课时规范练 二项分布、超几何分布、正态分布--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
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分布N(10,σ2),则正态曲线的对称轴为直线x=10,故B正确;对于C,结合正态
曲线可知x=10.01与x=9.99关于对称轴(直线x=10)对称,故C正确;对于D,结
合正态曲线可知,区间(9.9,10.2)与(10,10.3)不关于对称轴(直线x=10)对称,
故D错误.故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8
育活动,增强学生的法律意识,提高自身保护能力,在全市中小学生范围内,
组织了一次法律常识知识竞赛(满分100分),现从所有参赛学生的竞赛成绩
中随机抽取200份,经统计,这200份成绩全部介于[30,100]之间,将数据按照
[30,40),[40,50),…,[90,100]分成七组,得到如下频数分布表:
出现了1个内径不在(μ-3σ,μ+3σ]内的零件,所以小概率事件出现了,根据3σ
原则,这台设备需要进一步调试.
1 2 3 4 5 6 7 8
8.(2024·四川宜宾模拟)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育
节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘
制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,将日均收看该体育
B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率
相等
1 2 3 4 5 6 7 8
解析 对于A,σ越小,代表正态曲线越陡,故A正确;对于B,测量结果服从正态
5 组数据的频率之和为
=0.83,故
200
位数位于第 5 组内,设 80%分位数为 x,则 x=70+10×
0.8-0.62
0.83-0.62
≈78.6.
则该市竞赛成绩的平均分和 80%分位数分别约为 67.3 和 78.6.
1 2 3 4 5 6 7 8
80%分
74+42+23+11
(2)抽到 60 分及以上的学生的概率为
5
C26 C12
,P(Y=1)= 3
14
C8
=
30
56
=
15
C16 C22
,P(Y=2)= 3
28
C8
故 Y 的分布列为
Y
P
1 2 3 4 5 6 7 8
1
=2 人,不是
4
0
1
5
14
2
15
28
3
28
=
6
56
=
3
.
28
则 Y 的期望
15
3
3
15
3
27
2
EY=18 ×1+28 ×2=4,E(Y )=28 ×1+28 ×4=28,
10
1
= ×(82+82+72+32+02+22+32+42+82+92)=36,故
10
2
σ= 36=6.
(2)由题意得X~N(200,36),P(200-18<X≤200+18)≈0.997 4,即
P(182<X≤218)≈0.997 4,所以五个零件的内径中恰有1个不在(μ-3σ,μ+3σ]
内的概率为 C51(0.997 4)4×(1-0.997 4)≈0.012 87,由题知试生产的5个零件中
1
概率为4.由题意知
∴P(X=0)=C30
P(X=3)=C33
X 的可能取值为 0,1,2,3.
3 3 27
×( ) = ;P(X=1)=C31
4
64
1 3 1
×( ) = .
4
64
∴X的分布列为
1 2 3 4 5 6 7 8
×
1
3 2 27
×( ) = ;P(X=2)=C32
4
4
64
1 2 3
×( ) ×
机抽取3名学生进行座谈,设抽到60分及以上的学生人数为X,求X的分布列
和数学期望.
1 2 3 4 5 6 7 8
解 (1)平均分=
35×6+45×14+55×30+65×74+75×42+85×23+95×11
200
6+14+30+74
为
=0.62,前
200
≈67.3,前 4 组数据的频率之和
6+14+30+74+42
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 4,0.997 44≈0.99.
1 2 3 4 5 6 7 8
解
σ
1
(1)μ= ×(192+192+193+197+200+202+203+204+208+209)=200,
竞赛成绩/分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数
6
14
30
74
42
23
11
(1)试估计该市竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)和80%分位数(保留一位小数);
(2)以样本频率值作为概率的估计值,若从该市所有参与竞赛的学生中,随
4
4
=
9
;
64
X
P
则期望
0
1
27
64
2
27
64
27
9
1
3
EX= ×1+ ×2+ ×3= .
64
64
64
4
1 2 3 4 5 6 7 8
3
9
64
1
64
(2)根据分层随机抽样原则知,抽取的 8 人中,是“体育迷”的有 8×
“体育迷”的有 8×
C36
P(Y=0)=
C38
=
20
56
3
=6
人,则
4
=
Y 所有可能的取值为 0,1,2.
件厚度小于14 mm的个数的方差为
32
.
解析 依题意,得P(L<14)=P(L>18)=0.5-P(16<L<18)=0.2,
若从A类零件中随机选取200个,则零件厚度小于14 mm的个数服从
X~B(200,0.2),
所以DX=200×0.2×(1-0.2)=32.
1 2 3 4 5 6 7 8
6.(2024·云南红河模拟)某市教育行政部门为开展普及法律常识的宣传教
对于 D,D(3Y)=9DY=9×3×
故选 AC.
1 2 3 4 5 6 7 8
2
×
3
2
(1-3)=6,选项
D 错误.
2
p= ,选项
3
C 正确;
5.(2024·黑龙江实验中学模拟)设某车间的A类零件的厚度L(单位:mm)服从
正态分布N(16,σ2),且P(16<L<18)=0.3.若从A类零件中随机选取200个,则零
故 DY=E(Y )-E
2
27
9
(Y)= −
28
16
2
1 2 3 4 5 6 7 8
=
45
.
112
本 课 结 束
学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是( C )
72
A.625
108
B.625
144
C.625
216
D.625
解析 每次抽奖中,总情况数为C53 =10 种,获奖的共有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),
2
(3,4,5)这 4 种,所以从袋中一次性摸出三个球,获奖的概率为5.设 5 人中获奖
35
C15
=
1
.
35
所以ξ的分布列为
ξ
0
P
于是 Eξ=0×
22
12
1
+1× 35+2× 35
35
1 2 3 4 5 6 7 8
1
22
35
=
2
,故
5
2
12
35
1
35
E(5ξ+1)=5Eξ+1=5×
2
+1=3.
5
4.(多选题)(2024·广东茂名模拟)随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变
200
0,1,2,3,且
则
=
3
,由题意,X 的可能取值为
4
3
X~B(3, ),
4
3 3 1
3 2 9
3 1 27
0
1 3 1
2 3 2
P(X=0)=C3 (1-4) =64,P(X=1)=C3 (4) (1-4) =64,P(X=2)=C3 (4) (1-4) =64,
3 3 3 27
P(X=3)=C3 (4) =64,
节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将调查所得到的频率视为概
率.
1 2 3 4 5 6 7 8
(1)现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽
取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相
互独立的,求X的分布列及期望;
(2)用分层随机抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A,则样本A
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
课时规范练82
二项分布、超几何分布、正态分布
基础
巩固练
1.(2024·江苏盐城模拟)元宵节是中国非常重要的传统节日,某班级准备举
行“元宵福气到”抽奖活动.福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小
球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖.若有5名同
所以X的分布列为
X
0
P
3
4
所以 EX=3× =
9
或
4
1 2 3 4 5 6 7 8
EX=0×
1
1
64
2
9
64
3
27
64
1
9
27
27
+1×
+2×
+3×
64
64
64
64
27
64
=
9Байду номын сангаас
.
4
7.(2024·河南南阳模拟)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个,测量其
内径的数据如下(单位:mm):192,192,193,197,200,202,203,204,208,209.设这
3.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,
设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=( C )
A.2
B.1
C.3
D.4
解析 ξ的可能取值为0,1,2.
C313
P(ξ=0)=
C315
=
22
C12 C213
,P(ξ=1)= 3
35
C15
=
12
C22 C113
,P(ξ=2)= 3
2
3 2 3 3 2 144
人数为 X,则 X~B(5,5),所以 P(X=3)=C5 (5) (5) =625.
1 2 3 4 5 6 7 8
2.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结
论中不正确的是( D )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A中的这8名观众中随机抽取
3名,记Y表示抽取的是“体育迷”的人数,求Y的分布列及方差.
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解
1
(1)抽到的观众为“体育迷”的频率为(0.02+0.005)×10=0.25= ,用频率估计
4
概率,可知从该地区大量电视观众中,随机抽取 1 名观众,该观众是“体育迷”的
10个数据的均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ和σ;
(2)已知这批零件的内径X(单位:mm)服从正态分布N(μ,σ2),若该车间又新购
入一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:mm)分别
为:181,190,198,204,213,如果你是该车间的负责人,以原设备生产性能为标
准,试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试?并说明你的理由.
量Y~B(3,p),若EY=EX,则(AC )
A.μ=2
B.DX=2σ2
C.p=
D.D(3Y)=2
2
3
解析 对于A,B,因为X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,
所以μ=2,故EX=μ=2,DX=σ2,选项A正确,选项B错误;
对于 C,因为 Y~B(3,p),所以 EY=3p=EX,所以 3p=2,解得
曲线可知x=10.01与x=9.99关于对称轴(直线x=10)对称,故C正确;对于D,结
合正态曲线可知,区间(9.9,10.2)与(10,10.3)不关于对称轴(直线x=10)对称,
故D错误.故选D.
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育活动,增强学生的法律意识,提高自身保护能力,在全市中小学生范围内,
组织了一次法律常识知识竞赛(满分100分),现从所有参赛学生的竞赛成绩
中随机抽取200份,经统计,这200份成绩全部介于[30,100]之间,将数据按照
[30,40),[40,50),…,[90,100]分成七组,得到如下频数分布表:
出现了1个内径不在(μ-3σ,μ+3σ]内的零件,所以小概率事件出现了,根据3σ
原则,这台设备需要进一步调试.
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8.(2024·四川宜宾模拟)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育
节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘
制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,将日均收看该体育
B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率
相等
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解析 对于A,σ越小,代表正态曲线越陡,故A正确;对于B,测量结果服从正态
5 组数据的频率之和为
=0.83,故
200
位数位于第 5 组内,设 80%分位数为 x,则 x=70+10×
0.8-0.62
0.83-0.62
≈78.6.
则该市竞赛成绩的平均分和 80%分位数分别约为 67.3 和 78.6.
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80%分
74+42+23+11
(2)抽到 60 分及以上的学生的概率为
5
C26 C12
,P(Y=1)= 3
14
C8
=
30
56
=
15
C16 C22
,P(Y=2)= 3
28
C8
故 Y 的分布列为
Y
P
1 2 3 4 5 6 7 8
1
=2 人,不是
4
0
1
5
14
2
15
28
3
28
=
6
56
=
3
.
28
则 Y 的期望
15
3
3
15
3
27
2
EY=18 ×1+28 ×2=4,E(Y )=28 ×1+28 ×4=28,
10
1
= ×(82+82+72+32+02+22+32+42+82+92)=36,故
10
2
σ= 36=6.
(2)由题意得X~N(200,36),P(200-18<X≤200+18)≈0.997 4,即
P(182<X≤218)≈0.997 4,所以五个零件的内径中恰有1个不在(μ-3σ,μ+3σ]
内的概率为 C51(0.997 4)4×(1-0.997 4)≈0.012 87,由题知试生产的5个零件中
1
概率为4.由题意知
∴P(X=0)=C30
P(X=3)=C33
X 的可能取值为 0,1,2,3.
3 3 27
×( ) = ;P(X=1)=C31
4
64
1 3 1
×( ) = .
4
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∴X的分布列为
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×
1
3 2 27
×( ) = ;P(X=2)=C32
4
4
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1 2 3
×( ) ×
机抽取3名学生进行座谈,设抽到60分及以上的学生人数为X,求X的分布列
和数学期望.
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解 (1)平均分=
35×6+45×14+55×30+65×74+75×42+85×23+95×11
200
6+14+30+74
为
=0.62,前
200
≈67.3,前 4 组数据的频率之和
6+14+30+74+42
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 4,0.997 44≈0.99.
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解
σ
1
(1)μ= ×(192+192+193+197+200+202+203+204+208+209)=200,
竞赛成绩/分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数
6
14
30
74
42
23
11
(1)试估计该市竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)和80%分位数(保留一位小数);
(2)以样本频率值作为概率的估计值,若从该市所有参与竞赛的学生中,随
4
4
=
9
;
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X
P
则期望
0
1
27
64
2
27
64
27
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1
3
EX= ×1+ ×2+ ×3= .
64
64
64
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3
9
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1
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(2)根据分层随机抽样原则知,抽取的 8 人中,是“体育迷”的有 8×
“体育迷”的有 8×
C36
P(Y=0)=
C38
=
20
56
3
=6
人,则
4
=
Y 所有可能的取值为 0,1,2.
件厚度小于14 mm的个数的方差为
32
.
解析 依题意,得P(L<14)=P(L>18)=0.5-P(16<L<18)=0.2,
若从A类零件中随机选取200个,则零件厚度小于14 mm的个数服从
X~B(200,0.2),
所以DX=200×0.2×(1-0.2)=32.
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6.(2024·云南红河模拟)某市教育行政部门为开展普及法律常识的宣传教
对于 D,D(3Y)=9DY=9×3×
故选 AC.
1 2 3 4 5 6 7 8
2
×
3
2
(1-3)=6,选项
D 错误.
2
p= ,选项
3
C 正确;
5.(2024·黑龙江实验中学模拟)设某车间的A类零件的厚度L(单位:mm)服从
正态分布N(16,σ2),且P(16<L<18)=0.3.若从A类零件中随机选取200个,则零
故 DY=E(Y )-E
2
27
9
(Y)= −
28
16
2
1 2 3 4 5 6 7 8
=
45
.
112
本 课 结 束
学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是( C )
72
A.625
108
B.625
144
C.625
216
D.625
解析 每次抽奖中,总情况数为C53 =10 种,获奖的共有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),
2
(3,4,5)这 4 种,所以从袋中一次性摸出三个球,获奖的概率为5.设 5 人中获奖
35
C15
=
1
.
35
所以ξ的分布列为
ξ
0
P
于是 Eξ=0×
22
12
1
+1× 35+2× 35
35
1 2 3 4 5 6 7 8
1
22
35
=
2
,故
5
2
12
35
1
35
E(5ξ+1)=5Eξ+1=5×
2
+1=3.
5
4.(多选题)(2024·广东茂名模拟)随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变
200
0,1,2,3,且
则
=
3
,由题意,X 的可能取值为
4
3
X~B(3, ),
4
3 3 1
3 2 9
3 1 27
0
1 3 1
2 3 2
P(X=0)=C3 (1-4) =64,P(X=1)=C3 (4) (1-4) =64,P(X=2)=C3 (4) (1-4) =64,
3 3 3 27
P(X=3)=C3 (4) =64,
节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将调查所得到的频率视为概
率.
1 2 3 4 5 6 7 8
(1)现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽
取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相
互独立的,求X的分布列及期望;
(2)用分层随机抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A,则样本A
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
课时规范练82
二项分布、超几何分布、正态分布
基础
巩固练
1.(2024·江苏盐城模拟)元宵节是中国非常重要的传统节日,某班级准备举
行“元宵福气到”抽奖活动.福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小
球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖.若有5名同
所以X的分布列为
X
0
P
3
4
所以 EX=3× =
9
或
4
1 2 3 4 5 6 7 8
EX=0×
1
1
64
2
9
64
3
27
64
1
9
27
27
+1×
+2×
+3×
64
64
64
64
27
64
=
9Байду номын сангаас
.
4
7.(2024·河南南阳模拟)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个,测量其
内径的数据如下(单位:mm):192,192,193,197,200,202,203,204,208,209.设这
3.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,
设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=( C )
A.2
B.1
C.3
D.4
解析 ξ的可能取值为0,1,2.
C313
P(ξ=0)=
C315
=
22
C12 C213
,P(ξ=1)= 3
35
C15
=
12
C22 C113
,P(ξ=2)= 3
2
3 2 3 3 2 144
人数为 X,则 X~B(5,5),所以 P(X=3)=C5 (5) (5) =625.
1 2 3 4 5 6 7 8
2.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结
论中不正确的是( D )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A中的这8名观众中随机抽取
3名,记Y表示抽取的是“体育迷”的人数,求Y的分布列及方差.
1 2 3 4 5 6 7 8
解
1
(1)抽到的观众为“体育迷”的频率为(0.02+0.005)×10=0.25= ,用频率估计
4
概率,可知从该地区大量电视观众中,随机抽取 1 名观众,该观众是“体育迷”的
10个数据的均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ和σ;
(2)已知这批零件的内径X(单位:mm)服从正态分布N(μ,σ2),若该车间又新购
入一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:mm)分别
为:181,190,198,204,213,如果你是该车间的负责人,以原设备生产性能为标
准,试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试?并说明你的理由.
量Y~B(3,p),若EY=EX,则(AC )
A.μ=2
B.DX=2σ2
C.p=
D.D(3Y)=2
2
3
解析 对于A,B,因为X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,
所以μ=2,故EX=μ=2,DX=σ2,选项A正确,选项B错误;
对于 C,因为 Y~B(3,p),所以 EY=3p=EX,所以 3p=2,解得