04)2(22≥-=∆b a 得b a ≥．
基本事件有12个（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，
1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 包含有9个基本事件（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）事件A 发生的概率为P （A ）=
129=4
3 （2）实验的全部结果所构成的区域为 }2030|),{(≤≤≤≤b a b a ，
构成事件A 的区域为}2030|),{(b a b a b a ≥≤≤≤≤，，
建立坐标系aOb ，画出区域，
则所求的概率为3
2==的面积矩形的面积梯形OABE OABC P 方程有实数根的概率32=
P 【考点】1、古典概型；2、几何概型．
【方法点睛】本题主要考查中学阶段两种典型的概率模型，古典概型与几何概型，在（1）中，由于所有可能发生的基本事件有限多个，且各个基本事件发生的可能性相等，故可
列举出所有基本事件，利用基本事件的总数
包含的基本事件的个数A A P =)(计算概率；对于（2），由于所有基本事件不可数，可借助几何图形（长度、面积、体积）的比求取概率．
22．现在一淘宝店卖高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．
【答案】（1）120种；（2）分布列见解析，数学期望8
3=
ξE ． 【解析】试题分析：（1）小王在8种不同口味的口香糖中，花10元钱买三瓶，可能三
瓶口味均不一样或只有两瓶口味一样或三瓶口味都一样，则分别有组合形式38C ，
1
718C C ，18C 种，故共有120种；（2）由于8种口味的口香糖被选中的概率相等，即小王买到草莓味口香糖的概率为
8
1，且在购买的三瓶口香糖中，是否买到草莓味口香糖互不影响，可知草莓味口香糖瓶数ξ服从二项分布，其中实验次数3=n ，成功概率81=p ，由二项分布概率计算公式可列出分布列，并计算均值．
试题解析：（1）若购买的三瓶口味均不一样，有5638=C 种；若其中两瓶口味一样，有
561718=C C 种；若三瓶口味一样，有8种．所以小王共有12085656=++种选择方式．
（2）ξ的取值为0，1，2，3．由于各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为18． 故随机变量ξ服从二项分布即)8
1
,3(~B ξ 003311343(0)()(1)88512
P C ξ==-= 112311147(1)()(1)88512
P C ξ==-= 22131121(2)()(1)88512
P C ξ==-= 3303111(3)()(1)88512
P C ξ==-= 所以ξ的分布列为
其数学期望13388E np ξ==⨯
= 【考点】1、排列组合应用；2、二项分布．
【方法点睛】本题主要考查排列组合的应用及二项分布，难点是二项分布的判断，解题时需仔细辨认事件的发生应满足“独立性”和“重复性”，前后实验相互之间没有影响，事件又在相同的条件下重复发生，本题文字条件中指明“各种口味的高级口香糖均超过
3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．
”，满足以上几个特征，从而确定为二项分布模型，最后利用概率公式k n k k n n p p C k P --=)
1()(计算概率，从而列出分布列．。