1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系

1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是( A )
(A)若a>0,则a>1 (B)若a≤0,则a>1
(C)若a>0,则a≤1 (D)若a≤0,则a≤1
2.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是( A )
(A)若A∪B≠A,则A∩B≠B
(B)若A∩B=B,则A∪B=A
(C)若A∩B≠B,则A∪B≠A
(D)若A∪B≠A,则A∩B=B
解析:命题“若p,则q”的否命题为“若非p,则非q”,故选A.
3.命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是( C )
(A)若α≠,则tan α≠1
(B)若α=,则tan α≠1
(C)若tan α≠1,则α≠
(D)若tan α≠1,则α=
解析:否定原命题的结论作条件,否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题,可知C正确.故选C.
4.若命题p的逆命题为q,命题q的否命题为r,则p是r的( C )
(A)逆命题(B)否命题
(C)逆否命题 (D)以上判断都不对
解析:设命题p为:若a,则b,
则命题q为:若b,则a,
命题r为:若﹁b,则﹁a,
所以p是r的逆否命题.故选C.
5.命题“若x2>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是( B )
(A)若x2>1,则-1≤x≤1
(B)若-1≤x≤1,则x2≤1
(C)若-1<x<1,则x2<1
(D)若x<-1或x>1,则x2>1
6.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( B )
(A)能被3整除的整数,一定能被6整除
(B)不能被3整除的整数,一定不能被6整除
(C)不能被6整除的整数,一定不能被3整除
(D)不能被6整除的整数,能被3整除
解析:即写命题“若一个整数能被6整除,则一定能被3整除”的逆否命题.故选B.
7.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( B )
(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
(B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
解析:原命题的条件是“f(x)是奇函数”,结论是“f(-x)是奇函数”,同时否定条件与结论,即得否命题:若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.故选B.
8.给出下列三个命题:
①“全等三角形的面积相等”的否命题;
②“若lg x2=0,则x=-1”的逆命题;
③“若x≠y或x≠-y,则|x|≠|y|”的逆否命题.
其中真命题的个数是( B )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
解析:①否命题是“不全等的三角形面积不相等”,它是假命题;②逆命题是“若x=-1,则lg x2=0”,它是真命题;③逆否命题是“若|x|=|y|,则x=y且x=-y”,它是假命题.故选B.
9.命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是.
答案:若a+1≤b,则a≤b
10.命题:“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是
.答案:若a≤b,则2a≤2b-1
11.命题“x∈R,若x2>0,则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是.
解析:命题“x∈R,若x2>0,则x>0”为假命题,故其逆否命题也为假命题;
其逆命题为“x∈R,若x>0,则x2>0”为真命题,故其否命题也为真命题.
答案:2
12.命题“对任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.
解析:原命题等价于“对任意x∈R,x2+ax+1≥0恒成立”,
所以有Δ=a2-4≤0,
解得-2≤a≤2.
答案:[-2,2]
13.写出命题“若a>b,则ac2>bc2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
解:该命题为假命题,因为当c=0时,有ac2=bc2.
逆命题:若ac2>bc2,则a>b.(真)
否命题:若a≤b,则ac2≤bc2.(真)
逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b.(假)
14.已知命题p:“若ac≥0,则二次不等式ax2+bx+c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题;
(2)判断命题p的否命题的真假.
解:(1)命题p的否命题为“若ac<0,则二次不等式ax2+bx+c>0有解”.
(2)命题p的否命题是真命题.
判断如下:因为ac<0,
所以-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根⇒ax2+bx+c>0
有解.
所以命题p的否命题是真命题.
15.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真假.
(1)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;
(2)在△ABC中,若a>b,则∠A>∠B.
解:(1)该命题为真命题.
逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互补,为真命题.
否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形,为真命题.
逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对角不互补,为真命题.
(2)该命题为真命题.
逆命题:在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b,为真命题.
否命题:在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B,为真命题.
逆否命题:在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b,为真命题.
16.命题“若函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的逆否命题是( A )
(A)若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减
函数
(B)若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
(C)若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数
(D)若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数解析:命题“若p,则q”的逆否命题为“若﹁q,则﹁p”,“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”,不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”.故选A.
17.下列有关命题的说法正确的是( C )
(A)“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
(B)“若cos β=1,则sin β=0”的逆命题是真命题
(C)“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
(D)命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
解析:A中,否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;B中,sin β=0时,cos β=±1,则逆命题为假命题,故B不正确;D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.故选C.
18.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是.
解析:由已知得,若1<x<2成立,则m-1<x<m+1也成立.因为所以1≤m≤2.
答案:[1,2]
19.下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形对角互补;
⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有;互为否命题的有;互为逆否命题的有.
解析:命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.
答案:②和④,③和⑥①和⑥,②和⑤①和③,④和⑤
20.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若命题:对于任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2]使f(x1)=g(x2)为真命题,求实数a的取值范围.
解:对于任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2]使f(x1)=g(x2),
则{f(x)|x∈[-1,2]}⊆{g(x)|x∈[-1,2]}.
又f(x)=x2-2x在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增, 所以-1≤f(x)≤3.
因为g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上单调递增,
所以-a+2≤g(x)≤2a+2,
于是有
即a≥3.
故实数a的取值范围为[3,+∞).。