2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十五)文科数学试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十五）
数学试题（文科）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 （满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{
}
{1,3,5,7},|28==>x
A B x ，则A B =( )
A. {1}
B. {1,3}
C. {5,7}
D. {3,5,7}
【答案】C 【解析】 【分析】
求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{1，3，5，7}， B ＝{x |2x ＞8}＝{x |x ＞3}， ∴A ∩B ＝{5，7}．
故选：C ．
【点睛】本题考查集合的基本运算，考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足(
)
i i i e z π
+⋅=，则z =（ ）
A. 1
C.
2
【答案】B 【解析】 【分析】
由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由题意(1)cos sin 1(1)(1)i i i i i i z e i
i i i i i πππ--=
=
==+++-+-+--111
222
i i -+==-，
∴2
z =
=
． 故选：B ．
【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．
3.若实数x ，y 满足约束条件240
403230x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =-的最小值是（ ）
A. 5-
B. 4-
C. 7
D. 16
【答案】B 【解析】 【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图射线BA ，线段BC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:20l x y -=，向上平移直线l 时2z x y =-减小，∴当l 过点(0,4)B 时，2z x y =-取得最小值－4． 故选：B ．
【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，注意本题中可行域不是多边形内部，而是一个开放性区域．
4.已知数列{}n a 是等差数列，若622,39==a S ，则7a =( ) A. 18 B. 17
C. 15
D. 14
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 7． 【详解】∵数列{a n }等差数列，a 2＝2，S 6＝39，
∴11265
6392a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
， 解得a 1＝﹣1，d ＝3， ∴a 7＝﹣1+6×3＝17． 故选：B ．
【点睛】本题考查数列的某项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.在平行四边形ABCD 中，若,=DE EC AE 交BD 于F 点，则AF =( )
A. 21
33AB AD + B.
21
33AB AD - C. 132
3
AB AD -
D. 12
33
AB AD +
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意知，点E 为CD 的中点，并设AF AE λ=，根据向量加法、数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出2
AF AB AD λ
λ=
+，而根据三点B ，F ，D 共线即可得出λ的值，从而用AB AD ，表示出AF ．
【详解】如图，∵DE EC =，∴E 为CD 的中点， 设11222
AF AE AB BC CD AB AD AB AB AD λ
λλλλ⎛
⎫⎛⎫==++=+-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，且B ，F ，D 三点共线， ∴
12
λ
λ+=，解得23
λ=
， ∴12
33
AF AB AD =
+． 故选：D ．
【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相等向量和相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A. 函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6
π
个单位得到 B. 函数()f x 的图象关于直线3
x π
=对称
C. 函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上是单调递增的 D. 函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1， ∵f （0）＝2sinφ＝1，且02
π
ϕ＜＜，
∴6
π=
ϕ， ∴f （x ）＝2sin （ωx 6
π+）， ∵f （
512π
）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126
k ππ
ωππ⋅
+=+，k ∈Z ， ∴2425k
ω=+，k ∈Z ，
由图象知25212
T ππω=⨯＞， ∴ω125
＜，
又∵ω＞0， ∴ω＝2，
∴f （x ）＝2sin （2x 6
π+
）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12
π
个单位得，
∴A 错， 令2x 6
2
k π
π
π+
=
+，k ∈Z ，对称轴为x 6
2
k π
π
=
+
，则B 错，
令2x ,622k k π
ππππ⎡⎤+
∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤
∈-++⎢⎥⎣⎦
，则C 错， 令2x 6
π
+
=k π，k ∈Z ，则x ＝
212
k ππ
-，则D 对， 故选：D ．
【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
7.若函数4()()2=-F x f x x 是奇函数，1()()2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
x
G x f x 为偶函数，则(1)f -=( ) A. 52
-
B. 54
-
C.
54
D.
52
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，可得f （1）+f （﹣1）＝4，及()()3
112
f f --=，两式联立即可求得f （﹣1）． 【详解】∵函数F （x ）＝f （x ）﹣2x 4是奇函数，
∴F （1）+F （﹣1）＝0，即f （1）﹣2+f （﹣1）﹣2＝0，则f （1）+f （﹣1）＝4①， ∵()()1()2
x
G x f x =+为偶函数，
∴G （1）＝G （﹣1），即()()11122f f +
=-+，则()()3
112
f f --=②， 由①②解得，()3
452124
f -
-=
=． 故选：C ．
【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f （1），f （﹣1）的方程组是解题关键，属于基础题．
8.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为+a b ，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）
①由图1和图2面积相等得ab
d a b
=
+； ②由AE AF ≥2222
a b a b
++； ③由AD AE ≥222
112a b a b
+≥
+
； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥． A. ①②③④ B. ①②④
C. ②③④
D. ①③
【答案】A 【解析】 【分析】
根据图形进行计算．
【详解】①由面积相等得()ab a b d =+，ab
d a b
=+，正确； ②在图3中，由三角形面积得22
AF a b =
+，又22ab
AE d =
=
由AE AF ≥得222ab a b a b
≥++22
22a b a b ++≥，正确； ③2212AD a b =+AD AE ≥22
122ab a b a b
+≥+22
22112a b ab a b a b
+=++，正确； ④由由AD AF ≥222212a b a b
+≥+222a b ab +≥，正确．
四个推理都正确． 故选：A ．
【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性．
9.已知函数22log ,1
()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
，则()(1)f x f x <+的解集为( )
A. (1,)-+∞
B. (1,1)-
C. 1,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
D. 1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x 的范围． 【详解】∵函数()22
1
11log x x f x x x ⎧=⎨
-≤⎩
，＞，，则f （x ）＜f （x +1）， ∴当x ≤0时，则x +1≤1，则不等式f （x ）＜f （x +1），即x 2﹣1＜（x +1）2﹣1，求得1
2
-＜x ≤0． 当0<x ≤1时，则x +1>1，则不等式f （x ）＜f （x +1）， 此时f （x ）=x 2﹣1＜0＜f （x +1）=log 2（x +1），∴0<x ≤1成立．
当x ＞1时，不等式f （x ）＜f （x +1），即 log 2x ＜log 2（x +1），求得x ＞1． 综上可得，不等式的解集为（1
2
-，+∞）， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．
10.记1F ，2F 为椭圆2
2:1x C y m
+=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=，则实数m 取值范
围是( ) A. 10,[2,)2
⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝
⎦
B. 1,1[2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭
C. 10,(1,2]2⎛⎤
⋃ ⎥⎝⎦
D. 1,1(1,2]2⎡⎫
⋃⎪⎢⎣⎭
【答案】A
【解析】 【分析】
椭圆上的点M 与焦点构成的角中，当点在短轴的顶点时角∠F 1MF 2最大，分焦点在x ，y 轴两种情况讨论可得实数m 的范围．
【详解】当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝1，m ＞1， 由对称性可知当M 为上下顶点时，∠F 1MF 2最大，
因为120MF MF ⋅=，∴∠F 1MF 22
π
≥，∠F 1MO 4
π
≥
，
所以tan ∠F 1MO 4c tan b π=
≥=1，即1
1
m -≥1，解得m ≥2； 当焦点在y 轴上时，a 2＝1，b 2＝m ，0＜m ＜1，
当M 为左右顶点时，∠F 1MF 2最大，因为120MF MF ⋅=，∠F 1MF 22
π
≥，∠F 1MO 4
π
≥
，
所以tan ∠F 1MO 4c tan b π=≥=11m m
-≥1，解得0＜m 12≤， 故选：A ．
【点睛】本题考查椭圆上的点于焦点构成的角当为短轴的顶点时角最大的性质，属于中档题．
11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着,,A B C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶.经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择,,A B C 三个项目的意向如下： 扶贫项目
A B
C
贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )
A. 3
8
B.
5
8
C.
5
16
D.
1
2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，甲乙只能选A，B项目，丁只能选A，C项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．
【详解】由题意：甲乙只能选A，B项目，丁只能选A，C项目，丙则都可以．
由题意基本事件可分以下三类：
（1）甲乙都选A，则丁只能选C，丙则可以选B，C任一个，故共有2种方法；
（2）甲乙都选B，则丁可以选A或C，丙也可选A或C，故共有11
224
C C=种方法．
（3）甲乙分别选AB之一，然后丁选A时，丙只能选B或C；丁选C时，丙则A，B，C都可以选．故有
() 211
22310
A C C
+=种方法．
故基本事件共有2+4+10＝16种．
甲乙选同一种项目的共有2+4＝6种．
故甲乙选同一项目的概率P
63 168 ==．
故选：A．
【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题，
12.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（）
A. 24π
B. (18+π
C. 21π
D. (18+π
【答案】D 【解析】 【分析】
设设圆柱高为x (0x <<
，求圆柱底面半径，从而用x 表示出圆柱体积，由导数知识求得最大值，此时
该几何体体积最小，再求其表面积即可．
【详解】设圆柱高为x (0x <<
，则圆柱底面半径为r =，
圆柱体积为223(6)(6)V r x x x x x πππ==-=-，
2
(63)V x π'=-
，由0V '=得x =舍去），
当x ∈时，0V '>，函数3
(6)V x x π=-递增，x ∈时，0V '<，函数3
(6)V x x π=-递
减，∴x =3max ]V π==，
2r ==，
圆柱体积最大时，此几何体体积最小．
22222(18S ππππ=⨯+⨯⨯=+全．
故选：D ．
【点睛】本题考查几何体的体积与表面积，考查导数在体积最值中的应用．解题关键是用圆柱的高x 表示出圆柱的体积，由圆柱体积的最大值得几何体体积的最小值．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.曲线2()=-x f x ex e （e 是自然对数的底数）在1x =处的切线方程为_______. 【答案】y ＝ex ﹣e 【解析】 【分析】
分别求出切点坐标和切点处的导数值，然后代入点斜式求切线方程． 【详解】∵f ′（x ）＝2ex ﹣e x ， ∴k ＝f ′（1）＝e ，又f （1）＝0 故切线方程为y ＝e （x ﹣1），
即y ＝ex ﹣e ． 故答案为：y ＝ex ﹣e ．
【点睛】本题考查了利用导数求切线方程的方法，要注意计算的准确性．属于基础题．
14.已知数列{}n a 的首项为11,2+-⋅=-n
n n a a ，则数列{}n a 的前10项之和等于_________.
【答案】31 【解析】 【分析】
将12n
n n a a +⋅=-中的n 换为n ﹣1，n ≥2，n ∈N *，两式相除可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比
数列，求得a 2，计算可得所求和．
【详解】数列{a n }的首项为﹣1，12n
n n a a +⋅=-，
可得a n ﹣1a n ＝﹣2n ﹣
1，n ≥2，n ∈N *，
相除可得1
1
n n a a +-=2， 可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，
由a 2＝2，可得前10项之和为（﹣1﹣2﹣4﹣8﹣16）+（2+4+8+16+32）＝32﹣1＝31． 故答案为：31．
【点睛】本题考查数列递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题．
15.已知双曲线2
2:12
x C y -=的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上的一个动
点，则BPF △周长的最小值等于____________. 【答案】
4+ 【解析】 分析】
先由双曲线的几何性质写出B 和F 的坐标，并求得|BF |的长，然后设双曲线的左焦点为E ，由双曲线的定义可知，|PF |﹣|PE |＝2a ，而△BPF 的周长为|BF |+|PF |+|PB |＝|BF |+2a +（|PE |+|PB |），求出|PE |+|PB |的最小值即可得△BPF 周长的最小值，当且仅当B 、P 、E 三点共线时，可得解．
【详解】
∵双曲线2
212
x C y -=：，∴F
)
3，，
如图所示，不妨设B 为x 轴上方的虚轴端点，则B （0，1），|BF |＝2，
设双曲线的左焦点为E ，由双曲线的定义可知，|PF |﹣|PE |＝2a 22=|PF |＝|PE |22+，
∴△BPF 的周长为|BF |+|PF |+|PB |＝|BF |+（|PE |22+）+|PB |＝222+|PE |+|PB |≥222+|BE |＝422+， 当且仅当B 、P 、E 三点共线时，等号成立． 所以△BPF 周长的最小值等于422+． 故答案为：422+．
【点睛】本题考查双曲线的定义、利用几何性质求最值，解题的关键是充分利用双曲线的定义，考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力，属于基础题．
16.已知：在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB AD AA ===，点P 是线段1B C 上的一个动点，则①1AP D P +的最小值等于__________；②直线AP 与平面11AA D D 所成角的正切值的取值范围为____________.
【答案】 (1). 17 (2). 11336⎡⎢⎣⎦
，
【解析】 【分析】
①将△AB 1C 与△D 1B 1C 以公共边B 1C 为邻边展开成一个平行四边形，其对角线AD 1的长度即为所求． ②P 点在B 1C 上移动，它在平面ADD 1上的射影H 落在A 1D 上，此时PH 是定值A 1B 1，只需研究AH 的范围即可．
【详解】长方体中，∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，点P 是线段B 1C 上的一个动点．
①由长方体的性质可知，1110AB CD ==，115AC D B ==，113B C =． 将△AB 1C 与△D 1CB 1以B 1C 为公共边展开成一平面四边形AB 1D 1C ，如图：
易证四边形AB 1D 1C 是平行四边形，所以当APD 1三点共线时，即AP +D 1P ＝AD 1时最小． 根据平行四边形对角线和四条边的性质即：(
)2
2
22
111
2AD CB AC AB +=+，
代入数据得：)
22
1132
510
AD =+，解得117AD =
∴AP +D 1P 17
②由长方体的性质可知，对角面A 1B 1CD ⊥平面ADD 1A 1，交线为A 1D ． 所以由点P 向直线A 1D 作垂线PH ，则PH ⊥平面ADD 1A 1． 连接AH ，则∠P AH 即为直线P A 与平面AA 1D 1D 所成角． 显然PH ＝AB ＝1为定值．
设Rt △A 1AD 斜边上的高为h ，则A 1D •h ＝AD •AA 1，求得h 13
=
，此时AH 最短． 结合A 1A ＝3313
AH ≤≤， 所以tan ∠P AH 1133PH AH ⎡=
∈⎢⎣⎦，． 171133⎡⎢⎣⎦
，．
【点睛】本题考查了利用展开图求空间折线长的最值问题以及线面角的求法．此题的第（2）问关键是抓住长方体的几何性质以及PH 为定值来分析．属于稍难的题．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知tan (2cos sin )cos 2sin -=-A C A A C . （1）求角B 的大小；
（2）若角B 为锐角，1,=b ABC 3
ABC 的周长. 【答案】（1）6
B π
=或56
B π
=
．（2）23． 【解析】 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1
2
sinB =．可求B 的值． （2）由B 是锐角，可求6
B π
=，利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而根据余弦定理可求a +c 的值，
进而可求三角形的周长．
【详解】（1）∵tan A （2cos C ﹣sin A ）＝cos A ﹣2sin C ， ∴2sin A cos C ﹣sin 2A ＝cos 2A ﹣2cos A sin C ．
化简得12sinAcosC cosAsinC +=，即()12
sin A C +=， ∴()12sin B π-=，即1
2
sinB =．
∴6B π=或56
B π=．
（2）∵B 是锐角， ∴6
B π
=
，
由13
24
ABC
S
acsinB =
=
，得，3ac =． 在△ABC 中，由余弦定理得22222()23b a c accosB a c ac ac =+-=+--， ∴22()1233(13)a c +=++=+， ∴13a c +=+，
∴△ABC 的周长为23+．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图（1），在矩形ABCD 中，,E F 在边CD 上，1====BC CE EF FD .沿,BE AF 将CBE △和DAF △折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，连接DC ，如图（2）.
（1）证明：//CD AB ； （2）求三棱锥D BCE -的体积. 【答案】（1）见解析；（22
【解析】 【分析】
（1）分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ．根据条件可证得平面ADF ⊥平面ABEF ，则DM ⊥平面ABEF ．同理CN ⊥平面ABEF ，从而DM ∥CN ．可得MN ∥AB ，则CD ∥AB ；
（2）根据体积关系以及线段长度关系可得V 三棱锥B ﹣DCE ＝2V 三棱锥B ﹣EFC ＝2V 三棱锥C ﹣EFB ．由（1）知，CN ⊥平面BEF ，即可得所求
【详解】（1）分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ． 由图（1）可得，△ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形且全等， ∴DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ．
∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM ⊥AF ， ∴DM ⊥平面ABEF ．
同理，CN ⊥平面ABEF ，∴DM ∥CN ．
又∵DM ＝CN ，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴CD ∥MN ． ∵M ，N 分别是AF ，BE 的中点， ∴MN ∥AB ， ∴CD ∥AB ；
（2）由图可知，V 三棱锥D ﹣BCE ＝V 三棱锥B ﹣DCE ， ∵EF ＝1，AB ＝3，∴CD ＝MN ＝2， ∴V 三棱锥B ﹣DCE ＝2V 三棱锥B ﹣EFC ＝2V 三棱锥C ﹣EFB ． 由（1）知，CN ⊥平面BEF ． ∵2CN =
，12BEF
S =
，∴2C EFB V -=三棱锥， ∴26
D BC
E V -=
三棱锥．
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直定理的应用，考查三棱锥的体积求解，属于中档题．
19.已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切. （1）求抛物线E 的标准方程；
（2）设经过点F 的直线m 交抛物线E 于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点C ，若ACF 的面积为6，求直线m 的方程.
【答案】（1）y 2＝4x ．（2）2x ±3y ﹣2＝0． 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （x 2，﹣y 2），由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1+1，|CF |＝x 2+1．设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），将其与抛物线的方程联立，消去y 可得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理；设直线m （AB ）的倾斜角为α，则tanα＝k ，且sin ∠AFC ＝|sin （π﹣2α）|＝|sin2α|＝2sinαcosα，将其转化为只含k 的代数式，再利用正弦面积公式得，1
2
ACF
S
AF CF sin AFC =
⋅⋅∠，结合韦达定理表达式，化
简整理可得4
6k
=，从而解出k 的值，进而求得直线m 的方程． 【详解】（1）由已知可得：圆心（4，4）到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点（4，4）在抛物线E 上，
∴16＝8p ，解得p ＝2．
∴抛物线E 的标准方程为y 2＝4x ．
（2）由已知可得，直线m 斜率存在，否则点C 与点A 重合． 设直线m 的斜率为k （k ≠0），则直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
联立()
2
41y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0．
∴1224
2x x k
+=+
，x 1x 2＝1． 由对称性可知，C （x 2，﹣y 2），∴|AF |＝x 1+1，|CF |＝x 2+1． 设直线m （AB ）的倾斜角为α，则tanα＝k ， ∴()22222222221
1
sin cos tan k sin AFC sin sin sin cos sin cos tan k αααπαααααα
α∠=-===
=
=
+++，
∴()()()121212214
11212
1AFC
k S
x x sin x x x x k k α⎡⎤=++=+++⋅=⎣⎦+． 由已知可得4
6k =，解得23
k =±． ∴直线m 的方程为()2
13
y x =±
-，即2x ±3y ﹣2＝0． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的定义、曲直联立、正弦面积公式等，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题．
20.随着运动app 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共500人）的走路步数，并整理成下表：
（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；
（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；
（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？
附：2
2
(
)()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++.
【答案】（1）8.432；（2）0.6216；（3）见解析. 【解析】 【分析】
（1）由数据和平均值的计算公式可得答案，（2）由频率估计概率可得答案，（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【详解】（1）由题意可得这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为：
()1
2606240101001460182022183028.432500
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8.432步． （2）由频率约等概率可得：()10.432602401000.62165004p A ⎛⎫
=
++⨯= ⎪⎝⎭
，
所以事件A 的概率约为0.6216．
（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表如下：
()
()()()()
()
2
2
250022500750031.2510.828200300300200
n ad bc K a b c d a c b d --=
=
=++++⨯⨯⨯＞，
∴有99.9%以上的
把握认为，健步达人与年龄有关．
【点睛】本题考查独立性检验，平均值的计算，统计概率的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．
21.已知函数()sin x f x e x =.（e 是自然对数的底数） （1）求()f x 的单调递减区间；
（2）若函数()()2g x f x x =-，证明()g x 在(0,)π上只有两个零点.（参考数据：2 4.8e π
≈） 【答案】（1）372244k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，（k ∈Z ）．（2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）由f '（x ）＜0得04sin x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
＜，利用正弦函数的单调性质可得f （x ）的单调递减区间； （2）依题意可得g '（x ）＝e x （sin x +cos x ）﹣2，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点，从而可证得结论成立． 【详解】（1）f （x ）＝e x sin x ，定义域为R .()()'4x
x f x e
sinx cosx sin x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭．
由f '（x ）＜0得04sin x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭＜，解得372244
k x k ππ
ππ++＜＜（k ∈Z ）．
∴f （x ）的单调递减区间为372244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，（k ∈Z ）． （2）∵g '（x ）＝e x （sin x +cos x ）﹣2，∴g ''（x ）＝2e x cos x ．
∵x ∈（0，π），∴当02x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g ''（x ）＞0；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，g ''（x ）＜0． ∴g '（x ）在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递增，在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减， 又∵g '（0）＝1﹣2＜0，2'202g e π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
＞，g '（π）＝﹣e π﹣2＜0， ∴g '（x ）在（0，π）上图象大致如右图．
∴102x π⎛
⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，使得g '（x 1）＝0，g '（x 2）＝0， 且当x ∈（0，x 1）或x ∈（x 2，π）时，g '（x ）＜0；当x ∈（x 1，x 2）时，g '（x ）＞0．
∴g （x ）在（0，x 1）和（x 2，π）上单调递减，在（x 1，x 2）上单调递增．
∵g （0）＝0，∴g （x 1）＜0．
∵202g e π
ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
＞，∴g （x 2）＞0， 又∵g （π）＝﹣2π＜0，由零点存在性定理得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点， ∴函数g （x ）在（0，π）上有两个零点．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，考查推理证明及综合运算能力，该题属于难题． 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩
（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，()2,0M ，求MP MQ +的值．
【答案】（1）221259x y +=
．0y +-=．（2
【解析】
【分析】
（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消去参数可得曲线C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩可得直线l 的直角坐标方程； （2）写出直线l 以M
为起点的标准参数方程122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，由利用参
数的几何意义，由韦达定理及弦长公式可得弦长．
【详解】（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩
消去参数ϕ得， 曲线C 的普通方程为22
1259
x y +=．
∵πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
cos sin 0θρθ+-=， ∴直线l
0y +-=．
（2）设直线l
的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1267t t +=
，129t t =-． ∵M 点在直线l 上，
∴127
MP MQ t t +=-===． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线标准参数方程的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题．
选修4-5：不等式选讲
23.已知不等式135x x m -+-<的解集为3,2n ⎛⎫
⎪⎝⎭
． （1）求n 的值；
（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：2222222b c c a a b a b c +++++≥． 【答案】（1）74
n =
（2）见解析 【解析】
【分析】 （1）根据不等式的解集与方程根的关系求出m ，然后解绝对值不等式得n ． （2）首先利用基本不等式得222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c
+++++≥++，通分后，再凑配成()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤+++++⎣
⎦，再利用基本不等式可得． 【详解】（1）由题意知，32
为方程135x x m -+-=的根， ∴391522
m -+-=，解得1m =． 由1351x x -+-<
1x <时，1531x x -+-<，54
x >
，x ∈∅， 513
x ≤≤时，1531x x -+-<，32x >，∴3523x <≤， 53x >时，1351x x -+-<，74x <，∴5734x <<， 综上不等式解为3724x <<，∴74n =． （2）由（1）知1a b c ++=，
∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c
+++++≥++． ()2222222a b b c c a abc
=
++ ()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤=+++++⎣
⎦， ()()222122222abc ab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴222222
2b c c a a b a b c
+++++≥成立． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．考查推理能力与运算求解能力．证明不等式时应用基本不等式不需要考虑等号成立的条件，即使等号取不到，不等式仍然成立．。