chapter7图与网络PPT课件

10：3－4
1
成圈，不进
11：2－5
6
完成
5
3
.
16
破圈法－－在原来图中，找到任意一个圈，去 掉圈上最长的边。
顺序：去掉的 边用红色标出 圈1－3－5，
去14 圈1－3－5－2，
去12 圈1－3－4－2，
去10
2
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8
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4
1
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6
10
5
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12
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7
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1
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6
10
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3
12
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18
2
7
8
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11
2、最小生成树（支撑树）问题
一个乡有九个自然村，其间道路见下图：要以v0 村为中心建有线电视网络，如何架线，费用最低？
v1
4
v2
1
v3
1
2
1
3
1
v8
4
v0
4
5
5
4
2
v7
3
. v6
2
v4
5
v5
12
树：如某单位的组织结构
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树：无圈的连通图
得到图的生成子图 边数＝点数－1 例：高速公路建设；光缆通讯线路铺设
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称作不连通图。 网络：有起点和发点的赋权有向图，称为网络。 树：无圈连通图；无圈图又称为树林，子连通图是树。
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7
定理一：所有顶点次数之和等于所有边数 的2倍。
定理二：在任一图中，奇点的个数必为偶 数。
定理三（树的性质）六种等价描述。
设：边数 q , 顶点数 p .
1、无圈连通图； 2、边数q = 顶点数p - 1； 3、连通，且 q = p - 1； 4、无圈，但加一边则得到唯一的圈； 5、连通，但若去一边则图不连通； 6、每对顶点之间有且仅有一条链。
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8
二、图与网络的典型问题
欧拉回路与道路问题（1763年发表的图 论问题的第一篇论文，解决了著名的哥 尼斯堡七桥问题。 ）
链与圈
2
4
1 3
6 5
.
5
赋权图：边或弧相关有相应的指标（权重）， 例如距离、费用等等。（网络图）
悬挂点、孤立点、奇点、偶点
链、边、连通图（无向图中两点之间，至少存 在一条链）、回路（路的第一点和最后一点相 同）、网络（有起点和发点的赋权有向图，称 为网络）
树（无圈的连通图）、图的生成树
4）若点T没有得到永久标号，返回2）；否则，T的永 久标号值即最短路的长，追索标号的路径，得到最短 路。
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例2：电信公司准备在甲、乙两地沿路架设光缆 线，问如何架设使其光缆线路最短？
v2 15
v1
3
甲地 10
v3
17
6
5
v4
4
4
2
v5
v7 乙地 6
v6
.
32
15,1
13,3
v2
15
6
v1 0,s
1）起点S得到永久标号，值为0；其它点临时标号，值 为无穷。
2）考虑从刚得到永久标号的点 k （标号值为 yk) 出 发直接到达的尚未得到永久标号的点，如点 j （原有 临时标号值为 xj），若 yk + ckj < xj ，则调整临时 标号为 xj ＝yk + ckj
3）从所有得到临时标号的点中，选取标号值最小的一 个，变成永久标号点。
2
4
1
3
5
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3
相关概念：
图论中的图由点和点及之间的连线（带箭头、不带箭头）构成。
有向图：由点和弧（带箭头的连线）构成,关联边有方向.
D=(V,A)，V表示有向图D的点的集合，A表示有向图 D的弧的集合
路与回路
2
4
6 1
3
5
.
4
无向图：由点和边构成的图,关联边没有方向。
G=(V, E),V表示图G的点集合，E表示 的图G的边集合。
运筹学
第七章 图与网络
YU Junli
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1
解决的问题：
图论解决运输系统设计、信息系统设计、 工程项目进度安排等。
运输系统设计
运输理论中运输、配置、转载问题，也是网 络问题，网络由点、弧组成。
最短路线问题、最小支撑树问题、最大 流问题、项目安排。
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2
一、图与网络的基本概念
从实例引出图： 5个人之间认识关系：1与2，3与4，2与4，1与 3相互认识；3认识5，5认识2，5认识4。
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3
5
4
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1
3 3
7 4
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3 3
7 4
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1 3 3
3
7 2
总长度=19百米
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274
3
5 3
7
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2
4
7
5 1
2
6
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避圈法举例
46
7 1
3
2 24
4
3
5 3
7
2
4
7
5 1
2
6
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29
3、最短路问题
对于赋权的有向图或无向图，求其中一点到另 一点的最短路径。
“双标号法”（Dijkstra算法）
做法：对图中的点vj赋予两个标号（lj，kj），第一个 标号lj表示起点vs至vj的最短路的长度，第二个标号kj 表示在vs至vj的最短路上vj前面一个邻点的下标，从而 找到vs到vt的最短路及vs到vt的距离。
0-1规划求解
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30
Dijkstra算法：
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6
链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列。
圈：出起点和终点外链中所含的点均不相同的闭链。
路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链，且各方向一致，则称之为从 u
到 v 的路。
回路：路的第一点和最后一点相同则称为闭链或回路，否则称该链
为开链。 赋权图：边或弧相关有相应的指标（权重）。
奇点：与点连的边（弧）的个数为奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；悬挂边：与悬挂点连接的边， 孤立点：d(v)=0；空图：E = ，无边图。
甲地 10
3
4 v3 10,1
17
5 v419,2
最小生成树问题
最短路问题
最大流问题
最小费用（最大）流问题
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9
1、欧拉回路与道路问题
一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后 回到出发点。
欧拉归结为一笔画问题
每个点都只与奇数条线相关联
﹏﹏ ﹏ ﹏
﹏ ﹏
﹏
﹏
﹏
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10
▪ 欧拉回路与一笔画：
连通图G中若存在一条道路（回路）， 过每边一次且仅一次，当且仅当该 图无奇点或只有两个奇点。
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4
1
6
10
5
3
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7
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10
5
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20
2
7
8
11
4
1
6 5
3
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例1：
某大学准备对其所属的7个学院的办公室计算机联网，可能 的连图如下，请设计一个网络能连通7个学院，并使总的线 路长度最短。
1
3 3
7 4
2
3
5
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4
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1
3 3
7 4
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3
5
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4
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23
1
3 3
7 4
最小生成树问题就是在一个赋权的连通的无 向图上找出一个生成树，并使这个生成树的 所有边的权数之和最小。
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14
最小生成树的算法（贪心算法）
方法：避圈法
在不形成圈的前提下，按从小到大的顺序依
次加入边。
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7
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4
1
14
6
10
5
3
12
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进入顺序： 6：1－3
2
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7：2－4 8：1－2
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4