2022年安徽省亳州市刘集第一中学高二数学文测试题含解析

2021-2022学年安徽省亳州市刘集第一中学高二数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是
A．30 B.31 C.32 D.33
参考答案：
B
2. 命题“若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
（）
A．个 B．个 C．个 D．个
参考答案：
C
3. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1 =3S n（n≥1），则a6=
A．3 × 44 B．3 × 45C．44D．45
参考答案：
A
略
4. 已知向量，则它们的夹角是
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 函数的图象关于原点中心对称，则()
A．有极大值和极小值B．有极大值无极小值
C．无极大值有极小值D．无极大值无极小值参考答案：
A
略
6. 若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2.又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为()
A. B. C．3 D.
参考答案：
C
∵E(X)＝x1＋x2＝.
∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×＋2×＝.
∵x1＜x2，∴，∴x1＋x2＝3.
7. 对于实数和，定义运算，运算原理如右图所示，则式子的值为
（）
A．8 B．10 C．12 D．
参考答案：
C
略
8. 如图，F 1，F 2是椭圆与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是
在第二、四象限
的公共点，若四边形
为矩形，则C 2的离心率是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝
(2
)2，∴a ＝
，∴e ＝
＝
.
考点：椭圆的几何性质．
9. 用数学归纳法证明“
”时，由n=k 的假设证
明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
参考答案：
D
【考点】数学归纳法．
【分析】当n=k+1时，右边=
，由此可得结论．
【解答】解：由所证明的等式，当n=k+1时，右边
==
故选D ．
10. 直线与在区间上截曲线（）所得弦长相等
且不为零，则下列描述正确的是（ ）
A ． B. C. D.
参考答案： D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为a ，则正三棱台的侧面积
为
．
参考答案：
a 2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】作出三棱台的直观图，还原成三棱锥，利用图中的相似及直角三角形关系求出棱台的侧棱，
再求出侧面梯形的高即可算出答案．
【解答】解：作出三棱台的直观图，还原成三棱锥如图：
取BC 中点D ，连接OD ，OB ，则BD=
=a ，∠ODB=90°，∠OBD=30°．
∴OB=2OD ∵OD 2+BD 2=OB 2 ∴OB=
∵
=
==
=
∴SO=2SO'=， ∴SB=
=，
∴B'B=
．
过B'作B'E⊥BC 于E ， 则BE=（BC ﹣B'C'）=．
∴B'E=
=a ．
即棱台侧面梯形的高为a ．
∴S 侧面积=（a+2a ）?a?3=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了棱台的结构特征，面积计算，属于基础题． 12. 已知两直线
，若
，则
；若
，则
参考答案：
或
两直线
，若
，则
，经检验符合题意；若
，则
故答案为，
13. 数列
前n 项的和为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
14. 如图，长方体
中，
，则长方体的对角线
长等于
________．
参考答案：
3
15. 已知点
在直线上，则的最小值为
参考答案：
3
16. 若椭圆的离心率是，则的值等于
参考答案：
17. 双曲线
的离心率是 ▲ .
参考答案：
【分析】
求得双曲线的a，b，c，运用离心率公式e=，计算即可得到所求值．
【详解】双曲线﹣y2=1的a=，b=1，
c==2，
可得e===．
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点A(2, 0), B(0, 6)，坐标原点O关于直线AB的对称点为D, 延长BD到P, 且|PD|=2|BD|.已知直线l:ax+10y+84-108=0经过P, 求直线l的倾斜角
参考答案：
19. （12分）假设关于某设备的使用
年限和所支出的维修费用有如下
的统计资料若由资料知对呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归方程
（2）估计使用年限为年时，维修费用大约是多少？
参考公式：
参考数据：4.4+11.4+22+32.5+42=112.3
参考答案：
（1），
那么，回归直线方程为
（2）当时，
即使用年限为年时，维修费用大约是万元。

20. 已知函数.
(1)求时，求的单调区间；
(2)讨论在定义域上的零点个数.
参考答案：
(1)在定义域是，.
当时，.
当时，，当时，由，所以单调递增区间是，单调递减区间是.
(2)∵
.
(i)当时，，在区间上单调递减，
当时，，当时，，
所以在区间上只有一个零点.
(ii)当时，恒成立，
所以在区间上没有零点.
(iii)当时，当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减，
所以当时，取极大值.
①当时，极大值，
在区间上有1个零点.
②当时，极大值，
在区间上没有零点.
③当时，极大值，
当时，，当时，，
所以在区间上有2个零点，
综上所述，当时，函数没有零点，当或时函数有1个零点；当时函数有2个零点.
21. 已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程．
【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）联立方程组可得交点P的坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
（Ⅱ）由题意和对称性可得（0，﹣2）在要求的直线上，斜率为，同（Ⅰ）可得．
【解答】解：（Ⅰ）联立方程组，解得，
∴直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点P（0，2），
又∵直线5x+3y﹣6=0的斜率为，∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣0），化为一般式可得3x﹣5y+10=0；
（Ⅱ）由题意和对称性可得直线l上的点P（0，2）关于原点的对称点（0，﹣2）在要求的直线上，
由对称可得要求的直线与l平行，故斜率也为，
∴直线l关于原点对称的直线方程为y+2=x，化为一般式可得3x﹣5y﹣10=0
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的对称性，属中档题．
22. 已知直线L过点P（2，0），斜率为相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P，M两点间的距离/PM/：
（2）M点的坐标；
（3）线段AB的长；
参考答案：
，，
略。