北京高三高中数学期中考试带答案解析

北京高三高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，集合，则（）
A．B．C．D．
2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（）
A．B．C．，D．，
3.设，，若，则（）
A．B．C．D．
4.已知，，，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
5.已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
6.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）
A．12B．40C．60D．80
7.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：
项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；
项目②：打开过程中（如图2），检查；
项目③：打开过程中（如图2），检查；
项目④：打开后（如图3），检查；
项目⑤：打开后（如图3），检查．
在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤
二、填空题
1.若等比数列满足，，则公比__________，前项和__________．
2.已知，，满足的动点的轨迹方程为__________．
3.在中，．①__________；②若，则__________．
4.若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为__________．
5.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是
__________．
6.已知实数，，，满足，则的最大值是__________．
三、解答题
1.已知是函数的一个零点．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间.
2.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．
有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：
（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；
（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；
（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．
3.已知函数，其中实数．
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．
4.已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点
为，直线与椭圆相交于，两点．
（Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；
（Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
5.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于
（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．
（Ⅰ）写出，的值；
（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；
（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．
北京高三高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知集合，集合，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,故选A.
2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（）
A．B．C．，D．，
【答案】D
【解析】,所以为纯虚数即,故选D.
3.设，，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A项,若异号不成立,错误;B项,为递增函数,故正确;C项,若则无意义,错误;D项,函数不单调,故无法判断大小关系;综上可知选B.
4.已知，，，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,所以,故选C.
5.已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数
的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】曲线化为普通方程为:,由，可得点在以为直径的圆上,又在曲线上,即直线与圆存在公共点,故圆心到的距离小于等于半径,根据点到直线的距离公式有:,解得,故选C.
6.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）
A．12B．40C．60D．80
【答案】D
【解析】先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人,共有种选法,其中丙在两端,有种选法,剩余两个位置乙丙全排,有种,剩余两个位置给丁、戊,有种,所以排法种数为=80,故选D.
点睛:本题考查排列组合问题的应用,属于中档题目. 求排列应用题的主要方法有：1．直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．2．特殊元素(或位置)优先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置.3．排列、组合混合问题先选
后排的方法．4．相邻问题捆绑处理的方法．即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．5．不相邻问题插空处理的方法．即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．6．分排问题直排处理的方法．7．“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．8．定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．9．正难则反，等价转化的方法．
7.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：
项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；
项目②：打开过程中（如图2），检查；
项目③：打开过程中（如图2），检查；
项目④：打开后（如图3），检查；
项目⑤：打开后（如图3），检查．
在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤
【答案】B
【解析】A项,项目②和项目③可推出项目①,所以判断项目②和项目③,若,则较低, 较高,所以不平行,错误;B项,面面,平行底面,面,所以桌面平行于底面,故正确;C项,由图3的正视图可得,,但与是否相等不确定,所以不确定与
是否平行,又因为,所以不确定与是否平行,故错误;D项,,但不确定与的关系,所以无法判断与底面的关系,错误;综上所述,应选B.
点睛:本题考查空间点、线、面的位置关系以及线面平行和面面平行的判断，需要学生结合所学知识与实际应用相联系,并结合选项判断,属于难题. 其中线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如a∥α，a∥β不一定得到α∥β，同时a∥α，b∥α也不一定得到a∥b.
二、填空题
1.若等比数列满足，，则公比__________，前项和__________．
【答案】 2
【解析】;又,故填.
2.已知，，满足的动点的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】根据双曲线的定义可得:长轴长,半焦距,由,解得,故方程为,应填.
点睛:本题考查学生的是由定义法求曲线的轨迹方程问题,属于基础题目. 求动点的轨迹方程的一般步骤:(1)建系—建立适当的坐标系． (2)设点—设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式—列出动点P所满足的关系式．(4)代换—依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明—证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3.在中，．①__________；②若，则__________．
【答案】 90
【解析】由正弦定理得:,又,,即, 故填;
,故填.
4.若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为__________．
【答案】120
【解析】因为,所以因此,又,所以夹角为,故填.
5.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是
__________．
【答案】
【解析】时,令,解得或 (舍),满足在内;时,令,解得:且,即在轴左边距离轴最近的零点为,若关于的方程在内有唯一实根，即图象最多往右平移个单位,故填
6.已知实数，，，满足，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】根据题意画出可行域如图所示:
根据柯西不等式可得: 因为表示三角形可行域内的点与原点距离的平方,所以当经过时距离的平方最大,最大值为8,又
,当且仅当时等号成立,故填.
点睛:本题考查的是简单的线性规划与柯西不等式的综合应用,属于中档题目. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
三、解答题
1.已知是函数的一个零点．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），．
【解析】试题分析: （Ⅰ）由题意，可得a值; （Ⅱ）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式对函数解析式化简整理, 由，，求得x的范围,进而确定函数的单调递增区间.
试题解析:（Ⅰ）由题意可知，即，
即，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
函数的递增区间为，．
由，，
得，，
所以，的单调递增区间为，．
2.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．
有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上
海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：
（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；
（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；
（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔未来12个月
的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．
【答案】（Ⅰ）因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大;（Ⅱ）;
（Ⅲ）的数学期望．
【解析】试题分析: （Ⅰ）因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大; （Ⅱ）根据提供的
数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和超过55百万吨的月份个数,根据古典概型计算出概率; （Ⅲ）根据数学期望的公式求出即可.
试题解析:（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，
因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大．
（Ⅱ）设事件：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．
根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，其中超过55百万吨的月份有8个，
所以，．
（Ⅲ）的数学期望．
点睛:本题考查学生的是古典概型求概率以及离散型随机变量的期望与方差,属于中档题目.具有以下两个特点的概率
模型称为古典概率模型，简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可
能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的
概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．
3.已知函数，其中实数．
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）是函数的极值点；（Ⅱ） .
【解析】试题分析: （Ⅰ）对函数求导,将代入导函数的分子,可得函数值为0,根据判别式结合
验证可得, 1是函数的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）分类讨论参数a, 当时，函数单调递减，所以恒成立；当时，在区间上单调递增，所以
，所以不等式不能恒成立.
试题解析:（Ⅰ）由可得函数定义域为
．
， 令，经验证，
因为
，所以
的判别式
，
由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，
所以是的异号零点， 所以
是函数
的极值点． （Ⅱ）已知，
因为，
又因为，所以， 所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；
当时，在区间
上
，所以函数
单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立； 所以
时，有
在区间
恒成立．
点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目.导数与极值点的关系：(1)定义域D 上的可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，并且f ′(x )在x 0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f (x )在点x 0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y ＝|x |，结合图象，知它在x ＝0处有极小值，但它在x ＝0处的导数不存在；(3)f ′(x 0)＝0既不是函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．
4.已知椭圆
：
，与轴不重合的直线经过左焦点
，且与椭圆
相交于
，
两点，弦
的中点
为，直线与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率； （Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
. 【解析】试题分析: （Ⅰ）求出直线的方程,与椭圆联立,解出中点
的坐标,进而求出直线
的斜率. （Ⅱ）假设存在直线，使得成立．当直线的斜率不存在时不成立,斜率存在时联立直线与椭圆方程,
根据韦达定理写出弦长
的表达式以及中点
的坐标,直线
的方程联立椭圆
的方程，得
点坐标，则
可求出,又
，将坐标代入解出,即可求出直线的
方程.
试题解析:（Ⅰ）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为
，
设
，
，
由解得
所以中点，
于是直线的斜率为．
（Ⅱ）假设存在直线，使得成立． 当直线的斜率不存在时，的中点
，
所以
，
，矛盾；
故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，
得
，
设，，则，，
于是，
点的坐标为，
.
直线的方程为，联立椭圆的方程，得，
设，则，
由题知，，
即，
化简，得，故，
所以直线的方程为，.
5.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于
（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．
（Ⅰ）写出，的值；
（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；
（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．
【解析】试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则，.，,即可求得，.（Ⅱ）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得:；再证充分性：由，故（，，…，），故，，…，为等差
数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时，的最大值为．
试题解析:（Ⅰ），.
（Ⅱ）先证必要性：
因为，，又，，…，成等差数列，故，所以；
再证充分性：
因为，，，…，为正整数数列，故有
，，，，…，，
所以，
又，故（，，…，），故，，…，为等差数列．
（Ⅲ）先证明（，，…，）．
假设存在，且为最小的正整数．
依题意，则，，又因为，
故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．
故假设不成立，即（，，…，）成立．
因此，
即，所以．
因为，则，
若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，
故，即.
此时可构造集合.
因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
……
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，所以集合满足题设，
所以当取最小值11时，的最大值为．。