云南省玉溪市玉溪一中2020学年高一数学下学期第二次月考试题 理

玉溪一中2020学年下学期高一年级第二次月考
数学试卷（理）
一．选择题（共12小题，每题5分） 1．已知集合A={x|﹣x 2
+4x ≥0}，1
{
327}81
x B =<<，C={x|x=2n ，n ∈N}，则（A ∪B ）∩C =（ ） A ．{2，4}
B ．{0，2}
C ．{0，2，4}
D ．{x |x =2n ，n ∈N }
2．若314
2
13,24a b ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
3．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（ ）
A ．y=﹣x 3
B ．y=2|x|
C ．y=x ﹣2
D ．y=log 3（﹣x ）
4．如图，在矩形ABCD 中，AB =，BC =2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD
上，若
•=，则
•的值是（ ） A ．2﹣
B ．1
C ．
D ．2
5．已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA =SB =SC =1，
AB =AC =，BC =
，则球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．3π
C ．5π
D ．6π
6．已知直线l 1：x •sinα+y ﹣1=0，直线l 2：x ﹣3y •cosα+1=0，若l 1⊥l 2，则sin 2α=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．
7．已知函数y =f （x ）的图象关于直线x =1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f （0）=0，则f （x +1）＞0的解集为（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣1，1）
C ．（﹣∞，﹣1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
8．在△ABC 中，B =
，BC 边上的高等于BC ，则sinA =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．要得到函数()cos(2)3f x x π
=-
的图象，只需将函数()sin(2)3
g x x π
=+的图象（ ）
A ．向左平移
6π
个单位长度 B ．向右平移
6
π
个单位长度 C ．向左平移12
π
个单位长度
D ．向右平移12
π
个单位长度
10．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．4
11．三棱锥A ﹣BCD 的所有棱长都相等，M ，N 别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何
的正整数n 都成立，则
1297
111a a a +++L 的值为（ ） A ．5032 B ．5044
C ．5048
D ．5050
二．填空题（共4小题，每题5分）
13．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；
②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，则n 与α相交； ④若α∩β=m ．n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β 其中正确确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上） 14．直线x-ysinα-3=0（α∈R ）的倾斜角的取值范围是 ．
15．已知不等式x 2
﹣ax +a ﹣2＞0（a ＞2）的解集为（﹣∞，x 1）∪（x 2，+∞），则x 1+x 2+12
1
x x 的最小值为 ．
16．设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 三．解答题（共6小题）
17．（10分）已知直线l 1的方程为3x +4y ﹣12=0．
（1）若直线l 2与l 1平行，且过点（﹣1，3），求直线l 2的方程；
（2）若直线l 2与l 1垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 2的方程．
18．（12分）已知向量(sin ),(cos ,cos )a x x b x x ==-r r ，函数()2
f x a b =⋅+r r ．
（1）求函数y =f （x ）的图象对称轴的方程； （2）求函数f （x ）在[0,]2
x π
∈上的最大值和最小值．
19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n 1
2
n a +=1（n ∈N ）
，数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1=
13
2
a ，而
b 2，b 5，ba 14成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设
c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．
20．（12分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，∠BAC =90°，AB = AC = AA 1=2，M ，
N 分别是A 1B 1，BC 的中点．
（Ⅰ）证明：MN ∥平面ACC 1A 1； （II ）求二面角M ﹣AN ﹣B 的余弦值．
21．（12分）已知在△ABC 中，2B =A +C ，且c =2a ． （1）求角A ，B ，C 的大小；
（2）设数列{a n }满足2cos n
n a nC =，前n 项和为S n ，若S n =20，求n 的值．
22．（12分）已知函数f （x ）=asinx -cos 2x +1（a ，b ∈R ）． （Ⅰ）当a =1，且[,]22
x ππ
∈-
时，求f （x ）的值域；
（Ⅱ）若存在实数[,]22
x ππ
∈-使得2()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．
玉溪一中2020学年下学期高一年级第二次月考
数学试卷（理）
命题人：金志文
一．选择题（共12小题，每题5分） 1．已知集合A={x|﹣x 2
+4x ≥0}，1
{
327}81
x B =<<，C={x|x=2n ，n ∈N}，则（A ∪B ）∩C =（ ） A ．{2，4}
B ．{0，2}
C ．{0，2，4}
D ．{x |x =2n ，n ∈N }
2．若3
142
13,24a b ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
3．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（ ）
A ．y=﹣x 3
B ．y=2|x|
C ．y=x ﹣2
D ．y=log 3（﹣x ）
4．如图，在矩形ABCD 中，AB =，BC =2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD
上，若
•=，则
•的值是（ ） A ．2﹣
B ．1
C ．
D ．2
5．已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA =SB =SC =1，
AB =AC =，BC =
，则球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．3π
C ．5π
D ．6π
6．已知直线l 1：x •sinα+y ﹣1=0，直线l 2：x ﹣3y •cosα+1=0，若l 1⊥l 2，则sin 2α=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．
7．已知函数y =f （x ）的图象关于直线x =1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f （0）=0，则f （x +1）＞0的解集为（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣1，1）
C ．（﹣∞，﹣1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
8．在△ABC 中，B =
，BC 边上的高等于BC ，则sinA =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．要得到函数()cos(2)3f x x π=-
的图象，只需将函数()sin(2)3
g x x π
=+的图象（ ）
A ．向左平移
6π
个单位长度 B ．向右平移6π
个单位长度
C ．向左平移12
π
个单位长度
D ．向右平移
12
π
个单位长度 10．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．4
11．三棱锥A ﹣BCD 的所有棱长都相等，M ，N 别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何的正整数n 都成立，
则
1297
111a a a +++L 的值为（ ） A ．5032
B ．5044
C ．5048
D ．5050
二．填空题（共4小题，每题5分）
13．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；
②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，则n 与α相交； ④若α∩β=m ．n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β 其中正确确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上） 14．直线x-ysinα-3=0（α∈R ）的倾斜角的取值范围是 ．
15．已知不等式x 2
﹣ax +a ﹣2＞0（a ＞2）的解集为（﹣∞，x 1）∪（x 2，+∞），则x 1+x 2+12
1
x x 的最小值为 ．
16．设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 三．解答题（共6小题）
17．（10分）已知直线l 经过直线2x +y ﹣5=0与x ﹣2y =0的交点P ． （1）点A （5，0）到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；
（2）求点A （5，0）到直线l 的距离的最大值，并求距离最大时的直线l 的方程．
18．（12分）已知向量(sin 3),(cos ,cos )a x x b x x ==-r r ，函数3
()2
f x a b =⋅+r r ．
（1）求函数y =f （x ）的图象对称轴的方程； （2）求函数f （x ）在[0,]2
x π
∈上的最大值和最小值．
19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n 1
2
n a =1（n ∈N ）
，数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1=
13
2
a ，而
b 2，b 5，ba 14成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设
c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．
20．（12分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，∠BAC =90°，AB = AC = AA 1=2，M ，N 分别是A 1B 1，BC 的中点． （Ⅰ）证明：MN ∥平面ACC 1A 1； （II ）求二面角M ﹣AN ﹣B 的余弦值．
21．（12分）已知在△ABC 中，2B =A +C ，且c =2a ． （1）求角A ，B ，C 的大小；
（2）设数列{a n }满足2cos n
n a nC =，前n 项和为S n ，若S n =20，求n 的值．
22．（12分）已知函数f （x ）=asinx -cos 2x +1（a ，b ∈R ）． （Ⅰ）当a =1，且[,]22
x ππ
∈-
时，求f （x ）的值域；
（Ⅱ）若存在实数[,]22
x ππ
∈-使得2()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．
玉溪一中高一下学期第二次月考数学（理）
一．选择题（共12小题）
1~5、C,A,B,C,C 6~10、D,B,D,D,A 11~12、D,B
二．填空题（共4小题）
13、①④；14、[45°，135°]；15、4；16、64；
三．解答题（共6小题）
17．（10分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．
（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；
（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．
【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，
∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．(5分)
（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，
令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，
故三角形面积S=•|﹣|•||=4
∴得n2=96，即n=±4
∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．(10分)
18．（12分）已知向量，函数．（1）求函数y=f（x）的图象对称轴的方程；
（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由已知
=，(4分)
对称轴的方程为，即．(6分)
（2）因为，则，(8分)
所以，(10分)
所以．(12分)
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n=1（n∈N），数列{b n}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1=，b2，b5，b14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
【解答】解：（I）S n=1（n∈N），n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=1，相减可得：a n﹣a n ﹣1=0，化为：a n=a n﹣1．
n=1时，a1+=1，解得a1=．
∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为．∴a n==2×．(3分)
数列{b n}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1==1．
∵b2，b5，b14成等比数列．∴=b2•b14，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），d≠0．解得d=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．(6分)
（Ⅱ）设c n=a n•b n=．
求数列{c n}的前n项和T n=+……+．
=+……++，
相减可得：T n=+4﹣=+4×﹣，
化为：T n=2﹣．(12分)
20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB= AC = AA1=2，M，N分别是A1B1，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN ∥平面ACC 1A 1；
（II ）求二面角M ﹣AN ﹣B 的余弦值．
【解答】解：
（I ）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，A 1D
∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴
（2分） 又∵
， ∴，∴四边形A 1DNM 是平行四边形
∴A 1D ∥MN （4分）
∵A 1D ⊂平面ACC 1A 1，MN ⊄平面ACC 1A 1
∴MN ∥平面ACC 1A 1（5分）
（II ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，
∴MH ∥BB 1
∵BB 1⊥底面ABC ，
∴MH ⊥底面ABC （7分）
在平面ABC 内，过点H 做HG ⊥AN ，垂足为G
连接MG ，∵AN ⊥HG ，AN ⊥MH ，HG ∩MH=H
∴AN ⊥平面MHG ，则AN ⊥MG
∴∠MGH 是二面角M ﹣AN ﹣B 的平面角（9分）
∵MH=BB 1=2，
由AB=AC ，∠BAN=45°，得HG=22，所以22322MG HG MH =+= 所以cos ∠MGH=
13∴二面角M ﹣AN ﹣B 的余弦值是13
（12分）
21．（12分）已知在△ABC 中，2B =A +C ，且c =2a ．
（1）求角A ，B ，C 的大小；
（2）设数列{a n }满足2cos n
n a nC =，前n 项和为S n ，若S n =20，求n 的值．
【解答】解：（1）由已知2B=A+C ，又A+B+C=π，所以
，（2分） 又由c=2a ，所以
，所以c 2=a 2+b 2， 所以△ABC 为直角三角形，，（6分）
（2）（8分） 所以
， 由． 解得2k+2=6，所以k=2，所以n=4或n=5．（12分）
22．（12分）已知函数f （x ）=asinx -cos 2x +1（a ，b ∈R ）．
（Ⅰ）当a =1，且[,]22x ππ∈-时，求f （x ）的值域； （Ⅱ）若存在实数[,]22
x ππ∈-使得2()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围． 【解答】（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=sinx ﹣cos2x+1=sinx ﹣（1﹣2sin 2x ）+1=2sin 2x+sinx
=2﹣；（3分）
时，sinx ∈[﹣1，1]，
∴sinx=﹣时，f （x ）取得最小值﹣，sinx=1时，f （x ）取得最大值3， ∴f （x ）的值域为[﹣，3]；（6分）
（Ⅱ）f （x ）=asinx ﹣cos2x+1=asinx+2sin 2x=2sin 2
x+asinx ，
设t=sinx ，则t ∈[﹣1，1]，代入原函数得y=2t 2+at ，
∵存在实数x 使得函数|f （x ）|≥a 2成立，
∴存在t ∈[﹣1，1]使得函数|2t 2+at|≥a 2成立，
∴存在t ∈[﹣1，1]使得2t 2+at ﹣a 2≥0或2t 2+at+a 2≤0成立，
①当a=0时，2t 2≥0或2t 2≤0成立，（7分）
②当a ≠0时，由于2t 2+at+a 2≤0的△=﹣7a 2＜0，不等式无解，
由2t 2+at ﹣a 2≥0得（2t ﹣a ）（t+a ）≥0，
当a＞0时，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，﹣a]∪[，+∞），由题意可得，≤1或﹣a≥﹣1，解得0＜a≤2，
当a＜0时，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，]∪[﹣a，+∞），由题意可得，﹣a≤1或≥﹣1，解得﹣2≤a＜0，
综上，实数a的取值范围是[﹣2，2]．（12分）。