2019最新高中数学 第二章参数方程与普通方程的互化高效演练 新人教A版必备4-4

第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
A 级 基础巩固
一、选择题
1．方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，
y ＝sin 2θ(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )
A ．(1，1) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，32 D.⎝
⎛⎭⎪⎫2＋3
2
，－12
解析：当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，32在方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin θ(θ为参数)
所表示的曲线上．
答案：C
2．曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2
，
y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，0)
D ．(±2，0)
解析：设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2
，得x ＝2， 所以曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2，0)． 答案：C
3．由方程x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，
y ＝t
(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，
y ＝t
(t 为参数) C.⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－t (t 为参数) D.⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－t (t 为参数) 解析：设(x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0得： (x －2t )2
＋(y －t )2
＝4＋2t 2
.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t
(t 为参数)
答案：A
4．参数方程⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝2＋sin 2
θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )
A ．2x －y ＋4＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]
D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]
解析：由x ＝2＋sin 2
θ，则x ∈[2，3]，sin 2
θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2
θ＝－2sin 2
θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0.
故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]． 答案：D
5．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ
(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2
＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010
的点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ得(x －2)2＋(y ＋1)2
＝9.
曲线C 表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝
710＝
710
10
＜3， 所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010
，故满足题意的点有2个．
答案：B 二、填空题
6．若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2
＋(y ＋1)2
＝1的参数方程为______________． 解析：把x ＝cos θ代入曲线x 2
＋(y ＋1)2＝1， 得cos 2
θ＋(y ＋1)2
＝1，
于是(y ＋1)2
＝1－cos 2
θ＝sin 2
θ，即y ＝－1±sin θ. 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ，
因此，曲线x 2
＋(y ＋1)2
＝1的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)． 答案：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ(θ为参数)
7．在平面直角坐标系中，曲线
C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2
2t ，y ＝1＋2
2
t (t
为参数)的普通方程为
________________．
解析：因为x ＝2＋
22t ，所以22t ＝x －2，代入y ＝1＋2
2
t ， 得y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0
8．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝3＋3cos θ，
y ＝1＋3sin θ
(θ为参数)，
以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．
解析：圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，
y ＝1＋3sin θ
圆心为(3，1)，半径为3，直线的普通
方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2
－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2
＝
232
－12
＝4 2.
答案：42 三、解答题
9．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －
1
t
，y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．
解：由x ＝t －
1
t
两边平方得x 2
＝t ＋1t
－2，
又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6)． 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2
＝y 3－2，
所以3x 2
－y ＋6＝0(y ≥6)．
故曲线C 的普通方程为3x 2
－y ＋6＝0(y ≥6)．
10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．
解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得
x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.
所以点P 的轨迹的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2
θ，y ＝2a tan θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.
B 级 能力提升
1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2，3)
B ．(1，5) C.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
D ．(2，0)
解析：先将P (2cos θ，3sin θ)化为方程为x 24＋y 2
9＝1，再将选项代进去，可得到的是
(2，0)．
答案：D
2．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨
⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α
(α为参数)，以直角坐标系的原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是__________________．
解析：曲线C 的普通方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝5，即x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0，把ρ2
＝x 2
＋
y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，
即ρ＝2cos θ＋4sin θ. 答案：ρ＝2cos θ＋4sin θ
3．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3
5
t ，y ＝1＋4
5t (t 为参数)．以直角坐
标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)若P (x ，y )在直线l 上，且在曲线C 内，求x －y 的取值范围； (3)若Q (x ，y )在曲线C 上，求Q 到直线l 的最大距离d max .
解：(1)因为ρ＝2sin θ， 所以ρ2
＝2ρsin θ， 所以x 2
＋y 2＝2y ， 即x 2
＋(y －1)2
＝1，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋(y －1)2
＝1. (2)因为x －y ＝35t －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45t ＝－1
5t －1，
又－1＜t ＜1. 所以－15＜－15t ＜1
5，
所以－65＜－15t －1＜－45，
即x －y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－6
5
，－45.
(3)曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，
y ＝1＋sin θ(θ为参数)，
直线l 的普通方程为4x －3y ＋3＝0，
d ＝
|4cos θ－3sin θ|5＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝43
，
所以d max ＝1.。