河北正定中学高三数学上学期第三次月考试题新人教A版

2013—2014学年度高三第三次月考·数学试题
一 选择题(每小题5分，共60分)
1. 设 i 是虚数单位，复数
ai
i
1+2-为纯虚数，则实数a 为( ) A.2 B. -2 C. 1-2 D. 1
2
2． 对于函数()R x x f y ∈=,，“()x f y =的图像关于y 轴对称”是“()x f y =是奇函数”的（ ）
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 3. 一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2
－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间
[]1,2内的位移为 (
) A.17
6
B.14
3
C.
13
6
D.116
4．设a,b,c 是共面的单位向量，且0⋅=a b ，则()()⋅a +c b +c 的最大值是（ ）
A ．0
B
C ．1
D ．15. 已知51
cos 123
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，且2ππα-<<-，则cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）
Ａ．
3 Ｂ．13-
Ｃ．13
Ｄ．3
-
6．已知数列}{n a 满足11-+-=n n n a a a (2≥n )，11=a , 32=a ，记n n a a a S +++= 21，
则
下列结论正确的是
A ．1100-=a ，5100=S
B ．3100-=a ，5100=S
C ．3100-=a ，2100=S
D ．1100-=a ，2
100=S
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
8. 已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ）
A ．
14
B ．
12
C ．1
D ．2
9. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足2
2
2
2
2
2
OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的（ ）
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
10．已知tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是 （ ） （A ）锐角三角形
（B ）直角三角形
（C ）钝角三角形 （D ）不能确定
11．已知24(0)
()(2)(0)
a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩ 且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的
取值范围是（ ）
A ．[-4,0]
B ．[8,)-+∞
C ．[4,)-+∞
D ．(0,)+∞
12. 若函数f(x)＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2
＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题(每小题5分，共20分).
13. 若全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2
>4}，N ＝{x |3－x x ＋1>0}，则M ∩(∁U N )等于________．
14. 在平面几何里,有勾股定理“设△ABC 的两边AB,AC 互相垂直,则AB 2
+AC 2
＝BC 2
”,拓展到空
间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直,则____ ____________.” 15．若,,a b R a b +∈≠且，在
①b ab a 232
>+；
②3
22355b a b a b a +>+； ③)1(222-->+b a b a ；
④
2>+b
a
a b ； ⑤若0>m ，则
m
b m a b a ++< 这五个不等式中，恒成立的有＿＿＿＿＿＿＿＿
16. 已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()
'0f x f x x +>，则关于x 的函数()()1
g x f x x
=+
的零点个数为____ _______. 三、解答题(共70分). 17．(本小题满分10分)
已知向量()()
2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin(
)2n x x π
⎛⎫=- ⎪⎭
，函数()1f x m n =-⋅．
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；
18．(本小题满分12分)
已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，2
3
MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．
（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；
（Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．
19. (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21017,100a S ==.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足*cos()2()n n n b a n n π=+∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.
20. (本小题满分12分)
数列{n a }满足112a =
，112n n
a a +=- （1）求证数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-11n a 是等差数列； （2）若1
1n n
b a =
-,｛b n ｝的前n 项和为n B ,若存在整数m ，对任意n∈N +且n≥2都有320
n n m
B B ->
成立，求m 的最大值.
21. (本小题满分12分)
已知函数)0(ln 1)(>+-=
a x ax
x
x f （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；
（2）当1=a 时，求)(x f 在]2,2
1[上的最大值和最小值；
（3）当1=a 时，求证对任意大于1的正整数n ，n
n 1
413121ln ++++> 恒成立.
22．(本小题满分12分)
已知函数2
()(1)2ln(1).2
a f x x a x x =
+++- (Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线210x y -+=平行，求出这条切线的方程；
(Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ）若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()2f x <-，求实数a 的取值范围.
高三第三次月考数学试题答案
一 选择题 1-5 ABADD 6-10 AABCA 11-12 CA 二 填空题 13. }{
23
x x x <-≥或 14. S
△ABC
2
+S △ACD 2+S △ADB 2＝S △BCD 2
15. ②③④ 16.0个_
17. （1）)2
sin(
cos 2cos 3)sin(2x x x x n m -+--=∙π
π
12cos 2sin 3cos 2cos sin 322++-=+-=x x x x x ，
)6
2sin(22cos 2sin 31)(π
-
=-=∙-=∴x x x x f
(2）由222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-
≤
+∈，
解得()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
∵取k=0和1且[]0,x π∈，得03
x π
≤≤和
116
x π
π≤≤， ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦. 18. 解：（Ⅰ）
a 、
b 、
c 成等差，且公差为2，
∴4a c =-、2b c =-.……………………………………1分
又
2
3MCN ∠=π，1cos 2C =-，∴2221
22
a b c ab +-=-， ………………4分
∴
()()()()
2
2
24212422
c c c c c -+--=-
--， 恒等变形得 2
9140c c -+=，解得7c =或2c =又4c >，∴7c =. ………………………6分
19. 解：(1)设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则()11
17,
1029100,2a d a d +=⎧⎪
⎨+=⎪
⎩解得119,2,a d =⎧⎨=-⎩
19(1)(2)212.n a n n ∴=+-⨯-=-
（2）
cos(π)2(1)2,n n n n n n b a n a =+=-+
当n 为偶数时，()()()
2312123(2)222n
n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅++
()1212(2)22;212
n
n n n +-=-⨯+=--- 当n 为奇数时，()()()
2312123(2)222n
n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅+-+
()()()1
11231212119222222.12
2
n n n n n n a a a a a n ++---=-+-+⋅⋅⋅+-+
=-+⨯
+-=+--()()11
22,
222.
n n n n n T n n ++⎧--⎪∴=⎨+-⎪⎩当为偶数当为奇数 20. 解：（1）11
2n n
a a +=
-，
12111
11
111
12n n n n n
a a a a a +-==
=-+-----
∴
11
1111n n a a +-
=--- ∴1
{}1
n a -为首次为-2，公差为-1的等差数列
∴
1
1
n a -=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1） ∴1n n a n =+
(2)111n n b n n +=
-= 令311
1
++
1+2
3n
n n n C B B n n =-=++ ∴11111
1
++
2+3
3(n+1)1
3n n C C n n n n
+-=+---
++=1111+13+23n+33n+1n n -+++ =
12122
-03+23n+33n+13n+33n+3
n +>-= ∴C n+1-C n >0∴｛C n ｝为单调递增数列
∴3min 62111119()345620n n B B B B -=-=+++=∴192020
m <∴m<19 又m N *
∈ ∴m 的最大
值为18
21. （1）由已知得)0(1
)('2
>-=x ax
ax x f ， 依题意得
01
2
≥-ax ax 对任意),1[+∞∈x 恒成立， 即x
a ax 1
01≥⇒≥-对任意),1[+∞∈x 恒成立，
而1)1
(max =x
1≥∴a
（2）当1=a 时，21
)('x
x x f -=，令0)('=x f ，得1=x ，
若]1,2
1
[∈x 时，0)('<x f ，若]2,1[∈x 时，0)('>x f ，
故1=x 是函数在区间]2,2
1
[上的唯一的极小值，也是最小值，即0)1()(min ==f x f ，
而2ln 2
1
)2(,2ln 1)21(+-=-=f f ，
由于02
16ln ln 2ln 223)2()21(3>-=
-=-e f f ，则2ln 1)21
()(max -==f x f
22. 【答案】（Ⅰ）2
()11
f x ax a x '=+++
-，得切线斜率为(2)23k f a '==+ 据题设，2k =，所以13a =-，故有2
(2)3
f =
所以切线方程为(2)2(2),y f x -=-即63100x y --=
(Ⅱ）221(1)(1)()1(1)111
ax x a x ax a f x ax a x x x x +-++-+'=+++
==>--- 当0a =时，1(),1x f x x +'=
-由于1x >，所以1()01
x f x x +'=>-，可知函数()f x 在定义区间(1,)+∞上单调递增
当0a ≠时，1
(1)()
()1
a a x x a f x x -+-
'=
-，若0a >，则11a a -<，可知当1x >时，有()0f x '>，函数()f x 在定义区间(1,)+∞上单调递增
若0a <，则
11a a ->，可得当1(1,)a x a -∈时，()0f x '>；当1
(,)a x a
-∈+∞时，()0f x '<.所以，函数()f x 在区间1(1,)a a -上单调递增，在区间1
(,)a a
-+∞上单调递减。

综上，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是定义区间(1,)+∞；当0a <时，函数()f x 的单调增区间为1(1,
)a a -，减区间为1(,)a a
-+∞ (Ⅲ）当0a ≥时，考查(2)4220f a =+≥>，不合题意，舍；
当0a <时，由（Ⅱ）知2max
1321
()()2ln()2a a a f x f a a a
---==--.
故只需
23212ln()22a a a a
----<-，即1
324ln().a a a +-<- 令t a =-，则不等式为1
324ln t t t
-++<，且0t >。

构造函数1()4ln 32(0)g t t t t t =+-->，则241
()30g t t t
'=
++>，知函数()g t 在区间(0,)+∞上单调递增。

因为(1)4ln13210g =+--=，所以当1t >时，(1)0g >， 这说明不等式1
324ln (0)t t t t
-++<>的解为1t >，即得1a <-. 综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞-.。