高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》技巧及练习题附解析

【最新】数学《集合与常用逻辑用语》复习知识点
一、选择题
1．已知集合*4
x
M x N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x
Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N = B ．N M ⊆ C ．20x M N x
Z ⎧⎫
⋃=∈⎨⎬⎩⎭
D ．*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数， 而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
， 本题选择D 选项.
2．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．函数1
()f x x
=
在其定义域上是减函数 B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
C ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
D ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” 【答案】B 【解析】 【分析】
对于选项A ：利用反比例函数的图象与性质判断即可；
对于选项B ：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可； 对于选项C ：根据充分条件与必要条件的定义即可判断； 对于选项D ：根据原命题的否命题的定义判断即可； 【详解】
对于选项A ：由反比例函数的图象与性质知，函数1
()f x x
=在区间()(),0,0,-∞+∞上单调递减，故选项A 错误；
对于选项B ：由题意知，当x y =时，sin sin x y =显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B 正确；
对于选项C ：当1x =-时，有2560x x --=成立，反过来，当2560x x --=时，可得
6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选项C 错误；
对于选项D ：根据原命题的否命题的定义知，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若
21x ≠，则1x ≠”，故选项D 错误； 故选：B 【点睛】
本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
3．已知集合(){}2log 1,0A y y x x ==+≥，{}
0.5,1x
B y y x ==>，则A B =U （ ）
A ．()0.5,+∞
B ．[)0,+∞
C ．()0,0.5
D ．[)0,0.5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,A B ，再求并集即可. 【详解】
0x ≥Q ，11x ∴+≥，2log (1)0x ∴+≥，故{|0}A y y =≥
1111,0,|0222x
x B y y ⎛⎫⎧
⎫>∴<<∴=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭Q
1{|0}0{|0}2A B y y y y y y ⎧⎫
∴⋃=≥⋃<<=≥⎨⎬⎩
⎭
故选B 【点睛】
本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.
4．已知10
7700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a
的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()112
2
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；
由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由()12
n n n a a S +=
，()
111(1)2n n n a a S ---+=，得
11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，
②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性， 若()12
n n n a a S +=
，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，
所以当3n …
时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()
12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
7．已知集合{}2log 1A x x =>，{}
1B x x =≥，则A B =U （） A ．(]1,2 B ．()1,+∞
C ．()1,2
D ．[
)1,+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果. 【详解】
由{}{}
2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，则[
)1,A B ∞=+U ， 故选D.
【点睛】
本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.
8．设
，则
"是"
"的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当
时，
，充分性；
当，取
，验证成立，故不必要.
故选：. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
9．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设(
)*
n k k N
=∈时该命题成立，则1
n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立
【答案】C 【解析】 【分析】
写出命题“假设(
)*
n k k N
=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，
结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】
由逆否命题可知，命题“假设(
)*
n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”
的逆否命题为“假设当(
)1n k k N *
=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成
立”，
由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
10．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误. 故选：A 【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】
当0a <时，方程210ax +=，即2
1
x a
=-
，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而2
1
x a
=-
，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
12．若集合()(){}
130M x x x =+-<，集合{}
1N x x =<，则M N ⋂等于（ ）
A ．()1,3
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
13．已知集合{}
2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==
⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
∵集合{}
2log ,1A y y x x == ∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|
B x y ⎧==
⎨⎩ ∴集合1(,)2
B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂= 故选A.
14．已知命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则
11
a b
>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
【答案】B 【解析】
因为2
2
213133
1()44244
x x x x x -+=-+
+=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--
∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.
15．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
16．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
17．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(－3,1)
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)， ∴A ∩B ＝(－1,1)． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤()2
n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
22
m n m n
+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
19．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B 【解析】 【分析】
由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，
{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】
由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]
1,3R C A =， 所以()[
)1,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
20．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】
Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.。