高考数学二轮复习专题对点练6导数与函数的单调性极值最值201812242117

专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值
1.已知函数f (x )=ln x+
aa
a +1
(a ∈R ). (1)若函数f (x )在区间(0,4)上单调递增,求a 的取值范围; (2)若函数y=f (x )的图象与直线y=2x 相切,求a 的值.
2.已知函数f (x )=ln x+12
ax 2
-x-m (m ∈Z ).
(1)若f (x )是增函数,求a 的取值范围;
(2)若a<0,且f (x )<0恒成立,求m 的最小值.
3.设函数f (x )=a ln x+e
a (e 为自然对数的底数).
(1)当a>0时,求函数f (x )的极值;
(2)若不等式f (x )<0在区间(0,e 2
]内有解,求实数a 的取值范围.
4.已知函数f (x )=1
3x 3
-1
2ax 2
,a ∈R .
(1)当a=2时,求曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程;
(2)设函数g (x )=f (x )+(x-a )cos x-sin x ,讨论 g (x )的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
专题对点练6答案
1.解 (1)f'(x )=1
a +
a (a +1)-aa (a +1)
2
=
(a +1)2
+aa
a (a +1)
2
,
∵函数f (x )在区间(0,4)上单调递增, ∴f'(x )≥0在(0,4)上恒成立, ∴(x+1)2+ax ≥0,即a ≥-a 2+2a +1a =-(a +1
a
)-2在(0,4)上恒成立,
∵x+1
a ≥2,取等号条件为当且仅当x=1,∴a ≥-4.
(2)设切点为(x 0,y 0),则y 0=2x 0,f'(x 0)=2,y 0=ln x 0+aa 0
a 0
+1,
∴1a 0
+
a
(a 0+1)
2
=2,
① 且2x 0=ln x 0+aa 0
a
0+1.
②
由①得a=(2-1
a 0
)(a 0+1)2
,代入②得2x 0=ln x 0+(2x 0-1)(x 0+1),即ln x 0+2a 02-x 0-1=0. 令F (x )=ln x+2x 2
-x-1,
则F'(x )=1
a +4x-1=4a 2-a +1
a
.
∵4x 2-x+1=0的Δ=-15<0, ∴4x 2-x+1>0恒成立.
∴F'(x )在(0,+∞)上恒为正值, ∴F (x )在(0,+∞)上单调递增. ∵F (1)=0,∴x 0=1代入①式得a=4. 2.解 (1)f'(x )=1
a +ax-1, 依题设可得a ≥(1
a -1a 2)
max ,
而1
a −1
a 2=-(1
a -12)2
+14≤1
4,当x=2时,等号成立. 所以a 的取值范围是[14,+∞). (2)由(1)可知
f'(x )=1
a +ax-1=aa 2-a +1
a .设g (x )=ax 2-x+1,则g (0)=1>0,g (1)=a<0,
g (x )=a (a -1
2a )2
+1-1
4a 在(0,+∞)内单调递减, 因此g (x )=0在(0,1)内有唯一的解x 0,使得a a 02=x 0-1, 而且当0<x<x 0时,f'(x )>0,当x>x 0时,f'(x )<0,
所以f (x )≤f (x 0)=ln x 0+12aa 02-x 0-m=ln x 0+12(x 0-1)-x 0-m=ln x 0-12x 0-1
2-m.
设r (x )=ln x-12x-12-m ,则r'(x )=1a −12=2-a
2a >0. 所以r (x )在(0,1)内单调递增. 所以r (x )<r (1)=-1-m ,
由已知可得-1-m ≤0,所以m ≥-1, 即m 的最小值为-1.
3.解 (1)由题意,f (x )的定义域是(0,+∞),f'(x )=aa -e
a
2(x>0), 当a>0时,由f'(x )>0,解得x>e
a ,由f'(x )<0,解得0<x<e
a
,
故函数f (x )在(0,e
a )递减,在(e
a ,+∞)递增,故函数f (x )只有极小值f (e a )=a ln e
a +a ,无极大值.
(2)f (x )<0在区间(0,e 2
]内有解,即f (x )在区间(0,e 2
]的最小值小于0.
(ⅰ)当a ≤0时,f'(x )<0,则函数f (x )在区间(0,e 2
]内为减函数, 故f (x )的最小值是f (e 2)=2a+1e <0,即a<-1
2e ;
(ⅱ)当a>0时,函数f (x )在区间(0,e
a )内为减函数,在区间(e
a ,+∞)内为增函数,
①若e 2≤e
a ,即0<a ≤1
e ,函数
f (x )在区间(0,e 2]内为减函数,
由(ⅰ)知,f (x )的最小值f (e 2
)<0时,a<-12e ,与0<a ≤1
e 矛盾;
②若e 2>e a ,即a>1e ,则函数f (x )的最小值是f (e a )=a ln e
a +a ,
令f (e a )=a ln e
a
+a<0,得a>e 2.
综上,实数a 的范围是(-∞,-1
2e )∪(e 2
,+∞).
4.解 (1)由题意f'(x )=x 2
-ax ,所以当a=2时,f (3)=0,f'(x )=x 2
-2x ,所以f'(3)=3,因此曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0. (2)因为g (x )=f (x )+(x-a )cos x-sin x , 所以g'(x )
=f'(x )+cos x-(x-a )sin x-cos x =x (x-a )-(x-a )sin x =(x-a )(x-sin x ).
令h (x )=x-sin x ,则h'(x )=1-cos x ≥0,所以h (x )在R 上单调递增. 因为h (0)=0,所以当x>0时,h (x )>0;当x<0时,h (x )<0. ①当a<0时,g'(x )=(x-a )(x-sin x ),
当x ∈(-∞,a )时,x-a<0,g'(x )>0,g (x )单调递增; 当x ∈(a ,0)时,x-a>0,g'(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x )>0,g (x )单调递增.
所以当x=a 时g (x )取到极大值,极大值是g (a )=-1
6a 3
-sin a ,
当x=0时g (x )取到极小值,极小值是g (0)=-a.
②当a=0时,g'(x )=x (x-sin x ),当x ∈(-∞,+∞)时,g'(x )≥0,g (x )单调递增. 所以g (x )在(-∞,+∞)上单调递增,g (x )无极大值也无极小值. ③当a>0时,g'(x )=(x-a )(x-sin x ).
当x ∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x )>0,g (x )单调递增; 当x ∈(0,a )时,x-a<0,g'(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(a ,+∞)时,x-a>0,g'(x )>0,g (x )单调递增. 所以当x=0时g (x )取到极大值,极大值是g (0)=-a ;
当x=a 时g (x )取到极小值,极小值是g (a )=-1
6a 3
-sin a.
综上所述:当a<0时,函数g (x )在(-∞,a )和(0,+∞)上单调递增,在(a ,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g (a )=-1
6a 3
-sin a ,极小值是g (0)=-a ;
当a=0时,函数g (x )在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,函数g (x )在(-∞,0)和(a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g (0)=-a ,极小值是g (a )=-1
6a 3
-sin a.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热
血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。